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《三维设计》2016级数学一轮复习基础讲解抛物线


《三维设计》2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法

抛_物_线

[知识能否忆起] 1.抛物线定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点 F 叫做抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程与几何性质 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0)

标准方程

图形

范围 对称轴 顶点坐标 焦点坐标 准线方程 离心率

x≥0,y∈R x轴 原点 O(0,0)

x≤0,y∈R

?p,0? ?2 ?
p x=- 2 e=1 x2=2py(p>0)

?-p,0? ? 2 ?
p x= 2

标准方程

x2=-2py(p>0)

图形

范围 对称轴 顶点坐标 焦点坐标 准线方程 离心率

y≥0,x∈R y轴 原点 O(0,0)

y≤0,x∈R

?0,p? ? 2?
p y=- 2 e=1

?0,-p? 2? ?
p y= 2

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[小题能否全取] 1.(教材习题改编)已知抛物线的焦点坐标是(0,-3),则抛物线的标准方程是( A.x2=-12y C.y2=-12x B.x2=12y D.y2=12x )

p 解析:选 A ∵ =3,∴p=6,∴x2=-12y. 2 2.(教材习题改编)抛物线 y=ax2 的准线方程是 y=2,则 a 的值是( 1 A. 8 C.8 1 B.- 8 D.-8 )

1 解析:选 B 抛物线的标准方程为 x2= y. a 1 1 则 a<0 且 2=- ,得 a=- . 4a 8 3. 已知倾斜角为 60° 的直线 l 通过抛物线 x2=4y 的焦点, 且与抛物线相交于 A, B 两点, 则弦 AB 的长为( A.4 C.10 ) B.6 D.16

解析:选 D 设点 A(x1,y1),B(x2,y2),则依题意得焦点 F(0,1),准线方程是 y=-1,

?y= 3x+1, 直线 l: y= 3x+1, 由? 2 消去 x 得 y2-14y+1=0, y1+y2=14, |AB|=|AF|+|BF| ?x =4y,
=(y1+1)+(y2+1)=(y1+y2)+2=16. 4.(2012· 郑州模拟)已知斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2=ax(a>0)的焦点 F,且与 y 轴相 交于点 A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为________. a a 解析:依题意得,|OF|= ,又直线 l 的斜率为 2,可知|AO|=2|OF|= ,△AOF 的面积等 4 2 1 a2 于 · |AO|· |OF|= =4,则 a2=64.又 a>0,所以 a=8,该抛物线的方程是 y2=8x. 2 16 答案:y2=8x 5.设抛物线 y2=8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点的距离是 ________. 解析:其准线方程为 x=-2,又由点 P 到 y 轴的距离为 4,则 P 点横坐标 xP=4,由定 p 义知|PF|=xP+ =6. 2 答案:6

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p 1.抛物线方程中,字母 p 的几何意义是抛物线的焦点 F 到准线的距离, 等于焦点到抛 2 物线顶点的距离,记牢对解题非常有帮助. 2.用抛物线定义解决问题,体现了等价转换思想的应用. 3.由 y2=mx(m≠0)或 x2=my(m≠0)求焦点坐标时,只需将 x 或 y 的系数除以 4,再确 定焦点位置即可.

抛物线的定义及应用

典题导入 [例 1] (1)(2011· 辽宁高考)已知 F 是拋物线 y2=x 的焦点,A,B 是该拋物线上的两点, |AF|+|BF|=3,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为( 3 A. 4 5 C. 4 B.1 7 D. 4 )

(2)(2012· 曲阜师大附中质检)在抛物线 C:y=2x2 上有一点 P,若它到点 A(1,3)的距离与 它到抛物线 C 的焦点的距离之和最小,则点 P 的坐标是( A.(-2,1) C.(2,1) B.(1,2) D.(-1,2) )

[自主解答] (1)如图,由抛物线的定义知,|AM|+|BN|=|AF|+|BF|=3, 3 3 1 5 |CD|= ,所以中点 C 的横坐标为 - = . 2 2 4 4 (2)由题知点 A 在抛物线内部,根据抛物线定义,问题等价于求抛物线 上一点 P,使得该点到点 A 与到抛物线的准线的距离之和最小,显然点 P 是直线 x=1 与抛 物线的交点,故所求 P 点的坐标是(1,2). [答案] (1)C (2)B

由题悟法 涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题,可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到 准线(焦点)的距离问题求解. 以题试法

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1.(2012· 安徽高考)过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点.若|AF| =3,则|BF|=________. 解析:由题意知,抛物线的焦点 F 的坐标为(1,0),又∵|AF|=3, 由抛物线定义知,点 A 到准线 x=-1 的距离为 3,∴点 A 的横坐标为 2. 将 x=2 代入 y2=4x 得 y2=8,由图知,y=2 2, ∴A(2,2 2),∴直线 AF 的方程为 y=2 2(x-1). 1 ? ? ? ?x=2, ?y=2 2?x-1?, ?x=2, 又? 解得? 或? 2 ? ? ? ?y =4x, ?y=2 2. ?y=- 2, 1 ? 由图知,点 B 的坐标为? ?2,- 2?, 1 3 ∴|BF|= -(-1)= . 2 2 3 答案: 2 抛物线的标准方程及几何性质

典题导入 x2 y2 [例 2] (1)(2012· 山东高考)已知双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 2.若抛物线 a b C2:x2=2py (p>0)的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为( 8 3 A.x2= y 3 C.x2=8y 16 3 B.x2= y 3 D.x2=16y )

(2)(2012· 四川高考)已知抛物线关于 x 轴对称, 它的顶点在坐标原点 O, 并且经过点 M(2, y0).若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3,则|OM|=( A.2 2 C.4 B.2 3 D.2 5 a2+b2 =2, a )

x2 y2 c [自主解答] (1)∵双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 2,∴ = a b a ∴b= 3a,

p 0, ?到双曲线 ∴双曲线的渐近线方程为 3x± y=0,∴抛物线 C2:x2=2py(p>0)的焦点? ? 2?

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的渐近线的距离为

p? ? 3×0± 2? ? 2

=2,∴p=8.∴所求的抛物线方程为 x2=16y.

p (2)依题意,设抛物线方程是 y2=2px(p>0),则有 2+ =3,得 p=2,故抛物线方程是 2 y2=4x,点 M 的坐标是(2,± 2 2),|OM|= [答案] (1)D (2)B 由题悟法 1.求抛物线的方程一般是利用待定系数法,即求 p 但要注意判断标准方程的形式. 2.研究抛物线的几何性质时,一是注意定义转化应用;二是要结合图形分析,同时注 意平面几何性质的应用. 以题试法 2.(2012· 南京模拟)已知抛物线 x2=4y 的焦点为 F,准线与 y 轴的交点为 M,N 为抛物 线上的一点,且|NF|= 3 |MN|,则∠NMF=________.( 2 ) 3 |MN|, 2 22+8=2 3.

解析:过 N 作准线的垂线,垂足为 H,则|NF|=|NH|= 如图.∴cos ∠MNH= 3 , 2

π π ∴∠MNH= ,∴∠NMF= . 6 6 π 答案: 6

直线与抛物线的位置关系

典题导入 [例 3] (2012· 福建高考)如图,等边三角形 OAB 的边长为 8 3,且 其三个顶点均在抛物线 E:x2=2py(p>0)上. (1)求抛物线 E 的方程; (2)设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P,与直线 y=-1 相交于点 Q. 证明以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点. [自主解答] (1)依题意,|OB|=8 3,∠BOy=30° . 设 B(x,y),则 x=|OB|sin 30° =4 3,y=|OB|cos 30° =12. 因为点 B(4 3,12)在 x2=2py 上,所以(4 3)2=2p×12,解得 p=2.

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故抛物线 E 的方程为 x2=4y. 1 1 (2)证明:由(1)知 y= x2,y′= x. 4 2 1 设 P(x0,y0),则 x0≠0,y0= x2 ,且 l 的方程为 4 0 1 1 1 y-y0= x0(x-x0),即 y= x0x- x2 . 2 2 4 0 1 1 x -4 ? ? ?x= 0 , ?y=2x0x-4x2 0, 2x0 由? 得? ?y=-1, ? ? ?y=-1. 所以 Q 为? x2 0-4 ? ? 2x0 ,-1?.
2

1 设 M(0,y1),令 MP · MQ =0 对满足 y0=4x2 0(x0≠0)的 x0,y0 恒成立. 由于 MP =(x0,y0-y1), MQ =? x2 0-4 ? ? 2x0 ,-1-y1?,

2 x0 -4 由 MP · MQ =0,得 2 -y0-y0y1+y1+y2 1=0, 2 即(y1 +y1-2)+(1-y1)y0=0.(*)

1 由于(*)式对满足 y0= x2 (x ≠0)的 y0 恒成立, 4 0 0
? ?1-y1=0, 所以? 2 解得 y1=1. ?y1+y1-2=0, ?

故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M(0,1). 由题悟法 1.设抛物线方程为 y2=2px(p>0),直线 Ax+By+C=0,将直线方程与抛物线方程联 立,消去 x 得到关于 y 的方程 my2+ny+q=0. (1)若 m≠0,当 Δ>0 时,直线与抛物线有两个公共点; 当 Δ=0 时,直线与抛物线只有一个公共点; 当 Δ<0 时,直线与抛物线没有公共点. (2)若 m=0,直线与抛物线只有一个公共点,此时直线与抛物线的对称轴平行. 2.与焦点弦有关的常用结论.(以右图为依据) p2 (1)y1y2=-p ,x1x2= . 4
2

2p (2)|AB|=x1+x2+p= 2 (θ 为 AB 的倾斜角). sin θ (3)S△AOB= p2 (θ 为 AB 的倾斜角). 2sinθ

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1 1 2 (4) + 为定值 . |AF| |BF| p (5)以 AB 为直径的圆与准线相切. (6)以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切. (7)∠CFD=90° . 以题试法 3.(2012· 泉州模拟)如图,点 O 为坐标原点,直线 l 经过抛物线 C:y2=4x 的焦点 F. 1 (1)若点 O 到直线 l 的距离为 ,求直线 l 的方程; 2 (2)设点 A 是直线 l 与抛物线 C 在第一象限的交点. 点 B 是以点 F 为圆心,|FA|为半径的圆与 x 轴的交点,试判断 AB 与抛物线 C 的位置 关系,并给出证明. 解:(1)抛物线的焦点 F(1,0), 当直线 l 的斜率不存在时,即 x=1 不符合题意. 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为:y=k(x-1),即 kx-y-k=0. 所以, |-k| 1 3 = ,解得 k=± . 2 3 1+k2

3 故直线 l 的方程为:y=± (x-1),即 x± 3y-1=0. 3 (2)直线 AB 与抛物线相切,证明如下: 设 A(x0,y0),则 y2 0=4x0. 因为|BF|=|AF|=x0+1,所以 B(-x0,0). 所以直线 AB 的方程为:y= 2x0y 整理得:x= -x0① y0 把方程①代入 y2=4x 得:y0y2-8x0y+4x0y0=0,
2 2 2 Δ=64x2 0-16x0y0=64x0-64x0=0,

y0 (x+x0), 2x0

所以直线 AB 与抛物线相切.

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x2 y2 1.(2012· 济南模拟)抛物线的焦点为椭圆 + =1 的下焦点,顶点在椭圆中心,则抛物 4 9 线方程为( ) B.y2=-4 5x D.y2=-4 13x

A.x2=-4 5y C.x2=-4 13y

解析:选 A 由椭圆方程知,a2=9,b2=4,焦点在 y 轴上,下焦点坐标为(0,-c), 其中 c= a2-b2= 5.∴抛物线焦点坐标为(0,- 5),∴抛物线方程为 x2=-4 5y. 2.(2012· 东北三校联考)若抛物线 y2=2px(p>0)上一点 P 到焦点和抛物线的对称轴的距 离分别为 10 和 6,则 p 的值为( A.2 C.2 或 18 p
0

) B.18 D.4 或 16

解析:选 C

? ?x +2=10, 设 P(x ,y ),则?|y |=6, ? ?y =2px ,
0 0 0 2 0 0

p? 2 ∴36=2p? ?10-2?,即 p -20p+36=0,解得 p=2 或 18. 3.(2013· 大同模拟)已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与曲线 x2+y2-6x-7=0 相切,则 p 的值为( A.2 1 C. 2 ) B.1 1 D. 4

p 解析:选 A 注意到抛物线 y2=2px 的准线方程是 x=- ,曲线 x2+y2-6x-7=0,即 2 p ? p (x-3)2+y2=16 是圆心为(3,0), 半径为 4 的圆. 于是依题意有? 因此有 + ?2+3?=4.又 p>0, 2 3=4,解得 p=2. 4. (2012· 郑州模拟)已知过抛物线 y2=6x 焦点的弦长为 12, 则此弦所在直线的倾斜角是 ( ) π 5π A. 或 6 6 π 2π C. 或 3 3 π 3π B. 或 4 4 π D. 2 2p 6 得 =12, sin2θ sin2θ

解析:选 B 由焦点弦长公式|AB|=

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所以 sin θ=

2 π 3π ,所以 θ= 或 . 2 4 4

5.(2012· 唐山模拟)抛物线 y2=2px 的焦点为 F,点 A、B、C 在此抛物线上,点 A 坐标 为(1,2).若点 F 恰为△ABC 的重心,则直线 BC 的方程为( A.x+y=0 C.2x+y-1=0 B.x-y=0 D.2x-y-1=0 )

解析:选 C ∵点 A 在抛物线上,∴4=2p,p=2,抛物线方程为 y2=4x,焦点 F(1,0)
2 设点 B(x1,y1),点 C(x2,y2),则有 y1 =4x1,①

y2 2=4x2,② 由①-②得(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2) y1-y2 4 得 kBC= = . x1-x2 y1+y2 y1+y2+2 又∵ =0,∴y1+y2=-2,∴kBC=-2. 3 x1+x2+1 又∵ =1,∴x1+x2=2, 3 ∴BC 中点为(1,-1), 则 BC 所在直线方程为 y+1=-2(x-1),即 2x+y-1=0. 6.(2013· 湖北模拟)已知直线 y=k(x-m)与抛物线 y2=2px(p>0)交于 A、B 两点,且 OA ⊥OB,OD⊥AB 于 D.若动点 D 的坐标满足方程 x2+y2-4x=0,则 m=( A.1 C.3 B.2 D.4 )

b 1 ? ?a=-k, km 解析:选 D 设点 D(a,b),则由 OD⊥AB 于 D,得? 则 b=- ,a 1+k2 ?b=k?a-m?, ? =-bk; 又动点 D 的坐标满足方程 x2+y2-4x=0, 即 a2+b2-4a=0, 将 a=-bk 代入上式, k3m km 得 b2k2+b2+4bk=0,即 bk2+b+4k=0,- +4k=0,又 k≠0,则(1+k2)(4- 2- 1+k 1+k2 m)=0,因此 m=4. 7.(2012· 乌鲁木齐模拟)过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交 y 轴于点 A,抛物线上有一 点 B 满足 OB ,= OA ,+ OF , (O 为坐标原点),则△BOF 的面积是________. 解析:由题可知 F(1,0),可设过焦点 F 的直线方程为 y=k(x-1)(可知 k 存在),则 A(0, -k),∴B(1,-k),由点 B 在抛物线上,得 k2=4,k=± 2,即 B(1,± 2), 1 1 S△BOF= · |OF|· |yB|= ×1×2=1. 2 2

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答案:1 1 1 8.(2012· 渭南模拟)已知抛物线 C:y= x2,则过抛物线焦点 F 且斜率为 的直线 l 被抛 4 2 物线截得的线段长为________. 1 解析:由题意得 l 的方程为 y= x+1,即 x=2(y-1).代入抛物线方程得 y=(y-1)2, 2 即 y2-3y+1=0.设线段端点坐标为(x1,y1),(x2,y2),则线段长度为 y1+y2+p=5. 答案:5 9.(2012· 广州模拟)已知直线 y=k(x-2)(k>0)与抛物线 y2=8x 相交于 A,B 两点,F 为 抛物线的焦点,若|FA|=2|FB|,则 k 的值为________.
2 ? ?y =8x, 解析:直线 y=k(x-2)恰好经过抛物线 y =8x 的焦点 F(2,0),由? 可得 ky2 ?y=k?x-2? ? 2

8 8 -8y-16k=0,因为|FA|=2|FB|,所以 yA=-2yB,则 yA+yB=-2yB+yB= ,所以 yB=- , k k yA· yB=-16,所以-2y2 2 2,又 k>0,故 k=2 2. B=-16,即 yB=± 答案:2 2 10.已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点,斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2, y2)(x1<x1)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程; (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若 OC = OA +λ OB ,求 λ 的值. p? 2 解:(1)直线 AB 的方程是 y=2 2? ?x-2?,与 y =2px 联立, 5p 从而有 4x2-5px+p2=0,所以 x1+x2= . 4 由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9, 所以 p=4,从而抛物线方程是 y2=8x. (2)由 p=4,4x2-5px+p2=0 可简化为 x2-5x+4=0,从而 x1=1,x2=4,y1=-2 2, y2=4 2, 从而 A(1,-2 2),B(4,4 2). 设 OC =(x3,y3)=(1,-2 2)+λ(4,4 2)=(4λ+1,4 2λ-2 2),
2 又 y2 3=8x3,即[2 2(2λ-1)] =8(4λ+1),

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即(2λ-1)2=4λ+1, 解得 λ=0 或 λ=2. 11.如图,过抛物线 y2=4px(p>0)上一定点 M(x0,y0)(y0>0)作两条直 线,分别交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2). (1)求该抛物线上纵坐标为 4p 的点到点(p,0)的距离; y1+y2 (2)当 MA 与 MB 的斜率都存在,且 =-2 时,求 MA 与 MB 的斜率之和; y0 (3)证明:直线 AB 不可能平行于 x 轴. 解:(1)当 y=4p 时,x=4p,抛物线的准线方程为 x=-p,焦点为(p,0),抛物线上纵坐 标为 4p 的点到点(p,0)的距离,就是该点到焦点的距离,由抛物线的定义得,所求距离为 4p -(-p)=5p. (2)设直线 MA 的斜率为 kMA,MB 的斜率为 kMB,
2 由 y2 1=4px1,y0=4px0,得 kMA=

y1-y0

4p = , x1-x0 y1+y0

4p 同理 kMB= , y2+y0 又 0, 所以 kMA+kMB=0, 故 MA 与 MB 的斜率之和为 0. (3)证明:设直线 AB 的斜率为 kAB,则 kAB= y2-y1 y2-y1 4p = 2 ,由(2)知 y1+y2=- 2= x2-x1 y2 y1 y1+y2 - 4p 4p y1+y2 4p?y1+y2+2y0? 4p 4p =-2,所以 y1+y2=-2y0,因为 kMA+kMB= + = = y0 y1+y0 y2+y0 ?y1+y0??y2+y0?

2y0,所以 kAB=- 能平行于 x 轴.

2p 2p 2p ,由于 M(x0,y0)为定点,所以- 为定值且- ≠0,故直线 AB 不可 y0 y0 y0

x2 y2 3 12.(2012· 安徽模拟)已知椭圆 C1: + 2=1(0<b<2)的离心率为 ,抛物线 C2:x2 4 b 2 =2py(p>0)的焦点是椭圆的顶点. (1)求抛物线 C2 的方程; (2)过点 M(-1,0)的直线 l 与抛物线 C2 交于 E,F 两点,过 E,F 作抛物线 C2 的切线 l1,

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l2,当 l1⊥l2 时,求直线 l 的方程. 解:(1)∵椭圆 C1 的长半轴长 a=2,半焦距 c= c 4-b .由 e= = a
2

4-b2 3 = 得 b2=1, 2 2

∴椭圆 C1 的上顶点为(0,1),即抛物线 C2 的焦点为(0,1), 故抛物线 C2 的方程为 x2=4y. (2)由已知可得直线 l 的斜率必存在, 设直线 l 的方程为 y=k(x+1), E(x1, y1), F(x2, y2). 由 1 x2=4y 得 y= x2, 4 1 ∴y′= x. 2 1 1 ∴切线 l1,l2 的斜率分别为 x1, x2. 2 2 1 1 当 l1⊥l2 时, x1· x2=-1,即 x1x2=-4. 2 2

? ?y=k?x+1? 由? 得 x2-4kx-4k=0,∴Δ=(4k)2-4×(-4k)>0,解得 k<-1 或 k>0.① 2 ?x =4y ?
且 x1x2=-4k=-4,即 k=1,满足①式,∴直线 l 的方程为 x-y+1=0.

1.(2013· 郑州模拟)如图,过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B,交其准线于点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则 此抛物线的方程为( A.y2=9x C.y2=3x ) B.y2=6x D.y2= 3x

解析:选 C 过点 B 作准线的垂线,垂足为 B1,记准线与 x 轴的交点 |BB1| |BC| 2 2 2p 为 F1,则依题意得 = = ,所以|BB1|= |FF1|= ,由抛物线的定 |FF1| |CF| 3 3 3 2p 义得|BF|=|BB1|= .过 A,B 作 x 轴的垂线,垂足分别为 D,E,由△BEF 3 2 2p p p- 3 3 3 ∽△ADF 得 = ,解得 p= .所以此抛物线的方程是 y2=3x. 3 2 3-p 2.(2012· 安徽高考)过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点,O 为坐 标原点.若|AF|=3,则△AOB 的面积为( )

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A.

2 2

B. 2 D.2 2

3 2 C. 2

解析:选 C 由题意,抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),准线方程为 l:x=-1,可得 A 点的横坐标为 2,代入 y2=4x 得 y2=8,不妨设 A(2,2 2),则直线 AB 的方程为 y=2 2(x 1 1 ? -1),与 y2=4x 联立得 2x2-5x+2=0,可得 B? ?2,- 2?,所以 S△AOB=S△AOF+S△BOF=2 ×1×|yA-yB|= 3 2 . 2

1? 3.(2012· 浙江高考)如图,在直角坐标系 xOy 中,点 P? ?1,2?到抛物 5 线 C:y2=2px(p>0)的准线的距离为 .点 M(t,1)是 C 上的定点,A,B 是 C 4 上的两动点,且线段 AB 被直线 OM 平分. (1)求 p,t 的值; (2)求△ABP 面积的最大值. 1 ? ? ?2pt=1, ?p=2, 解:(1)由题意知? p 5 得? 1+ = , ? ? ? 2 4 ?t=1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点为 Q(m,m), 设直线 AB 的斜率为 k(k≠0).
2 ? ?y1=x1, 由? 2 =x2, ?y2 ?

得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2, 故 k· 2m=1, 所以直线 AB 的方程为 y-m= 即 x-2my+2m2-m=0. 1 (x-m), 2m

?x-2my+2m2-m=0, ? 由? 2 ? ?y =x,
消去 x,整理得 y2-2my+2m2-m=0,

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所以 Δ = 4m - 4m2>0 , y1 + y2 = 2m , y1· y2 = 2m2 - m. 从而 |AB| = 1+4m2· 4m-4m2.

1 1+ 2 · |y - y2| = k 1

|1-2m+2m2| 设点 P 到直线 AB 的距离为 d,则 d= ,设△ABP 的面积为 S, 1+4m2 1 则 S= |AB|· d=|1-2(m-m2)|· m-m2. 2 由 Δ=4m-4m2>0,得 0<m<1. 令 u= 1 m-m2,0<u≤ ,则 S=u-2u3, 2

S′(u)=1-6u2. 由 S′(u)=0,得 u= 所以 S(u)max=S? 6 ? 1? ∈ 0, , 6 ? 2?

6 6? = . ?6? 9 6 . 9

故△ABP 面积的最大值为

1.(2012· 北京高考)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过抛物线 y2=4x 的焦点 F,且与该抛 物线相交于 A,B 两点,其中点 A 在 x 轴上方.若直线 l 的倾斜角为 60° ,则△OAF 的面积 为________. 解析:直线 l 的方程为 y= 3(x-1),即 x= 4 3 + 3 3 4 3 y+1,代入抛物线方程得 y2- y-4 3 3

=0,解得 yA= 答案: 3

16 +16 3 1 =2 3(yB<0,舍去),故△OAF 的面积为 ×1×2 3= 3. 2 2

1 ? 2. (2012· 东城模拟)已知顶点在坐标原点, 焦点在 x 轴正半轴的抛物线上有一点 A? ?2,m?, A 点到抛物线焦点的距离为 1. (1)求该抛物线的方程; (2)设 M(x0,y0)为抛物线上的一个定点,过 M 作抛物线的两条相互垂直的弦 MP,MQ, 求证:PQ 恒过定点(x0+2,-y0); (3)直线 x+my+1=0 与抛物线交于 E,F 两点,问在抛物线上是否存在点 N,使得△ NEF 为以 EF 为斜边的直角三角形?若有,求出该点存在时需满足的条件;若无,请说明理

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由. p 1 解:(1)由题意可设抛物线的方程为 y2=2px(p>0),则由抛物线的定义可得 + =1,即 2 2 p=1, 所以该抛物线的方程为 y2=2x. (2)由题意知直线 PQ 与 x 轴不平行,设直线 PQ 的方程为 x=my+n,代入 y2=2x 得 y2 -2my-2n=0. 所以 y1+y2=2m,y1y2=-2n,其中 y1,y2 分别是 P,Q 的纵坐标,x1,x2 分别是 P,Q 的横坐标. 因为 MP⊥MQ,所以 kMP· kMQ=-1. 即 y1-y0 y2-y0 · =-1, x1-x0 x2-x0

y2 y2 y2 2 2 1 2 0 又由 x1= ,x2= ,x0= ,代入上式得 · =-1, 2 2 2 y1+y0 y2+y0 所以(y1+y0)(y2+y0)=-4. 即 y1y2+(y1+y2)y0+y2 0+4=0, 所以(-2n)+2my0+2x0+4=0,即 n=my0+x0+2. 所以直线 PQ 的方程为 x=my+my0+x0+2, 所以直线 PQ 恒过定点(x0+2,-y0).
2 ? ?y =2x, (3)假设存在点 N(x0,y0),设 E(x1,y1),F(x2,y2).由? 消去 x 得 y2+ ?x+my+1=0, ?

2my+2=0, 则 y1+y2=-2m,y1y2=2,且(2m)2-8>0,即 m2>2. y1-y0 y2-y0 y2 y2 1 2 由于 NE⊥NF,所以 · =-1,又点 E,F,N 在抛物线上,所以 x1= ,x2= , 2 2 x1-x0 x2-x0
2 y1-y0 y2-y0 y0 2 2 x0= ,代入 · =-1,得 · =-1,即(y1+y0)(y2+y0)=-4,即 y1y2+ 2 x1-x0 x2-x0 y1+y0 y2+y0 2 2 y0(y1+y2)+y2 0+4=0,将 y1+y2=-2m,y1y2=2 代入并整理得 y0-2my0+6=0,只要 4m

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-24>0,即 m2>6,该方程即有实数解.所以只要 m2>6 就存在满足条件的点 N,当 m2≤6 时不存在满足条件的点 N.


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