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福建省芗城中学2014届高三高考前热身数学理试卷 Word版含答案


2014 届高三年高考热身考试理科数学试题
一、选择题(本题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。每小题只有一个选项符合题 意,请将正确答案填入答题卷中。)21 世纪教育网版权所有
1. 若复数 z 满足 zi ? 4 ? 5i (其中 i 为虚数单位),则复数 z 为( A. 5 ? 4i B. ?5 ? 4i C. 5 ? 4i D. ?5 ? 4i

) 2.已知集合 A ? {x | lg( x ? 2) ? 1} ,集合 B ? {x | A. (2,12) B. (2,3) ) )

1 ? 2 x ? 8} ,则 A ? B 等于( 2
D. (?1,12)

C. (?1,3)

3.下列说法正确的是(

A.若“ p?q ”为假命题,则 p , q 均为假命题
2 B. “ x ? 2 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的必要不充分条件

C.命题“ ?x ? R , 使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是: “ ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ”
2 2

D.在 ?ABC 中,若 A 是最大角,则“ sin B ? sin C ? sin A ”是“ ?ABC 为钝角三
2 2 2

角形”的充要条件 4.设 a, b 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面,下列四个命题中正确的是( A.若 a, b 与 ? 所成的角相等,则 a // b C.若 a ? ? ,b ? ? ,? ? ? ,则 a ? b 5.二项式 ( x ( ) A.-56 ) B.若 a // ? , b // ? ,? // ? ,则 a // b D.若 a ? ? ,b ? ? ,a // b ,则 ? // ?

1 n ) 的展开式中恰好第5项的二项式系数最大,则展开式中含 x 2 项的系数是 x
B.-35 C. 35
x

D.56 )21 教育网 D.既不充分也不必要

6.设 a ? 0 且 a ? 1 ,命题 p :函数 f ( x) ? a 在 R 上是增函数 ,命题 q :函数

g ( x) ? (a ? 2) x3 在 R 上是减函数,则 p 是 q 的(
A.充分不必要条件 条件 7.双曲线 my 2 ? x2 ? 1(m ? R) 与椭圆 ( ) B. y ? ? B.必要不充分条件

C.充分必要条件

y2 ? x 2 ? 1 有相同的焦点,该双曲线的渐近线方程为 5

A. y ? ? 3x

3 x 3

C. y ? ?

1 x 3

D. y ? ?3x
? ?

8.已知平行四边形 ABCD 中, AB ? 1, AD ? 2, ?DAB ? 60? , 则 AC ? AB 等于( A.1 B. 3
2



C.2

D. 2 3

9. 设 函 数 f ( x) ? ?

?x ? 6x ? 6 , x ? 0 , 若 互 不 相 等 的 实 数 x1、x2、x3 满 足 3 x ? 4, x ? 0 ?


f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ,则 x1 ? x2 ? x3 的取值范围是(
A. (

11 , 6] 3

( B.

20 26 , ) 3 3

( C.

20 26 , ] 3 3

( D.

11 , 6) 3

10.设函数 y ? f ( x) 的定义域为 D ,若对于任意 x1 、 x 2 ? D ,当 x1 ? x2 ? 2a 时,恒有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2b ,则称点 (a , b) 为函数 y ? f ( x) 图像的对称中心.研究函数
f ( x) ? x ? sin ? x ? 3 的某一个对称中心,并利用对称中心的上述定义,可得到

? 1 ? ? 2 ? ? 4026? ? 4027? f? ?? f? ? ??? f ? ?? f? ? 的值为( ? 2014? ? 2014? ? 2014? ? 2014?
A. ? 8054 B. ? 4027 C. 4027



D. 8054

二、 填空题 (本题 5 小题, 每小题 4 分,共 20 分。 请将正确答案填入答题卷中。 )
11.曲线 y ? x2 ? 1 与直线 x ? 0 , x ? 1 及 x 轴所围成的图形的面积是 12.执行如图所示的程序框图,若输入的 a ? 5 ,则输出的结 果是__ __. .

? ? x ? y ? 1, ? 13.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 若 x, y 取整数,则 ? 3 ?y ? , ? 2
目标函数 z = 2 x + y 的最大值是 .

2n

14.已知矩形的周长为 36,矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱,则旋转形成的圆柱的侧 面积的最大值为 .
21cnjy.com

15.对于集合 A ,如果定义了一种运算“ ? ”,使得集合 A 中的元素间满足下列 4 个条件: (ⅰ) ?a, b ? A ,都有 a ? b ? A ; (ⅱ) ?e ? A ,使得对 ?a ? A ,都有 e ? a ? a ? e ? a ; (ⅲ) ?a ? A , ? a? ? A ,使得 a ? a? ? a? ? a ? e ; (ⅳ) ?a, b, c ? A ,都有 ? a ?b? ? c ? a ? ?b ? c ? , 则称集合 A 对于运算“ ? ”构成“对称集”.下面给出三个集合及相应的运算“ ? ”:

? ? ② A ? ?复数? ,运算“ ? ”为普通减法; ③ A ? ?正实数? ,运算“ ? ”为普通乘法.
① A ? 整数 ,运算“ ? ”为普通加法; 其中可以构成“对称集”的有 .(把所有正确的序号都填上)

三、解答题(本题 6 小题,共 80 分, 请将正确答案填入答题卷中。)
16.(13 分) 为减少“舌尖上的浪费”,某学校对在该校食堂用餐的学生能否做到“光盘”, 进行随机调查,从中随机抽取男、女生各 15 名进行了问卷调查,得到了如下列联表:

17.(13 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin( x ?

?

) ? cos( x ? ). 6 6

?

( I ) 当 x∈A 时,函数 f(x)取得最大值或最小值,求集合 A; (Ⅱ) 将集合 A 中 x∈(0,+ ? )的所有 x 的值,从小到大排成一数列,记为{an},求数 列{ an}的通项公式;21·cn·jy·com (Ⅲ)令 bn ?

?2
an ? an?1

,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

18.(13 分) 如图, 在三棱锥 C ? OAB 中, CO ? 平面 AOB , OA ? OB ? 2OC =2 ,AB ? 2 2 ,

D 为 AB 的中点. (Ⅰ)求证: AB ⊥平面 COD ; (Ⅱ)若动点 E 满足 CE ∥平面 AOB ,问:当 AE ? BE 时, 平面 ACE 与平面 AOB 所成的锐二面角是否为定值? 若是,求出该锐二面角的余弦值;若不是,说明理由.
A

C

O D

E B

19.(13 分) 已知点 A, B 是抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 上不同的两点,点 D 在抛物线 C 的
2

准线 l 上,且焦点 F 到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离为 (I)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)现给出以下三个论断:

3 2 . 2

①直线 AB 过焦点 F ;②直线 AD 过原点 O ;③直线 BD 平行 x 轴. 请你以其中的两个论断作为条件, 余下的一个论断作为结论, 写出一个正确的命题, 并加以证明. n ?1 20.(14 分 ) 已 知 数 列 {an } 满 足 a1 ? t ? 1 , an?1 ? an . 函 数 n ? 1? 2 f( x ? ) ? l n ?x ( 1 ? m )x ? ? x ? . m ( 0 , ) ? 2? (I)求数列 {an } 的通项公式; (II)试讨论函数 f ( x) 的单调性; a 2 1 ? n ?1. (III)若 m ? ,数列 {bn } 满足 bn ? f (an )+an ,求证: an ? 2 bn 2 21.本题设有(1)、(2)、(3)三个选答题,每小题 7 分,请考生任选 2 个小题作答,满 分 14 分. 如果多做,则按所做的前两题记分.作答时,在答题卡上把所选题号填入括号中. (1)(本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 已知 ? ? ? ?1? ? 为矩阵 A ? ?

?1? ? ?

?1 a ? ? ? 属于特征值 ? 的一个特征向量. ??1 4 ? ? ? ?
(Ⅱ)求矩阵 A 的逆矩阵.

(Ⅰ)求实数 a, ? 的值;

(2)(本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 点 A, B 的极坐标分别为 (2, ? ) , (2

2, ) ,曲线 C 的参数方程 4

?

? x ? cos ? .www.21-cn-jy.com (?为参数) ? ? y ? 1 ? sin ?
(Ⅰ)求 ?AOB 的面积; (Ⅱ)求直线 AB 被曲线 C 截得的弦长. (3)(本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) = 2x - 1 - x + 1 . (Ⅰ)求不等式 f ? x ? ? 0 的解集 D ; (Ⅱ)若存在实数 x ? ?0,2? ,使得 3x +

2 - x > a 成立,求实数 a 的取值范围.

2014 届高三年高考热身考试理科数学答案
一、选择题 二、填空题 三、解答题 D B D C A 4 62 3 D A C D A
5

162?

①、③

16.解:(Ⅰ)

男性 做不到“光盘” 能做到“光盘” 合 计 3 15

女性 5 15

合计 17 13 ????3 分

由已知数据得 K ?
2

30(12 ? 10 ? 3 ? 5) ? 6.652 ? 6.635,所以,有 99%以上的 15 ? 15 ? 17 ? 13
2

把握认为“在学校食堂用餐的学生能否做到‘光盘’与性别有关”????6 分 (Ⅱ) X 的可能取值为 0,1,2????7 分
2 C10 3 P( X ? 0) ? 2 ? C15 7 1 1 C10 ? C5 10 P( X ? 1) ? ? 2 21 C15

,



P( X ? 2) ?

C52 2 ???10 分 ? 2 C15 21
X
P
0 1 2

所以 X 的分布列为:

10 2 21 21 3 10 2 2 X 的数学期望为 E ( X ) ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? ????13 分 7 21 21 3
17. 解:(Ⅰ) f ( x) ? 2[

3 7

3 ? 1 ? sin(x ? ) ? cos(x ? )] ????1 分 2 6 2 6

? 2 sin[( x ?

?
6

)?

?
6

] ? 2 sin x ????3 分

当函数 f ( x) 取得最值时,集合 A ? {x x ? k? ? ( Ⅱ )

?
2

, k ? Z } ????4 分

x ? (0,??)

的 所 有

x 的 值 从 小 到 大 依 次 是

? 3? 5?
2 , 2 , 2

,?,

(2n ? 1)? , ? .??6 分 2
即数列 {an } 的通项公式是 a n ?

(2n ? 1)? ????8 分 2

(Ⅲ)由(Ⅱ)得 bn ? 10 分

?2
an ? an?1

?

4 1 1 ? 2( ? ) ???? (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 ? Tn ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ????11 分 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1

? 2(1 ?

1 4n )? ????13 分 2n ? 1 2n ? 1

z C y B D

O A

E

18. 解:(Ⅰ)在三棱锥 C ? OAB 中, CO ? 平面 AOB ,
? CO ? AB .???????2 分

又 OA ? OB , D 为 AB 的中点, ∴ DO ? AB .???????4 分 ∵ DO ? CO ? O ,∴ AB ⊥平面 COD .????5 分 (Ⅱ)∵ OA ? OB =2 , AB ? 2 2 ,? AO ? BO .????5 分 由 CO ? 平面 AOB ,故以点 O 为原点, OA 所在的直线为 x 轴, OB 所在的直线为

y 轴, OC 所在的直线为 z 轴建立空间直角坐标系(如图),由已知可得
O(0, 0, 0), A(2,0,0), B(0, 2,0), C (0,0,1), D(1,1,0) .???7 分

由 CE ∥平面 AOB ,故设 E ( x, y,1) .????8 分 由 AE ? BE ,得 ( x ? 2)2 ? y2 ? 12 ? x2 ? ( y ? 2)2 ? 12 , 故 x ? y ,即 E ( x, x,1)( x ? 0) .?????9 分
???? ??? ? 设平面 ACE 的法向量为 n1 =(a, b, c) ,由 AC ? (?2,0,1) , CE ? ( x, x,0) ,得
??2a ? c ? 0, 令 a ? 1 ,得 n1 =(1, ?1, 2) .???11 分 ? ?ax ? bx ? 0,

又平面 AOB 的法向量为 n2 =(0,0,1) ,????12 分 所以 cos n1 , n2 =
2 1? 6 ? 6 . 3
6 . ?? 3

故平面 ACE 与平面 AOB 所成的锐二面角定值, 该锐二面角的余弦值为 13 分

p ?0?2 p 3 2 2 ? 19. 解:(I)因为 F ( , 0) , 依题意得 d ? , 2 2 2

?????2 分

2 解得 p ? 2 ,所以抛物线 C 的方程为 y ? 4 x ????4 分

(Ⅱ)①命题:若直线 AB 过焦点 F ,且直线 AD 过原点 O ,则直线 BD 平行 x 轴.?? 5分 设直线 AB 的方程为 x ? ty ? 1 , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,???6 分 由?

? x ? ty ? 1, ? y ? 4 x,
2

得 y ? 4ty ? 4 ? 0 ,? y1 y2 ? ?4 ,???8 分
2

直线 AD 的方程为 y ?

y1 x ,?????9 分 x1 y1 y 4y 4 ) ,?? 1 ? ? 21 ? ? ? y2 ,????12 分 x1 y1 y1 x1

所以点 D 的坐标为 (?1, ?

? 直线 DB 平行于 x 轴.????13 分
②命题: 若直线 AB 过焦点 F ,且直线 BD 平行 x 轴, 则直线 AD 过原点 O .?? 5分 设直线 AB 的方程为 x ? ty ? 1 , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,???6 分 由?

? x ? ty ? 1, ? y ? 4 x,
2

得 y 2 ? 4ty ? 4 ? 0 ,? y1 y2 ? ?4 ,????8 分

即点 B 的坐标为 ( x2 , ?

4 ) ,???9 分 y2 4 ) ,???10 分 y1

∵直线 BD 平行 x 轴,∴点 D 的坐标为 (?1, ?

∴ OA ? ( x1 , y1 ) , OD ? (?1, ?

??? ?

????

4 ), y1

由于 x1 (?

4 ) ? y1 (?1) ? ? y1 ? y1 ? 0 , y1

∴ OA ∥ OD ,即 A, O, D 三点共线,????12 分 ∴直线 AD 过原点 O .???13 分 ③命题: 若直线 AD 过原点 O ,且直线 BD 平行 x 轴, 则直线 AB 过焦点 F .?? 5分 设直线 AD 的方程为 y ? kx (k ? 0) ,则点 D 的坐标为 (?1, ?k ) ,??6 分 ∵直线 BD 平行 x 轴, ∴ yB ? ?k ,∴ xB ?

??? ?

????

k2 k2 ,即点 B 的坐标为 ( , ? k ) ,???8 分 4 4

由?

? y ? kx, ? y ? 4 x,
2

得 k x ? 4x ,
2 2

∴ xA ?

4 4 4 4 , y A ? , 即点 A 的坐标为 ( 2 , ) ,????10 分 2 k k k k

∴ FA ? (

??? ?

? k2 4 4 ??? ? 1, ) , FB ? ( ? 1, ?k ) , k2 k 4

由于 (

4 4 k2 4 4 ? 1)( ? k ) ? ? ( ? 1) ? ? ? k ? k ? ? 0 , 2 k k 4 k k

∴ FA ∥ FB ,即 A, F , B 三点共线,???12 分 ∴直线 AB 过焦点 F .????13 分 a n n ?1 20. 解:(I)∵ an?1 ? , an , ∴当 n ? 2 时, n ? an -1 n ? 1 n a a a a 2 3 n ∴ 2 ? 3 ?? ? n ? ? ?? ? ,即 n = n , a1 a1 a2 an -1 1 2 n ?1 ∴ an ? nt ,对 n ? 1 也成立, ∴数列 {an } 的通项公式为 an ? nt .???3 分 (II) f ?( x) ?

??? ?

??? ?

1 2mx2 ? 2mx ? x x(2mx ? 2m ? 1) ? 2mx ? 1= ? ( x ? ?1) ,???4 分 1? x 1? x 1? x ?x 当 m ? 0 时, f ?( x) ? ,当 ?1 ? x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 , 1? x ∴函数 f ( x) 的单调增区间是 (?1,0) ,减区间是 (0, ??) ;????5 分
当0? m? 当0? m?

1 2m ? 1 1 时,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 0 , x2 ? ? . ? ?1 ? 2 2m 2m 1 1 时,x2 ? 0 , 当 ?1 ? x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ; 当 0 ? x ? ?1 ? 时, f ?( x) ? 0 ; 2 2m

x ? ?1 ?

1 时, f ?( x) ? 0 , 2m 1 1 减区间是 (0, ?1 ? ??? , ??) , ); 2m 2m

∴函数 f ( x) 的单调增区间是 (?1,0) 和 (?1 ? 6分

1 x2 当 m= 时, x1 ? x2 ? 0 , f ?( x) ? ?0, 2 1? x ∴函数 f ( x) 的单调增区间是 (?1, +?) ,无减区间.???7 分 综上所述,当 m ? 0 时,∴函数 f ( x) 的单调增区间是 (?1,0) ,减区间是 (0, ??) ;
当 0?m?

1 1 时 , 函 数 f ( x) 的 单 调 增 区 间 是 (?1,0) 和 (?1 ? , ??) , 减 区 间 是 2 2m

(0, ?1 ?

1 ); 2m

1 当 m= 时,函数 f ( x) 的单调增区间是 (?1, +?) ,无减区间. 2
(III)当 m ?

1 1 1 时, f ( x) ? ln(1 ? x) ? x2 ? x , bn ? ln(1 ? an ) ? an 2 . 2 2 2

由 an ? nt 且 t ? 1 ,故 bn ? 0 .???8 分 要证
an 1 ? 1 ,即证 an ? bn ,即证 ln(1 ? an ) ? an 2 ? an ? 0 . bn 2

1 由(II)得 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x2 ? x( x ? 0) 在 (0, +?) 上单调递增, 2

1 所以 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x2 ? x ? f (0) ? 0 , 2 a 1 所以 f (an ) ? ln(1 ? an ) ? an 2 ? an ? 0 ,即 n ? 1 成立.????11 分 bn 2 a 2 ? n ,由 an ? 2 ? 0 ,即证 an 2 ? 2an ? 2bn , 要证 an ? 2 bn
即证 an 2 ? 2an ? 2ln(1 ? an ) ? an 2 ,即证 an ? ln(1 ? an ) .

1 x ? ?0, 1? x 1? x 所以 g ( x) 在 (0, +?) 上单调递增, g ( x) ? g (0) ? 0 , a 2 ? n 成立. 从而 an ? ln(1 ? an ) ,即 an ? 2 bn
设 g ( x) ? x ? ln(1 ? x)( x ? 0) , g ?( x) ? 1 ? 综上,
a 2 ? n ? 1 .???14 分 an ? 2 bn

21.(1)(本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 解:(Ⅰ)由 ?

a ? ?1? ?1 ? a ? ? ?1? ? a ? 2, ? ? 3 ? ? ? = ? ? ? 得: ? ? 1 ? 4 ? ? 1 1 ? 1 4 ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 ? (Ⅱ)由(Ⅰ) 知 A ? ? ? ? | A |? 1? 4 ? 2 ? 6 ? ?1 4 ? 1? ?2 ? 4 ? 2? ? 3 ? 3 ? ? ? ? 1 ? A ?1 ? ?1 1 ? ? ? 1 ? ????? 7 分 1 | A| ? ? ? ? ? ? ?6 6? ? ? ?1

???4 分

(2)(本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解:(Ⅰ) S?AOB

1 ? ? 2 ? 2 2 ? sin1350 ? 2 ??????3 分 2

(Ⅱ)在直角坐标系中 A(?2,0), B(2,2) 所以直线 AB 的方程为: x ? 2 y ? 2 ? 0 ?????4 分 曲线 C : x
2

? ( y ?1)2 ? 1 是圆心为 P(0,1) ,半径为1的圆?????5 分

因为直线 AB 正好过圆心 P(0,1) ,所以直线 AB 被曲线 C 截得的弦长为 2 ? 7分 (3)(本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 解:(Ⅰ)当 x ? ?1 时,由 f ? x ? ? ? x ? 2 ? 0 得 x ? 2 ,所以 x ?? ;

1 1 时,由 f ? x ? ? ?3x ? 0 得 x ? 0 ,所以 0 ? x ? ; 2 2 1 1 当 x ? 时,由 f ? x ? ? x ? 2 ? 0 得 x ? 2 ,所以 ? x ? 2 . ???2 分 2 2
当 ?1 ? x ? 综上不等式 f ? x ? ? 0 的解集 D ? x 0 ? x ? 2 . ??3 分 (Ⅱ) 3x ? 2 ? x ? 3 x ? 2 ? x ,????4 分 由柯西不等式得 ( 3 x +

?

?

2 - x )2 ? (3 1)( x + (2 - x)) = 8 ,

? 3x ? 2 ? x ? 2 2 , ??????5 分
当且仅当 x ?

3 时取“=”, 2

? a 的取值范围是 (- ? ,2 2) .???7 分


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