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双曲线的简单几何性质第一课时ppt课件


第一课时

复习回顾: 定义 | |MF1|-|MF2| | =2a(0 < 2a<|F1F2|)
y
M

y
M
F2

图象
F1 o F2

x
F1

x

方程

r />x a

2 2

?

y b

2 2

?1
2

y a

2 2

?

x b

2 2

? 1

a.b.c 的关系

c

? a

2

? b

2

复习提问: 椭圆的简单几何性质有哪些?
Y
B2

范围

对称性
顶点 离心率

A1 F1

o

A2 F2

X

B1

y 图形

y

A1

.
y b
2 2

B2 O

F1

.

F2

A2

x

. .
B2

F1(-c,0) B1 F2(c,0)
方程 范围
x a
2 2

F1(-c,0)
x a
2

F1

A1 A2
O

F2

B1
y b
2

x F2(c,0)

?

? 1 (a ? b ? 0)
?b ? y ?b

2

?

2

? 1 (a ? 0 ,b ? 0 )

?a? x?a

对称性 关于x轴、y轴、原点对称 顶点 离心率
A1(- a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b) c e? (0 ? e ? 1) a

类比椭圆,探讨双曲线
x a
2 2

y

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 )

o

x

的几何性质:

范围、对称性、顶点、离心率. 渐近线

探究双曲线的简单几何性质

1、范围
x ? ? a或 x ? a

y (-x,y)
A1

(x,y) o a

-a

A2

x

2、对称性

(-x,-y)

(x,-y)

你能从双曲线方程: x轴、y轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心, 2 2 x y 又叫做双曲线的中心。? 0 , b ? 0 ) ? ? 1( a

3、顶点(与对称轴的交点) 得到双曲线这些的几何性质吗?
A1 ( ? a , 0 )、 A 2 ( a , 0 )

a

2

b

2

3、顶点
?1 ?, A1 A 2
? 实轴; B 1 B 2 ? 虚轴;

实轴长 虚轴长

? 2a ,实半轴长 ? 2b ,虚半轴长

? a ? b
A1

y b -a -b
B2

o a
B1

A2

x

(2) 实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线
2a ? 2b ? a ? b
方程为 x a
2 2

?

y a

2 2

?1? x ? y
2

2

? a

2

练一练
1.双 曲 线 A. C. y
2

- x = 1 中 , x , y的 取 值 范 围 分 别 是 B. D.
x
2 2 2 2

2

( D)

4 - 1 ? x ? 1, y ? R x ? R, -2 ? y ? 2 x ? - 1 ? 或 x ? 1, y ? R x ? R, y ? -2或 y ? 2
y

2.若点P(2,4)在双曲线 ? ? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 上,下列 a b 是双曲线上的点有 (1)P(-2,4) (2)P(-4,2) (1) (3) (4) (3) P(-2,-4) (4)P(2,-4)
3.求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)焦点在x轴上,实轴长是10,虚轴长是8,则方程是

x
2

2

?
x
2

y

2

?1

25
y ?

16
?1

(2)焦点在y轴上,焦距是10,虚轴长是8,则方程是

9

16

4、渐近线
y

观察这两条直线与双曲 线有何关系?
A1

B2

b
A2

o a 观察动画
B1

x

双曲线 a ? b ? 1 的各支向外延伸 时,与这两条直线逐渐接近!故把 这两条直线叫做双曲线的渐近线!
2 2

x

2

y

2

4、渐近线
思考(1)双曲线 a 的渐近线方程是?
y ? ?
x a
x
2 2

?

y b

2 2

?1

k ? ?

b a
B2

k ?

b a

y

(a,b)
b a

b
b a
? ? y b ? 0

x
A1

o
B1

A

2

x

(2)等轴双曲线的渐近线 方程是什么?y ? ? x (3)利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图 画矩形 画渐进线 画双曲线的草图

5、离心率
双曲线的焦距与实轴长 (1)定义: 双曲线的 的比 e ? c a , 叫做

离心率。
? e >1

(2)e的范围? ? c>a>0

(3)e的含义? 注意观察(动画演示)

e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开 口越大 b c ?a c
2 2

?

?

(

) ?1 ?
2

e ?1
2

a

a

a





B2

. .
A2 B2
y a
2 2

图形

. .
F1

y

y
F2

F2(0,c)
B1

A1 A2
O

F2

x

F1(-c,0) 方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线
x a
2

B1 F2(c,0)

A1 O F1

x F1(0,-c)

2

?

y b

2

2

? 1 (a ? b ? 0)

?

x b

2

2

? 1 (a ? 0 ,b ? 0 )

x ≥ a 或 x ≤ ?a,y ? R
关于x轴、y轴、原点对称
A1(- a,0),A2(a,0)
e? c a
y ? ? b a x

y ≥ a 或 y ≤ ?a,x ? R
关于x轴、y轴、原点对称
A1(0,-a),A2(0,a)
e? c a
y ? ? a b x

(e ? 1)

(e ? 1)

x

2

例1:

?

y

2

?1

16

9

1、双曲线 9x2-16y2=144的实半轴长 等于 4 虚半轴长等于 3 顶点坐 标是 ? ? 4 , 0 ? 焦点坐标是 ? ? 5, 0 ? 渐近线方是
y ? ? 3 4 x (或
x 4 ? y 3 ? 0)

.

离心率e=

5 4



练习1、已知双曲线中心在原点,焦点在x轴上, 5
e,求双曲 ? 顶点间的距离是16,离心率 4 线的标准方程,并求出它的渐近线方程。

解:依题意可设双曲线的方程为

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a ? 0, b ? 0)

? 2 a ? 16 ,即 a ? 8 c 5 又?e ? ? , ? c ? 10 a 4

?b

2

? c ?a
2

2

? 10
x

2
2

?8
?

2
2

? 36
?1
y ? ? 3 4 x

? 双曲线的方程为

y

64 36 ? 渐近线方程为

变式、已知双曲线中心在原点,顶点间的距离是16, 5
离心率 e
? 4

,求双曲线的标准方程。

练习
2

若双曲线

x a

2 2

-

y b

2 2

= 1 的 一 条 渐 近 线 方 程 为 x ? y ? 0, ( B)

则此双曲线的离心率是 A. C. 2
x
2

2 2

B. D.
y
2

2 3
( A)

3 双曲线

-

=1的 焦 点 到 渐 近 线 的 距 离 是 B. D. 1 2

4 A. C. 2 3 3

12

例2. 已 知 双 曲 线 中 心 在 原 点 , 焦 点 在 y 轴 上 , 顶 点 间 的 距 离 是 6 ,

渐近线方程为y ? ?

3 2

x, 求 双 曲 线 的 标 准 方 程 。

解: 当 焦 点 在 y 轴 上 时 , 设 所 求 双 曲 线 的 方 程
?2a ? 6 ? 由题意得 ?a 3 ? ? 2 ?b 解 得 a=3,b=2 所求双曲线的方程为 y
2

y a

2 2

?

x b

2 2

? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )。

?

x

2

?1

9

4

变式:名师金典P46变式2

练习4 已知双曲线的渐近线是x ? 2 y ? 0 ,并且双曲线过点
M ( 4, 3)

求双曲线方程.

设双曲线方程为 y a
2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

?1 ?

y Q

还是

?

x b

2 2

?1 ?

M o 4 x

变形:已知双曲线渐近线是 x ? 2 y ? 0 ,并且双曲线过点
N ( 4, 5 ) 求双曲线方程.
2 2 2 2

y N
Q

设双曲线方程为 y a
2 2

x a

?

y b

?1 ?

还是

?

x b

2 2

?1 ?

o

x

令双曲线为

x a

2 2

?

y b

2 2

? ?,若求得? ? 0, 则双曲线的焦点在x轴;

若? ? 0, 则焦点在y轴上。

小结:
知识要点:
1. x a y a
2 2

?

y b

2 2

?1 的渐近线是y= ?

b a

x.

2 2

2.

?

x b

2 2

? 1的渐近线是y= ?

a b

x.

技法要点:
双曲线 x a
2 2

?

y b

2 2

? ? (? ? 0) ? 渐近线方程

x a

2 2

?

y b

2 2

? 0.

学习反思:

一、双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

?1

的简单几何性质

范围,对称性,顶点,离心率,渐进线

二、比较双曲线的几何性质与椭圆的几 何性质的异同.

y 图形

y

A1

.
y b
2 2

B2 O

F1

.

F2

A2

x

. .
B2

F1(-c,0) B1 F2(c,0)
方程 范围
x a
2 2

F1(-c,0)
x a
2

F1

A1 A2
O

F2

B1
y b
2

x F2(c,0)

?

? 1 (a ? b ? 0)
?b ? y ?b

2

?

2

? 1 (a ? 0 ,b ? 0 )

?a? x?a

x ? a 或 x ? ?a,y ? R

对称性 关于x轴、y轴、原点对称 顶点 离心率 渐进线
A1(- a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b) c e? (0 ? e ? 1) a

关于x轴、y轴、原点对称
A1(- a,0),A2(a,0)

e?

c a
b a

(e ? 1)
x



y ? ?

用“类比学习法”和“数形结合法” 导出双曲线 y a
2 2

?

x b

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0)

y

的简单几何性质

a
-b o b x

(1)范围:

y ? a, y ? ?a

(2)对称性: 关于x轴、y轴、原点都对称 (3)顶点: (0,-a)、(0,a) (4)渐近线:
y ? ? a b x

-a



y a

?

x b

? 0

(5)离心率:

e ?

c a

提高题
1 .双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 y ? ? 5 3 5 2 5 2 15 3 5 3 3 4 A. ; B. ;C. 或 ; D. 或 5 4 x,则 双 曲 线 的 离 心 率 为

?D ?

2、 若椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1, ( a ? b ? 0 )

的离心率为
5

3 2

,

则双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1

的离心率为_______ 2

作业:课本习题2.3 A组 4(3)、6

B组1


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