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安徽省宣城市泾县中学2014-2015学年高二上学期期初数学试卷 Word版含解析


安徽省宣城市泾县中学 2014-2015 学年高二上学期期初数学试卷
一、选择题(本大题共 11 小题,每小题 5 分,满分 55 分.每小题 4 个选项中,只有 1 个选项 符合题目要求) 1. (5 分)集合 A={x|2≤x<5},B={x|3x﹣7≥8﹣2x}则(?RA)∩B 等于() A.? B.{x|x<2} C.{x|x≥5} D.{x|2≤x<5} 2.

(5 分)已知 f(x)=x +2x,则 f(a)+f(﹣a)的值是() A.0 B . ﹣1 C. 1 3. (5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体是()
3

D.2

A.圆柱

B.圆锥

C.三棱柱

D.三棱锥

4. (5 分)已知函数 A.0 B. 1

,那么 f(ln2)的值是() C.ln(ln2)
2

D.2

5. (5 分)已知 y=f(x)是奇函数,当 x<0 时,f(x)=x +ax,且 f(3)=6,则 a 的值为() A.5 B. 1 C . ﹣1 D.﹣3 6. (5 分)设 a>b,则下列不等式成立的是() A. > B.log2a>log2b C. < D.2 >2
a b

7. (5 分)设 α,β 是两个不同的平面,l 是一条直线,以下命题正确的是() A.若 l⊥α,α⊥β,则 l?β B. 若 l∥α,α∥β,则 l?β C. 若 l⊥α,α∥β,则 l⊥β D.若 l∥α,α⊥β,则 l⊥β 8. (5 分)已知等比数列{an}的通项公式为 an=3 A. B. 9
n+2

(n∈N ) ,则该数列的公比是() D.3

*

C.

9. (5 分)已知 cos(π﹣α)=﹣ ,则 cos2α=() A. B. ﹣ C. D.﹣

10. (5 分)若实数 x,y 满足不等式组

,则 y﹣x 的最大值为()

A.1

B. 0

C . ﹣1

D.﹣3

11. (5 分)在以下关于向量的命题中,不正确的是() A.若向量 a=(x,y) ,向量 b=(﹣y,x) , (xy≠0) ,则 a⊥b B. 平行四边形 ABCD 是菱形的充要条件是( C. 点 G 是△ ABC 的重心,则 D.△ ABC 中, 和 + + = ) ( )=0

的夹角等于 180°﹣A

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,把答案填在题中的横线上.) 12. (5 分)已知△ ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别是 a, b,c,且 A=30°,B=45°, a=2,则 b=. 13. (5 分)不等式 ax +bx+2>0 的解集为(﹣ , ) ,则 a+b 等于.
2

14. (5 分)设 f(x)= cos x+

2

sinxcosx+2,x∈[﹣



],则 f(x)的值域为.

15. (5 分)某体育场一角的看台的座位是这样排列的:从第二排起每一排都比前一排多出相 同的座位数.现在数得该看台的第 6 排有 25 个座位,则该看台前 11 排的座位总数是.

三、解答题(共 6 题,计 75 分) + 16. (12 分)已知等差数列{an}(n∈N )}满足 a1=2,a3=6 (1)求该数列的公差 d 和通项公式 an; (2)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,若 Sn≥2n+12,求 n 的取值范围. 17. (12 分)设函数 的最大值为 M,最小正周期为 T. (Ⅰ)求 M、T; (Ⅱ) 若有 10 个互不相等的正数 xi 满足 ( f xi) =M, 且 xi<10π (i=1, 2, …, 10) , 求 x1+x2+…+x10 的值. 18. (12 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD, PD=DC,E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F.

(1)证明 PA∥平面 EDB; (2)证明 PB⊥平面 EFD; (3)求二面角 C﹣PB﹣D 的大小.

19. (12 分)函数 f(x)=

是偶函数.

(1)试确定 a 的值,及此时的函数解析式; (2)证明函数 f(x)在区间(﹣∞,0)上是减函数; (3)当 x∈[﹣2,0]时,求函数 f(x)= 的值域.

20. (13 分)已知函数 f(x)=kx+b 的图象与 x,y 轴分别相交于点 A、B, 分别是与 x,y 轴正半轴同方向的单位向量) ,函数 g(x)=x ﹣x﹣6. (1)求 k,b 的值; (2)当 x 满足 f(x)>g(x)时,求函数 的最小值.
2



21. (14 分)已知圆 C 经过坐标原点,且与直线 x﹣y+2=0 相切,切点为 A(2,4) . (1)求圆 C 的方程; (2)若斜率为﹣1 的直线 l 与圆 C 相交于不同的两点 M,N,求 的取值范围..

安徽省宣城市泾县中学 2014-2015 学年高二上学期期初数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 11 小题,每小题 5 分,满分 55 分.每小题 4 个选项中,只有 1 个选项 符合题目要求) 1. (5 分)集合 A={x|2≤x<5},B={x|3x﹣7≥8﹣2x}则(?RA)∩B 等于() A.? B.{x|x<2} C.{x|x≥5} D.{x|2≤x<5}

考点: 交、并、补集的混合运算;全集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 先求集合 A 的补集,再化简集合 B,根据两个集合交集的定义求解. 解答: 解:∵A={x|2≤x<5}, ∴CRA={x|x<2 或 x≥5} ∵B={x|3x﹣7≥8﹣2x}, ∴B={x|x≥3} ∴(CRA)∩B={x|x≥5}, 故选 C. 点评: 本题属于以不等式为依托, 求集合的交集的基础题, 也是 2015 届高考常会考的题型. 2. (5 分)已知 f(x)=x +2x,则 f(a)+f(﹣a)的值是() A.0 B . ﹣1 C. 1
3

D.2

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题. 分析: 本题是一个求值题,观察发现,它是一个奇函数,由此知 f(a)+f(﹣a)是一个常 数,于是本题解法明了,直接代入求解即可. 解答: 解:由已知 f(a)+f(﹣a) =a +2a+(﹣a) +2(﹣a)=0. 则 f(a)+f(﹣a)的值是 0. 故选 A. 点评: 本题考查函数奇偶性的运用,直接将自变量代入,消去解析式中的奇函数部分.属 于基础题. 3. (5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体是()
3 3

A.圆柱

B.圆锥

C.三棱柱

D.三棱锥

考点: 由三视图还原实物图. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由主视图和左视图可得此几何体为柱体,根据俯视图是三角形可判断出此几何体为 三棱柱. 解答: 解:∵主视图和左视图都是长方形, ∴此几何体为柱体, ∵俯视图是一个三角形, ∴此几何体为三棱柱, 故选:C

点评: 用到的知识点为:由主视图和左视图可得几何体是柱体,锥体还是球体,由俯视图 可确定几何体的具体形状.

4. (5 分)已知函数 A.0 B. 1

,那么 f(ln2)的值是() C.ln(ln2) D.2

考点: 函数的值;对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: 先判断 ln2<1,代入 f(x)=e ﹣1,利用
ln2 x

进行化简求值.

解答: 解:∵ln2<1,∴f(ln2)=e ﹣1=2﹣1=1, 故选 B. 点评: 本题考查了分段函数求值问题,主要是判断出自变量的范围,再代入对应的关系式 进行求解. 5. (5 分)已知 y=f(x)是奇函数,当 x<0 时,f(x)=x +ax,且 f(3)=6,则 a 的值为() A.5 B. 1 C . ﹣1 D.﹣3 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 推出 f(﹣3)的值代入函数表达式可得 a. 解答: 解:∵y=f(x)是奇函数,且 f(3)=6, ∴f(﹣3)=﹣6, ∴9﹣3a=﹣6. 解得 a=5. 故选 A. 点评: 考查了奇函数的性质,属于基础题. 6. (5 分)设 a>b,则下列不等式成立的是() A. > B.log2a>log2b C. < D.2 >2
a b 2

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 通过反例判断 A 的正误;对数函数的定义域判断 B 的正误;反例判断 C 的正误;指 数函数的单调性判断 D 的正误;

解答: 解:对于 A,不妨 a=1,b=﹣2,可得







不正确,所以 A 不正

确; 对于 B,对数函数的定义域是正实数,显然 a>b,log2a,log2b,不一定有意义,所以 B 不正 确. 对于 C,例如 a=1,b=﹣2,显然 < 不正确,所以 C 不正确. 对于 D,因为指数函数 y=2 是增函数,a>b,所以 2 >2 ,所以 D 正确. 故选:D. 点评: 本题考查指数函数,对数函数的单调性对数的含义,反例证明问题的方法,考查命 题真假的判断. 7. (5 分)设 α,β 是两个不同的平面,l 是一条直线,以下命题正确的是() A.若 l⊥α,α⊥β,则 l?β B. 若 l∥α,α∥β,则 l?β C. 若 l⊥α,α∥β,则 l⊥β D.若 l∥α,α⊥β,则 l⊥β 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系,逐一分析四个答案中的结论,发 现 A,B,D 中由条件均可能得到 l∥β,即 A,B,D 三个答案均错误,只有 C 满足平面平行 的性质,分析后不难得出答案. 解答: 解:若 l⊥α,α⊥β,则 l?β 或 l∥β,故 A 错误; 若 l∥α,α∥β,则 l?β 或 l∥β,故 B 错误; 若 l⊥α,α∥β,由平面平行的性质,我们可得 l⊥β,故 C 正确; 若 l∥α,α⊥β,则 l⊥β 或 l∥β,故 D 错误; 故选 C 点评: 判断或证明线面平行的常用方法有:①利用线面平行的定义(无公共点) ;②利用 线面平行的判定定理(a?α,b?α,a∥b?a∥α) ;③利用面面平行的性质定理(α∥β, a?α?a∥β) ;④利用面面平行的性质(α∥β,a?α,a?,a∥α??a∥β) .线线垂直可由线面 垂直的性质推得,直线和平面垂直,这条直线就垂直于平面内所有直线,这是寻找线线垂直的 重要依据.垂直问题的证明,其一般规律是“由已知想性质,由求证想判定”,也就是说,根据 已知条件去思考有关的性质定理; 根据要求证的结论去思考有关的判定定理, 往往需要将分析 与综合的思路结合起来. 8. (5 分)已知等比数列{an}的通项公式为 an=3 A. B. 9
n+2 x a b

(n∈N ) ,则该数列的公比是() D.3

*

C.

考点: 专题: 分析: 解答:

等比数列的通项公式. 等差数列与等比数列. 利用等比数列的通项公式求解. n+2 * 解:∵等比数列{an}的通项公式为 an=3 (n∈N ) , = =3.

∴该数列的公比 q=

故选:D. 点评: 本题考查等比数列的通项公式的求法,是基础题,解题时要认真审题.

9. (5 分)已知 cos(π﹣α)=﹣ ,则 cos2α=() A. B. ﹣ C. D.﹣

考点: 二倍角的余弦;诱导公式的作用. 专题: 计算题. 分析: 利用诱导公式化简已知等式求出 cosα 的值,将所求式子利用二倍角的余弦函数公式 化简后,把 cosα 的值代入即可求出值. 解答: 解:∵cos(π﹣α)=﹣cosα=﹣ ,∴cosα= , 则 cos2α=2cos α﹣1=2×( ) ﹣1=﹣
2 2



故选 D 点评: 此题考查了二倍角的余弦函数公式,以及诱导公式的作用,熟练掌握公式是解本题 的关键.

10. (5 分)若实数 x,y 满足不等式组

,则 y﹣x 的最大值为()

A.1

B. 0

C . ﹣1

D.﹣3

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用.

分析: 本题主要考查线性规划的基本知识,先画出约束条件

的可行域,再

利用目标函数的几何意义,分析后易得目标函数 z=y﹣x 的最大值.

解答: 解:约束条件

的可行域如下图示:



,可得

,A(1,1) ,要求目标函数 z=y﹣x 的最大值,就是 z=y﹣x 经

过 A(1,1)时目标函数的截距最大,最大值为:0. 故选:B.

点评: 在解决线性规划的小题时,我们常用“角点法”,其步骤为:①由约束条件画出可行 域?②求出可行域各个角点的坐标?③将坐标逐一代入目标函数?④验证,求出最优解. 11. (5 分)在以下关于向量的命题中,不正确的是() A.若向量 a=(x,y) ,向量 b=(﹣y,x) , (xy≠0) ,则 a⊥b B. 平行四边形 ABCD 是菱形的充要条件是( C. 点 G 是△ ABC 的重心,则 D.△ ABC 中, 和 + + = ) ( )=0

的夹角等于 180°﹣A

考点: 三角形五心. 专题: 综合题. 分析: A:直接根据向量垂直的条件即可得; B:要证明 ABCD 是菱形的充要条件是对角线 明: 即可; + + = 命题是否成立,结合向量的运算法则和几 ,得出命题不成立. . ( ) ( )=0,即证

C:先判断点 G 是△ ABC 的重心,则

何意义,设 G 是△ ABC 的重心,由重心的性质得 D:根据向量夹角的定义可知其正确性. 解答: 解:A:∵ B:若 ABCD 是菱形,则: ( )=0 则 ,∴ 则( ,故正确; ) (

)=0;反之,若(



即平行四边形的两邻边相等,则四边形为菱形.故正确; ,

C:如图:设 G 是△ ABC 的重心,则 G 是△ ABC 的三边中线的交点,∴

又﹣2

=﹣(

+

) ,∴

.∴C 不成立. 和 的夹角等于 180°﹣A.故正确.

D:根据向量夹角的定义可知:△ ABC 中, 故选 C.

点评: 本题考查向量运算的法则和几何意义,三角形重心的性质,充分条件、必要条件的 判断. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,把答案填在题中的横线上.) 12. (5 分)已知△ ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 A=30°,B=45°, a=2,则 b=2 . 考点: 正弦定理. 专题: 计算题;压轴题;解三角形. 分析: 利用正弦定理 = 即可求得答案.

解答: 解:△ ABC 中,∵A=30°,B=45°,a=2, ∴由正弦定理 ∴b=2× =2 = . 得: = ,

故答案为:2 . 点评: 本题考查正弦定理的应用,属于基础题.
2

13. (5 分)不等式 ax +bx+2>0 的解集为(﹣ , ) ,则 a+b 等于﹣14.

考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式. 分析: 通过不等式解集转化为对应方程的根,然后根据韦达定理求出方程中的参数 a,b, 即可求出 a+b 解答: 解:∵不等式 ax +bx+2>0 的解集为(﹣ , ) ∴﹣ , 为方程 ax +bx+2=0 的两个根 ∴根据韦达定理:
2 2

﹣ + =﹣ ﹣ × = 由①②解得:

① ②

∴a+b=﹣14 故答案为﹣14 点评: 本题考查一元二次不等式解集的定义,实际上是考查一元二次不等式解集与所对应 一元二次方程根的关系,属于中档题
2

14. (5 分)设 f(x)= cos x+

sinxcosx+2,x∈[﹣



],则 f(x)的值域为[2,2 ].

考点: 二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;正弦函数的定义域和值域. 专题: 计算题. 分析: 把函数 f(x)的解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简,整理后,再根据特 殊角的三角函数值及两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数, 根据 x 的范围, 求出 这个角的范围,利用余弦函数的图象与性质得到余弦函数的值域,进而得到函数 f(x)的值 域. 解答: 解:f(x)= cos x+ = (1+cos2x)+ = ( cos2x+ = cos(2x﹣ ∵x∈[﹣ , sin2x+2 sin2x)+2 )+2 , ],∴2x﹣ )≤1, ∈[﹣ , ],
2

sinxcosx+2

∴﹣ ≤cos(2x﹣

则 f(x)的值域为[2,2 ]. 故答案为:[2,2 ] 点评: 此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式,两角和与差的余弦函数公式,以及余弦 函数的定义域和值域, 其中利用三角函数的恒等变形把函数解析式化为一个角的三角函数是解 此类题的关键. 15. (5 分)某体育场一角的看台的座位是这样排列的:从第二排起每一排都比前一排多出相 同的座位数.现在数得该看台的第 6 排有 25 个座位,则该看台前 11 排的座位总数是 275.

考点: 数列的应用. 专题: 综合题. 分析: 设 a1=x,则 a2=x+d,a3=x+2d,a4=x+3d,a5=x+4d,a6=x+5d=25,…,a11=x+10d,故 S11= (a1+a11)= (x+x+10d)=11(x+5d) ,由此能求出结果.

解答: 解:设 a1=x, 则 a2=x+d, a3=x+2d, a4=x+3d, a5=x+4d, a6=x+5d=25, … a11=x+10d, ∴S11= = (a1+a11)

(x+x+10d)

=11(x+5d) =11×25 =275. 故答案为:275. 点评: 本题考查数列有实际问题中的应用,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归 与转化思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,是 2015 届高 考的重点.解题时要认真审题,仔细解答. 三、解答题(共 6 题,计 75 分) 16. (12 分)已知等差数列{an}(n∈N )}满足 a1=2,a3=6 (1)求该数列的公差 d 和通项公式 an; (2)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,若 Sn≥2n+12,求 n 的取值范围. 考点: 数列的求和;等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由等差数列的概念及通项公式可得该数列的公差 d 和通项公式 an; (2)由等差数列的求和公式可得 Sn= 求得 n 的取值范围. 解答: 解: (1)由题意得 d= =2,an=a1+(n﹣1)d=2n,n∈N .
* +

=n(n+1)=n +n,依题意 Sn≥2n+12,即可

2

(2)Sn=

=n(n+1)=n +n,由 Sn≥2n+12,解得 n≥4 或 n≤﹣3(舍去) ,

2

所以 n≥4 且 n∈N . 点评: 本题考查等差数列的性质及等差数列的求和公式的应用,属于基础题. 17. (12 分)设函数 T. (Ⅰ)求 M、T; 的最大值为 M,最小正周期为

*

(Ⅱ) 若有 10 个互不相等的正数 xi 满足 ( f xi) =M, 且 xi<10π (i=1, 2, …, 10) , 求 x1+x2+…+x10 的值. 考点: 三角函数的最值. 专题: 计算题. 分析: 利用辅助角公式对函数化简可得, (Ⅰ)由 M=2,利用周期公式可求 T= (Ⅱ)由 f(xi)=2,可得 <10π 可求 解答: 解:∵ (Ⅰ)∵M=2 ∴T= (6 分) (4 分) ,从而可得 ,结合 0<xi

(Ⅱ)∵f(xi)=2,即 ∴ ∴ , (9 分)

又 0<xi<10π,∴k=0,1,…,9(11 分) ∴ = (12 分)

点评: 本题主要考查了辅助角公式在三角函数化简中的应用,及由三角函数值求解角,属 于三角函数的综合试题. 18. (12 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD, PD=DC,E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. (1)证明 PA∥平面 EDB; (2)证明 PB⊥平面 EFD; (3)求二面角 C﹣PB﹣D 的大小.

考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定;与二面角有关的立体几何综合题. 专题: 证明题;综合题;转化思想. 分析: 法一: (1)连接 AC,AC 交 BD 于 O,连接 EO 要证明 PA∥平面 EDB,只需证明直 线 PA 平行平面 EDB 内的直线 EO; (2)要证明 PB⊥平面 EFD,只需证明 PB 垂直平面 EFD 内的两条相交直线 DE、EF,即可; (3)必须说明∠EFD 是二面角 C﹣PB﹣D 的平面角,然后求二面角 C﹣PB﹣D 的大小. 法二:如图所示建立空间直角坐标系,D 为坐标原点,设 DC=a. (1)连接 AC,AC 交 BD 于 G,连接 EG,求出 (2)证明 EF⊥PB, (3)求出 ,即可证明 PA∥平面 EDB;

,即可证明 PB⊥平面 EFD; ,利用 ,求二面角 C﹣PB﹣D 的

大小. 解答: 解:方法一: (1)证明:连接 AC,AC 交 BD 于 O,连接 EO. ∵底面 ABCD 是正方形,∴点 O 是 AC 的中点 在△ PAC 中,EO 是中位线,∴PA∥EO 而 EO?平面 EDB 且 PA?平面 EDB, 所以,PA∥平面 EDB (2)证明: ∵PD⊥底面 ABCD 且 DC?底面 ABCD,∴PD⊥DC ∵PD=DC,可知△ PDC 是等腰直角三角形,而 DE 是斜边 PC 的中线, ∴DE⊥PC.① 同样由 PD⊥底面 ABCD,得 PD⊥BC. ∵底面 ABCD 是正方形,有 DC⊥BC,∴BC⊥平面 PDC. 而 DE?平面 PDC,∴BC⊥DE.② 由①和②推得 DE⊥平面 PBC. 而 PB?平面 PBC,∴DE⊥PB 又 EF⊥PB 且 DE∩EF=E,所以 PB⊥平面 EFD. (3)解:由(2)知,PB⊥DF,故∠EFD 是二面角 C﹣PB﹣D 的平面角.

由(2)知,DE⊥EF,PD⊥DB. 设正方形 ABCD 的边长为 a, 则 在 Rt△ PDB 中, . , .

在 Rt△ EFD 中,

,∴



所以,二面角 C﹣PB﹣D 的大小为



方法二:如图所示建立空间直角坐标系,D 为坐标原点,设 DC=a. (1)证明:连接 AC,AC 交 BD 于 G,连接 EG. 依题意得 ∵底面 ABCD 是正方形,∴G 是此正方形的中心,故点 G 的坐标为 . ∴ ,这表明 PA∥EG. . 且

而 EG?平面 EDB 且 PA?平面 EDB,∴PA∥平面 EDB. (2)证明;依题意得 B(a,a,0) , 又 ,故 . .

∴PB⊥DE. 由已知 EF⊥PB,且 EF∩DE=E,所以 PB⊥平面 EFD.

(3)解:设点 F 的坐标为(x0,y0,z0) , 从而 x0=λa,y0=λa,z0=(1﹣λ)a.所以

,则(x0,y0,z0﹣a)=λ(a,a,﹣a) .

. 由条件 EF⊥PB 知, ∴点 F 的坐标为 , 即 ,且 , , 解得

∴ 即 PB⊥FD,故∠EFD 是二面角 C﹣PB﹣D 的平面角. ∵ ,且 ,









. .

所以,二面角 C﹣PB﹣D 的大小为

点评: 本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直,二面角等基础知识,考查空间想象 能力和推理论证能力.

19. (12 分)函数 f(x)=

是偶函数.

(1)试确定 a 的值,及此时的函数解析式; (2)证明函数 f(x)在区间(﹣∞,0)上是减函数; (3)当 x∈[﹣2,0]时,求函数 f(x)= 的值域.

考点: 幂函数图象及其与指数的关系;幂函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据 f(x)是偶函数,f(﹣x)=f(x) ,求出 a=0; (2)用定义证明 f(x)在(﹣∞,0)上是减函数; (3)由(2)得,根据 f(x)在[﹣2,0]的单调性,求出 f(x)在[﹣2,0]上的值域. 解答: 解: (1)∵f(x)是偶函数, ∴f(﹣x)=f(x) , 即 ∴x +ax﹣3=x ﹣ax﹣3; ∴a=0, ∴f(x)= ;
2 2

=



(2)证明:任取 x1、x2∈(﹣∞,0) ,且 x1<x2; ∴ = = ;

∵x1<x2<0, ∴x1+x2<0,x1﹣x2<0, ∴(x1+x2) (x1﹣x2)>0, ∴ >1,即 f(x1)>f(x2) ;

∴f(x)在(﹣∞,0)上是减函数; (3)由(2)知,f(x)在(﹣∞,0)上是减函数; ∴当 x∈[﹣2,0]时,f(﹣2)= =2,f(0) = ;

∴函数 f(x)在[﹣2,0]上的值域是[ ,2]. 点评: 本题考查了函数的奇偶性的应用,单调性的证明,以及利用函数的单调性求函数值 域的问题,是综合题.

20. (13 分)已知函数 f(x)=kx+b 的图象与 x,y 轴分别相交于点 A、B, 分别是与 x,y 轴正半轴同方向的单位向量) ,函数 g(x)=x ﹣x﹣6. (1)求 k,b 的值; (2)当 x 满足 f(x)>g(x)时,求函数 的最小值.
2



考点: 基本不等式在最值问题中的应用;直线的斜率. 专题: 计算题. 分析: (1)观察题设条件,可先求出 f(x)=kx+b 的图象与 x,y 轴交点 A、B 的坐标,表 示出向量 AB 的坐标,即可与 =(2,2)建立相关的方程,解方程求出 k,b 的值.

(2)由 f(x)>g(x)解出 x 的取值范围,再对

化简,因其形式中出现了积为定

值的形式,故可以用基本不等式求最值,此时注意验证等号成立的条件. 解答: 解: (1)由已知得 A( 于是 =2,b=2、∴k=1,b=2. (2)由 f(x)>g(x) ,得 x+2>x ﹣x﹣6, 即(x+2) (x﹣4)<0,得﹣2<x<4, 由 = =x+2+ ﹣5
2

,0) ,B(0,b) ,则

={ ,b},

由于 x+2>0,则 ∴

≥﹣3,其中等号当且仅当 x+2=1,即 x=﹣1 时成立

的最小值是﹣3.

点评: 本题考查向量的相等的条件及用基本不等式求最值,用基本不等式求最值时要注意 验证等号成立的条件与相关因子的符号. 21. (14 分)已知圆 C 经过坐标原点,且与直线 x﹣y+2=0 相切,切点为 A(2,4) . (1)求圆 C 的方程; (2)若斜率为﹣1 的直线 l 与圆 C 相交于不同的两点 M,N,求 的取值范围..

考点: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角;直线与圆相交的性质;直线与圆的位置关 系. 专题: 计算题. 分析: (1)解法一:求出直线 AC 的方程,再求出线段 OA 的垂直平分线方程,联立方程 组求出圆心 C 的坐标,可得圆的半径, 从而写出 C 的方程. 解法二:设圆 C 的方程为(x﹣a) +(y﹣b) =r ,根据点 A 和点 O 在圆上,圆心到切线的 距离等于半径建立方程组, 求出 a、b、r 的值 从而求出 C 的方程. (2)解:设直线 l 的方程为 y=x+m,M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,把直线方程代入圆的方程利 用根与系数的关系求出 x1+x2 和 x1?x2 的值,代入 的解析式化简为(m﹣6) .再根据圆心到直线的距离小
2 2 2 2 2

于半径求出 m 的范围,即可得到(m﹣6) 的距离. 解答: (1)解法一:圆的圆心为 C,依题意得直线 AC 的斜率 KAC=﹣1, ∴直线 AC 的方程为 y﹣4=﹣(x﹣2) ,即 x+y﹣6=0. ∵直线 OA 的斜率 KOA= =2,∴线段 OA 的垂直平分线为 y﹣2= (x﹣1) ,即 x+2y﹣5=0.

解方程组

得圆心 C 的坐标为(7,﹣1) .

∴圆 C 的半径为 r=|AC|= ∴圆 C 的方程为(x﹣7) +(y+1) =50. 2 2 2 解法二:设圆 C 的方程为(x﹣a) +(y﹣b) =r ,
2 2

=5



依题意得

, 解得

, ∴圆的方程为: (x﹣7)+ (y+1)

2

2

=50. (2)解:设直线 l 的方程为 y=﹣x+m,M(x1,y1) ,N(x2,y2) . 由 消去 y 得 2x ﹣(2m+16)x+m +2m=0.
2 2

∴x1+x2=m+8, ∴



=(x1﹣2) (x2﹣2)+(y1﹣4) (y2﹣4)
2

=(x1﹣2) (x2﹣2)+(﹣x1+m﹣4) (﹣x2+m﹣4)=2x1?x2﹣(m﹣2) (x1+x2)+(m﹣4) +4 2 2 2 2 =m +2﹣(m﹣2) (m+8)+(m﹣4) +4=m ﹣12m+36=(m﹣6) . ∵直线 l 与圆 C 相交于不同两点,∴ ∴0≤(m﹣6) <100, ∴ 的取值范围是[0,100) .
2

<5

,解得﹣4<m<16.

点评: 本题主要考查两个向量数量积公式的应用,直线和圆的位置关系的应用,属于中档 题.


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