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山东省2014届高三理科数学备考之2013届名校解析试题精选分类汇编6:不等式


山东省 2014 届高三理科数学备考之 2013 届名校解析试题精选分类汇编 6: 不等式
一、选择题 1 .(山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试数学(理)试题)设 z

? x ? y ,其中实数 x,y
( )

?x ? 2 y ? 0 ? 满足 ? x ? y ? 0 , 若 z 的最大值为 6,则 z 的最小值为 ?0 ? y ? k ?
A.—3
【答案】A

B.—2

C.—1

D.0

由 z ? x ? y 得 y ? ? x ? z ,作出 ?

?x ? 2 y ? 0 , 的区域 BCD,平移直线 y ? ? x ? z ,由图象 ?x ? y ? 0 ?y ? x ?x ? 3 解得 ? ,所以 ? y ? ?x ? 6 ?y ? 3
( )

可知当直线经过 C 时,直线的截距最大 ,此时 z ? 6 ,由 ?

k ? 3 ,解得 B(?6,3) 代入 z ? x ? y 的最小值为 z ? ?6 ? 3 ? ?3 ,选

A.
2 . ( 山 东 省 烟 台 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 若 实数 x、y 满 足

?x ? 2 y ? 4 ? 0 y?2 ? ,则 z ? 的取值范围为 ? x?0 x ? 1 ? y?0 ?
A. (??, ?4] ? [ , ??)
【答案】A





2 3

B. (??, ?2] ? [ , ??)

2 3

C. [ ?2, ] D. [

2 3

【 解 析 】 做 出 不 等 式 组 对 应 的 平 面 区 域 OBC

.因为

z?

y?2 ,所以 z 的几何意义是区域内任意一点 ( x, y ) 与点 P (1, ?2) 两点直线的斜率. x ?1

所以由图象可知当直线经过点 P, C 时,斜率最小,经过点 P, B 时,直线斜率最大.由题

?2 ? 2 ?2 ? 0 2 y?2 的取 ? ?4 , k PC ? ? ,所以 z ? 1? 0 1? 4 3 x ?1 2 2 值范围为 z ? 或 z ? ?4 ,即 (??, ?4] ? [ , ??) ,选 ( 3 3
意知 B (0, 2), C (4, 0) ,所以 k PB ? A. 由? 是



?x ? y ? 4 ?x ? 2 3? 2 1 n?3 ,得 ? , 即 A(2, 2) , 此时 k AM ? 的最小值 ? , 所以 z ? 5?2 3 m?5 ?x ? y ? 0 ?y ? 2
D.

1 ,选 3

3 .(山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理科数学) 设 x, y 满足约束条件

?3 x ? y ? 6 ? 0 2 3 ? ? x ? y ? 2 ? 0 ,若目标函数 z ? ax ? by (a.>0,b>0),最大值为 12,则 ? 的最小值 a b ? x ? 0, y ? 0 ?
为 A. ( )

24 7

B.

25 6

C.5

D.4

【答案】B

【解析】做出可行域,由 z ? ax ? by 得 y ? ?

a z x ? ,因为 a ? 0, b ? 0 ,所以直线斜率 b b

?

a a z ? 0 ,直线截距越大, z 越大,做出直线 y ? ? x ? , b b b

,

由图象可知当直线 y ? ?

?3 x ? y ? 6 ? 0 a z x ? 经过点 B 时,截距做大,此时 z ? 12 ,由 ? b b ?x ? y ? 2 ? 0

得 ?

?x ? 4 a b , 代 入 直 线 z ? ax ? by 得 4a ? 6b ? 12 , 即 ? ?1 . 所 以 3 2 ?y ? 6

2 3 2 3 a b 2 3 a b 2 3 25 a b ? ? ( ? )( ? ) ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ,当且仅当 ? ,即 a ? b a b a b 3 2 3 2 b a 3 2 6 b a
时取等号,所以选 B.
4 . (山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学)若不等式

x ? 2 ? x ? 3 ? k ?1 对

任意的 x ? R 恒成恒成立,则实数 k 的取值范围 A.(-2,4) B.(0,2) C.[2,4]
【答案】B

( D.[0,2]



因为 x ? 2 ? x ? 3 的最小值是 1,所以要使不等式 x ? 2 ? x ? 3 ? k ? 1 对

任意的 x ? R 恒成恒成立,则有 1 ? k ? 1 ,即 ?1 ? k ? 1 ? 1 ,所以 0 ? k ? 2 ,即实数 k 的 取值范围 (0, 2) ,选 B.
5 . (山东省滨州市 2013 届高三第一次( 3 月)模拟考试数学(理)试题) 已知不等式

x ? 2 ? x ≤ a 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围是
A. a <2 B. a ≤2 C. a >2 D. a ≥2





【答案】D 因为 x ? 2 ? x 的最小值为 2,所以要使不等式的解集不是空集,则有 a ? 2 ,



D.

?2 x ? y ? 4, ? 6 . (山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试数学 (理) 试题) 设 x、 y 满足 ? x ? y ? ?1, ? x ? 2 y ? 2, ? 则z ? x? y (
A.有最小值 2,最大值 3 C.有最大值 3,无最大值 【答案】B B.有最小值 2,无最大值 D.既无最小值,也无最大值



【解析】做出可行域如图

( 阴 影 部 分 ). 由 z ? x ? y 得

y ? ? x ? z ,做直线 y ? ? x ,平移直线 y ? ? x 由图可知当直线经过点 C(2,0)时,直线 y ? ? x ? z 的截距最小,此时 z 最小为 2,没有最大值,选 B.
7 . ( 山 东 省 潍 坊 市 2013 届 高 三 第 一 次 模 拟 考 试 理 科 数 学 ) 已 知

f ( x) ? a ( x ? 2a )( x ? a ? 3), g ( x ) ? 2? x ? 2 , 同 时 满 足 以 下 两 个 条
件:① ?x ? R, f ( x) ? 0或g ( x) ? 0 ; a 的取值范围是 ② ?x ? (1, ??),f ( x) ? g ( x) ? 0 成立 , 则实数 ( )

1 A. (?4, ) 2

1 B. (??, ?4) ? (? , 0) 2

C. (?4, ?1) ? ( ?1, 0)
【答案】C

D. (?4, ?2) ? (?

1 1 , ) 2 2

解:由 g ( x) ? 0 ? x ? ?1 ,要使对于任意 x?R, f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 成立,则

x ? ?1 时, f ( x) ? a ( x ? 2a)( x ? a ? 3) ? 0 恒成立,故 a ? 0 ,且两根 ?2a 与 a ? 3 均比
?1 大,得 ?4 ? a ? 0 ①.
因为 x ? (1, ??) )时, g ( x) ? 0 ,故应存在 x0 ? (1, ??) ,使 f(x0)>0, 只 要 1 ? ?2a 或 1 ? a ? 3 即 可 , 所 以 a ? ?

1 或 a ? ?2 ②, 由 ① 、 ② 求 交 , 得 2 1 1 C. ?4 ? a ? ?2或 ? ? a ? 0 ,即实数 a 的取值范围是 (?4, ?2) ? (? , 0) ,选 2 2

8 . (山东省德州市 2013 届高三上学期期末校际联考数学(理)) 已知变量 x 、 y, 满足

?2 x ? y ? 0 ? ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则 z ? 1og 4 (2 x ? y ? 4) 的最大值为 ?x ? 0 ?
A.





2 3

B.1

C.

3 2

D.2

【答案】C

【解析】设 t ? 2 x ? y ,则 y ? ?2 x ? t .做出不等式组对应的可行域如图为三角形 OBC 内 . 做 直 线 y ? ?2 x , 平 移 直 线 y ? ?2 x , 当 直 线 y ? ?2 x ? t 经 过 点 C 时 , 直 线

?2 x ? y ? 0 ,得 y ? ?2 x ? t 的 截 距 最 大 , 此 时 t 最 大 , 对 应 的 z 也 最 大 , 由 ? ?x ? 2 y ? 3 ? 0
x ? 1, y ? 2 . 即 C (1, 2) 代入 t ? 2 x ? y 得 t ? 4 , 所以 z ? 1og 4 (2 x ? y ? 4) 的最大值为

z ? 1og 4 (2 x ? y ? 4) ? log 4 (4 ? 4) ? log 4 8 ?

3 ,选 2

C.

9 . (山东省德州市 2013 届高三上学期期末校际联考数学(理))如果不等式 5 ? x ? 7 | x ? 1|

和不等式 ax 2 ? bx ? 2 ? 0 有相同的解集,则 A. a ? ?8, b ? ?10 B. a ? ?1, b ? 9
【答案】C





C. a ? ?4, b ? ?9 D. a ? ?1, b ? 2

【解析】由不等式 5 ? x ? 7 | x ? 1| 可知 5 ? x ? 0 ,两边平方得 (5 ? x) ? 49( x ? 1) ,整
2 2

理 得 4 x 2 ? 9 x ? 2 ? 0 , 即 ?4 x 2 ? 9 x ? 2 ? 0 . 又 两 不 等 式 的 解 集 相 同 , 所 以 可 得

a ? ?4, b ? ?9 ,选 C.
10 . (山东省济南市 2013 届高三上学期期末考试理科数学) 设实数 x, y 满足不等式组

? x ? y ? 11 ? 0 ? ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?x ? 0 ?
A.13
【答案】A

,则 z ? 2 x ? y 的最大值为





B.19

C.24

D.29

【 解析】由 z ? 2 x ? y ,得 y ? ?2 x ? z .做出不等式组对应的平面区域 BC A.
11.(山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学理)设 a ? 3 , b ? log 3 2, c ? cos 2 ,则
0.5

D.





A. c ? b ? a
【答案】A

B. c ? a ? b

C. a ? b ? c

D. b ? c ? a

【解析】 3 A.

0.5

? 3 ? 1 ,, 0 ? log 3 2 ? 1 ,, cos 2 ? 0 ,所以 c ? b ? a ,选





12.(山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试数学(理)试题)不等式 3≤l5 - 2xl<9

的解集是 A.(一∞,-2)U(7,+co) C.[-2,1】U【4,7】 B. [1, 4] D. (?2,1] ? [4, 7)





【答案】D

【 解 析 】 由 3 ?| 5 ? 2 x |? 9 得 3 ? 2 x ? 5 ? 9 , 或 ?9 ? 2 x ? 5 ? ?3 , 即 4 ? x ? 7 或

?2 ? x ? 1 ,所以不等式的解集为 (?2,1] ? [4, 7) ,选

D.
?y ?1 ,则目标 ? y ? 2x ?1 ?x ? y ? 8 ?

13. (山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟理科数学)已知实数 x, y 满足 ?

函数 z ? x ? y 的最小值为 A. ?2
【答案】A

( C.6 D.7



B.5

由 z ? x ? y 得 y ? x ? z .作出不等式对应的平面区域 BCD,平移直线 y ? x ? z ,由平移 可知,当直线 y ? x ? z 经过点 C 时,直线的截距最大,此时 z 最小.由 ?

? y ? 2x ?1 ,解得 ?x ? y ? 8
( )

?x ? 3 ,即 C (3,5) ,代入 z ? x ? y 得最小值为 z ? 3 ? 5 ? ?2 ,选 ? ?y ? 5

A.
14.(【解析】山东省济宁市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学 )设 x,y 满足约束条件

? x?2 ? ?3 x ? y ? 1 ,若目标函数 z =ax+by(a>0,b>0) 的最小值为 2,则 ab 的最大值为 ? y ? x +1 ?
A.1
【答案】D





B.

1 2

C.

1 4

D.

1 6

【解析】由 z =ax+by( a>0,b>0) 得 y ? ?

a z a x ? ,可知斜率为 ? ? 0 ,作出可行域如 b b b

图,

由图象可知当直线 y ? ?

a z x ? 经过点 D 时,直线 b b

?x ? 2 ?x ? 2 a z 得? ,即 D(2,3) ,代入 y ? ? x ? 的截距最小,此时 z 最小为 2.由 ? b b ? y ? x ?1 ? y ? 3
直 线 ax+by ? 2 得 2a ? 3b ? 2 , 又 2 ? 2a ? 3b ? 2 6ab , 所 以 ab ?

1 ,当且仅当 6
D.

1 1 1 2a ? 3b ? 1,即 a ? , b ? 时取等号,所以 ab 的最大值为 ,选 2 3 6
15.(山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)已知第一象限的点(a,b)在

直线 2x+3y ? 1=0 上,则代数式 A.24
【答案】B

2 3 ? 的最小值为 a b
C.26 D.27





B.25

【 解 析 】 因 为 第 一 象 限 的 点 (a,b) 在 直 线 2x+3y ? 1=0 上 , 所 以 有

2a ? 3b ? 1 ? 0, a ? 0, b ? 0

,



2a ? 3b ? 1

,





2 3 2 3 6 b 6 a 6 b 6 a ? ? ( ? )( 2 a? 3 b )? 4 ? 9 ? ? ? 13 ? 2 ? ? a b a b a b a b
6b 6a 1 2 3 ,即 a ? b ? 取等号,所以 ? 的最小值为 25,选 B. ? a b 5 a b

25, 当 且 仅 当

16.(山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测(二模)数学(理)试题)已知 x,y 满足条件

?x ? 0 ? (k 为常数),若目标函数 z ? x ? 3 y 的最大值为 8,则 k= ?y ? x ?2 x ? y ? k ? 0 ?
A. ?16 B. ?6 C. ?





8 3

D.6

【 答 案 】 B

由 z ? x ? 3y 得 y ? ?

?x ? 0 1 z 的 图 x? . 先 作 出 ? 3 3 ?y ? x

象,

, 因 为 目 标 函 数 z ? x ? 3 y 的 最 大 值 为 8, 所 以

x ? 3 y ? 8 与直线 y ? x 的交点为 C,解得 C (2, 2) ,代入直线 2 x ? y ? k ? 0 ,得 k ? ?6 ,
选 B.

? y ? ?x ? 2 ? 17.(山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学理)已知不等式组? y ? kx ? 1 所表示的平面 ?y ? 0 ?
区域为面积等于 的三角形,则实 数k 的值为 A.?1
【答案】D

1 4

( C.



B. ?

1 2

1 2

D.1

【 解 析 】 由 图 象 知 k ? 0 . 当 y ? 0 时 , xB ?

1 1 1 . xC ? 2 ., 所 以 ? 2 , 即 k ? 由 k k 2

? y ? ?x ? 2 2k ? 1 1 1 2k ? 1 1 , 得 yA ? , 所 以 S ?ABC ? (2 ? ) ? ? , 解得 k ?1 或 ? 1? k 2 k 1? k 4 ? y ? kx ? 1

k?

2 1 ? (舍去),所以k ? 1 ,选 7 2

D.

18 . ( 山 东 省 青 岛 市 2013 届 高 三 第 一 次 模 拟 考 试 理 科 数 学 ) 定 义 区 间

(a, b) , [a, b) , (a, b] , [a, b] 的长度均为 d? b ? a,多个区间并集的长度为各区间长度 1 ,2 ) ? [ 3 ,5 ) ? ( 2 ? 1 )( ? 5 ? 3 )3 ? 之和,例如, ( 的长度 d . 用 [ x ] 表示不超过 x 的最大

x? x ? [ x ] () x? []{ x ?x } ( )? x ? 1 整数 , 记 {} , 其中 x ? R . 设 f , gx , 当 0 ? x ? k 时 , 不等 x )? gx ( )解集区间的长度为 5 ,则 k 的值为 式 f(
A. 6
【 答 案 】 B

( D. 9 网



B. 7

C. 8

f ( x) ? [ x] ?{x} ? [ x] ? ( x ? [ x]) ? [ x]x ? [ x]2 , 由 f ( x) ? g ( x) , 得

[ x]x ? [ x]2 ? x ? 1 , 即 ([ x] ? 1) x ? [ x]2 ? 1 .当 x ? [0,1) , [ x] ? 0 , 不等式的解为 x ? 1 ,
不合题意.当 x ? [1, 2) , [ x] ? 1 ,不等式为 0 ? 0 ,无解,不合题意.当 x ? 2 时, [ x] ? 1 ,所 以不等式 ([ x] ? 1) x ? [ x ] ? 1 等价为 x ? [ x] ? 1 , 此时恒成立 , 所以此时不等式的解为
2

x )? gx ( )解集区间的长度为 5 ,所以 k ? 2=5 ,即 k ? 7 ,选 2 ? x ? k ,因为不等式 f(
19.(山东省青岛即墨市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)设变量 x, y 满足约束条

B.

?x ? y ? 2 ? 0 ? 件 ? x ? 5 y ? 10 ? 0 ,则目标函数 z ? 4 x ? 3 y 的最小值和最大值分别为 ?x ? y ? 8 ? 0 ?
A.-6,11 【答案】A B.2,11 C.-11,6 D.-11,2





4 z x ? .做出可行域如图阴影部分,平移直线 3 3 4 z 4 z 4 z y ? x ? ,由图象可知当直线 y ? x ? 经过点 C 时,直线 y ? x ? 的截距最小, 3 3 3 3 3 3 4 z 4 z 此时 z 最大,当 y ? x ? 经过点 B 时 ,直线 y ? x ? 的截距最大,此时 z 最小.由 3 3 3 3 ?x ? 5 , 即 C (5,3) , 又 B (0, 2) , 把 C (5,3) 代 入 z ? 4 x ? 3 y 得 ? x ? 5 y ? 10 ? 0 得 ? ?y ? 3 ? ?x ? y ? 8 ? 0
【 解 析 】 由 z ? 4x ? 3y 得 y ?

z ? 4 x ? 3 y ? 20 ? 9=11 , 把 B(0, 2) 代入 z ? 4 x ? 3 y 得 z ? 4 x ? 3 y ? ?3 ? 2= ? 6 , 所
以函数 z ? 4 x ? 3 y 的最小值和最大值分别为 ?6,11 ,选 A. ( )

20. (山东省泰安市 2013 届高三第一轮复习质量检测数学 (理) 试题) 设奇函数 f ? x ? 在 ?1,1
2

?

?

上是增函数 , 且 f ? ?1? ? ?1 , 若函数 , f ? x ? ? t ? 2at ? 1 对所有的 x ? ? ?1,1? 都成立 , 则当 a ? ? ?1,1? 时 t 的取值范围是 A. ?2 ? t ? 2 C. t ? ?2或t ? 0或t ? 2
【答案】C





1 1 ?t ? 2 2 1 1 D. t ? ? 或t ? 0或t ? 2 2
B. ?

因为奇函数 f ? x ? 在 ? ?1,1? 上是增函数 , 且 f ? ?1? ? ?1 , 所以最大值为 f (1) ? 1, 要使

f ? x ? ? t 2 ? 2at ? 1 对所有的 x ? ? ?1,1? 都成立 , 则 1 ? t 2 ? 2at ? 1 , 即 t 2 ? 2at ? 0 , 即

t (t ? 2a) ? 0 , 当 t ? 0 时 , 不等式成立 . 当 0 ? a ? 1 时 , 不等式的解为 t ? 2a ? 2 . 当

?1 ? a ? 0 时,不等式的解为 t ? 2a ? ?2 .综上选

C.
0.3

21.(山东省济南市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)设 a ? 3 , b ? log? 3, c ? log 0.3 e

则 a, b, c 的大小关系是 A. a ? b ? c 【答案】B B. c ? b ? a C. b ? a ? c D. c ? a ? b





【 解析】 a ? 30.3 ? 1, 0 ? log? 3 ? 1, c ? log 0.3 e ? 0

,所以

c ? b ? a ,选

B.

22. (山东省泰安市 2013 届高三第一轮复习质量检测数学(理)试题)若 a, b ? R, 且ab ? 0, 则

下列不等式中,恒成立的是 A. a ? b ? 2 ab B.

( C.



1 1 2 ? ? a b ab

b a ? ?2 a b

D. a ? b ? 2ab
2 2

【答案】C

因为 ab ? 0 ,所以

b a b a b a ? ? 2 ,所以选 ? 0, ? 0 ,即 ? ? 2 a b a b a b

C.

?x ? 1 ? 23.(山东省烟台市 2013 届高三 3 月诊断性测试数学理试题)实数 x,y 满足 ? y ? a ( a ? 1) , ?x ? y ? 0 ?
若函数 z=x+y 取得最大值 4,则实数 a 的值为 A.2
【答案】A

( D.



B.3

C.4

3 2

,由 z ? x ? y 得 y ? ? x ? z ,作出不等式对应的区域 ,平 移直线 y ? ? x ? z ,由图象可知当直线经过点 D 时,直线的截距最大为 4,由 ?

?x ? y ? 4 , ?x ? y ? 0
( )

解得 ? A.

?x ? 2 ,即 D(2,2),所以 a ? 2 ,选 ?y ? 2

二、填空题 24.(山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟理科数学)若点 A ?1,1? 在直线 mx ? ny ? 2 ? 0

上,其中 mn ? 0, 则
【答案】 2

1 1 ? 的最小值为__________. m n m n ? ?1 ,所以 2 2

因 为 点 A ?1,1? 在 直 线 mx ? ny ? 2 ? 0 上 , 所 以 m ? n ? 2 ? 0 , 即

1 1 1 1 m n 1 1 n m n m ? ? ( ? )( ? ) ? ? ? ? ?1? 2 ? ?2 , 当 且 仅 当 m n m n 2 2 2 2 2m 2n 2m 2n
n m 1 1 ,即 m 2 ? n 2 时取等号.所以 ? 的最小值为 2. ? 2m 2n m n

?x ? y ? 1 ? 0 ? 25.(山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理(A))已知 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 , ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?
则 2 x ? y 的最大值为.
【答案】2

【 解 析 】 设

z ? 2x ? y , 则

y ? 2x ? z . 作 出 可 行 域 如 图

作直线 y ? 2 x ,平移直线 y ? 2 x ? z ,由图象可知 当直线 y ? 2 x ? z 经过点 D 时,直线 y ? 2 x ? z 的截距最下,此时 z 最大,把 D (1, 0) 代入 直线 z ? 2 x ? y 得 z ? 2 ,所以 2 x ? y 的最大值为 2.
26.(山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)若不等式

a x ? 2 <6 的解

集为 (?1, 2) ,则实数 a 等于
【答案】4

【解析】因为不等式的解集为 (?1, 2) , 即 ?1, 2 是方程的两个根 , 所以 2a ? 2 =6 且

?a ? 2 =6 ,解得 a ? 4 .
27. (山东省青岛即墨市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)研究问题:“已知关于 x

的不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 (1,2), 解关于 x 的不等式 cx ? bx ? a ? 0 ”,有如
2 2

下解法:由 ax 2 ? bx ? c ? 0 ? a ? b( ) ? c( ) 2 ? 0 ,令 y ?
2

1 x

1 x

1 1 ,则 y ? ( ,1) ,所以不等 x 2

式 cx ? bx ? a ? 0 的解集为 .类比上述解法,已知关于 x 的不等式 ( , 1 )

kx bx ? 1 k x?b ? ?0的 ? ? 0 的解集为 (?2, ?1) ? (2,3) , 则关于 x 的不等式 ax ? 1 cx ? 1 x?a x?c
解集为__________.

1 2

1 1 1 , ? ) ? ( , 1 ) 2 3 2 k x?b 1 【 解析】关于 x 的不等式 ? ? 0 的解集为 (?2, ?1) ? (2,3) ,用 ? 替换 x , x?a x?c x 1 (? ) ? b k kx bx ? 1 1 不等式可化为, ? x ? ? ? 0 ,因为 ? ? (?2, ?1) ? (2,3) , 1 1 x (? ) ? a (? ) ? c ax ? 1 cx ? 1 x x kx bx ? 1 1 1 1 所 以 ? ?0 的 解 集 为 ? x ?1 或 ? ? x ? ? , 即 不 等 式 ax ? 1 cx ? 1 2 2 3 1 1 1 . (? , ? ) ? ( , 1 ) 2 3 2
【答案】 (? 28 . ( 山 东 省 枣 庄 三 中 2013 届 高 三 上 学 期 1 月 阶 段 测 试 理 科 数 学 ) 已 知 函 数

?? ? x ? 1 (x ? 0) ,则不等式 f ( x) ? 0 的解集为__________ f ( x) ? ? 2 ? ? x ? 1 (x >0)
【答案】 ( ??,1)

【解析】若 x ? 0 , 由 f ( x) ? 0 得 x 2 ? 1 ? 0 , 解得 0 ? x ? 1 . 若 x ? 0 , 由 f ( x) ? 0 得

? x ? 1 ? 0 ,解得 x ? 0 ,综上不等式的解为 x ? 1 ,即不等式的解集为 (??,1) .
29.(山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)已知 x ? 0 ,则

x 的最大值为 x ?4
2

_________________.
【答案】

1 4

因为

x 1 4 4 4 ? ,又 x ? 0 时, x ? ? 2 x ? ? 4 ,当且仅当 x ? , x ?4 x? 4 x x x x
2

即 x ? 2 取等号,所以 0 ?

1 x? 4 x

?

1 x 1 ,即 2 的最大值为 . 4 x ?4 4

?x ? y ? 1 ? 30.(山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测理科数学)若 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 , ?2 x ? y ? 2 ?
目标函数 z ? x ? 2 y 最大值记为 a,最小值记为 b,则 a-b 的值为_________.
【 答 案 】 10

由 z ? x ? 2y 得 y ? ?

1 z x? . 作 出 不 等 式 组 对 应 的 区 2 2

域,

, 平移直线 y ? ?

1 z 1 z x ? , 由平移可知 , 当直线 y ? ? x ? 2 2 2 2

经过点 D 时,直线的截距最小,此时 z 最小.经过点 B 时,直线的截距最大,此时 z 最大. 由?

?x ? y ? 1 ?x ? 1 ? x ? y ? ?1 , 解得 ? , 即 D (1, 0) 代入 z ? x ? 2 y 得 b ? 1 . 由 ? 解得 ?2 x ? y ? 2 ?y ? 0 ?2 x ? y ? 2

?x ? 3 ,即 B (3, 4) ,代入 z ? x ? 2 y 得 a ? 11 ,所以 a ? b ? 11 ? 1 ? 10 . ? ?y ? 4
31.(山东省滨州市 2013 届高三第一次(3 月)模拟考试数学(理)试题)设实数 x , y 满足约

? x ? 2 y ? 0, ? 束条件 ? 2 x ? y ? 0, ,则目标函数 z ? x ? y 的最大值为_________. ? x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0, ?

? x ? y 得 y ? ? x ? z .作出不等式对应的区域,平移直线 y ? ? x ? z ,由 图象可知,当直线 y ? ? x ? z 与圆在第一象限相切时,直线 y ? ? x ? z 的截距最大,此时
【答案】4 由 z

z 最大.直线与圆的距离 d ?

z 2

? 2 ,即 z ? ?4 ,所以目标函数 z ? x ? y 的最大值是

4.

32 . ( 山 东 省 青 岛 市 2013 届 高 三 第 一 次 模 拟 考 试 理 科 数 学 ) 已 知 x, y 满 足 约 束 条 件

? x2 ? y 2 ? 4 ? ? x ? y ? 2 ? 0 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值是___________ ? y?0 ?
【答案】

2 5

由 z ? 2 x ? y 得 , y ? ?2 x ? z . 作 出 不 等 式 对 应 的 区

域,

, 平移直线 y ? ?2 x ? z ,由图象可知,当直线 y ? ?2 x ? z 与

圆在第一象限相切时 , 直线 y ? ?2 x ? z 的截距最大 , 此时 z 最大 . 直线与圆的距离

d?

z 22 ? 1

? 2 ,即 z ? ?2 5 ,所以目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值是 2 5 .

33. (2013 年临沂市高三教学质量检测考试理科数学) 已知 O 是坐标原点,点 M 的坐标为(2,1),

?x ? y ? 2 ? ???? ? ???? 1 ? ON 的最大值是_________ . 若点 N(x,y)为平面区域 ? x ? 上的一个动点,则 OM ? 2 ? ? ? y?x
【答 案】 3 OM ? ON ? 2 x ? y , 设 z ? 2 x ? y , 则 y ? ?2 x ? z . 不等式对应的区域为

???? ? ????

BCD,

平移直线 y ? ?2 x ? z ,由图象可知当直线 y ? ?2 x ? z

经过点 C 时,直线 y ? ?2 x ? z 的截距最大,此时 z 最大,由 ?

?x ? y ? 2 ?x ? 1 ,解得 ? ,即 ?y ? x ?y ?1

???? ? ???? ON 的最大值是 3. C (1,1) ,代入 z ? 2 x ? y 得 z ? 2 x ? y ? 3 ,所以 OM ?
三、解答题 34.(山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学理)小王于年初用 50 万元购买一辆大货

车,第一年因缴纳各种费用需支出 6 万元,从第二年起,每年都比上一年增加支出 2 万元, 假定该年每年的运输收入均为 25 万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后,考虑将 大货车作为二手车出售,若该车在第 x 年年底出售,其销售价格为 25 ? x 万元(国家规定 大货车的报废年限为 10 年). (I)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出? (II 在第几年年底将大货车出售,能使小王获得的年平均利润最大?)(利润=累计收入+

销售收入-总支出)
【答案】

35.(山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试数学(理)试题)某厂生产某种产品的年

固定成本为 250 万元 , 每生产 x 千件 , 需另投入成本为 C ( x) 当年产量不足 80 千件 时 , C ( x) ?

1 2 x ? 10 x ( 万 元 ); 当 年 产 量 不 小 于 80 千 件 时 3 10000 C ( x) ? 51x ? ? 1450 (万元),每件商品售价为 0.05 万元,通过市场分析,该厂生 x

产的商品能全部售完. (1)写出年利润 L(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
【答案】

36.(山东省德州市 2013 届高三上学期期末校际联考数学(理))某工厂去年的某产品的年

销售量为 100 万只,每只产品的销售价为 10 元,每只产品固定成本为 8 元,今年,工厂第 一次投入 100 万元,并计划以后每年比上一年多投入 100 万元,预计销售量从今年开始每 年 比 上 一 年 增 加 10 万 只 , 第 n 次 投 入 后 , 每 只 产 品 的 固 定 成 本 为

g ( n) ?

k (k ? 0, k为常数, n ? N ) ,若产品销售价保持不变,第 n 次投入后的年利 n ?1

润为 f (n) 万元. (1)求 k 的值,并求出 f (n) 的表达式; (2)若今年是第 1 年,则第几年年利润最高?最高利润为多少万元?
【答案】


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