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高二数学(曲线和方程)+2


年 课时数:3 课 题

级:高二

辅导科目: 数学

曲线和方程
1、掌握“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义; 2、会根据曲线的几何性质,求简单的曲线的方程; 3、会求曲线的交点。 教学内容

教学目的

【知识梳理】
1、曲线的方程和方程的曲线 一般地,

如果曲线 C 与方程 F(x,y)=0 之间有以下两个关系: (1)曲线 C 上的点的坐标 都是方程 F(x,y)=0 的解; (2)以方程 F(x,y)=0 的解为坐标的点都是曲线 C 上的点, 那么这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线. 2、求曲线的方程的步骤: (1)建立适当的直角坐标系,并用(x,y)表示曲线上任意一点 M 的坐标; (2)写出时候条件 P 的点 M 的集合 P {M P(M )} ; (3)用坐标表示条件 P(M),写出方程 f(x,y)=0; (4)化简方程 f(x,y)=0(必须是等价变化); (5)证明(4)中方程的解为坐标的点都在曲线上。

【典型例题分析】

例 1 、已知坐标满足方程 F(x,y)=0 的点都在曲线 C 上,则下列命题中正确的是 ( )

A.曲线 C 上的点的坐标都适合方程 F(x,y)=0; B.不在曲线 C 上的点的坐标有些适合方程 F(x,y)=0; C.凡坐标不适合方程 F(x,y)=0 的点都不在曲线 C 上;

-1-

D.不在曲线 C 上的点的坐标必不适合方程 F(x,y)=0. 例 2、已知:A(-1,-1), B(3,7),求线段 AB 的垂直平分线的方程。

变式练习:已知:两个定点 A、B 的距离为 6,动点 M 到 A、B 距离的平方和为 26,求点 M 的轨迹方程。

本题中曲线对应的关系式是不能用函数解析式表示出来的,其对 应关系不满足函数的定义(为什么),但可以用一个方程来表示, 这就是方程与函数的差异。
例 3、解答下列各题,并说出依据是什么? (1)M(3,-4) ,N(1,-5)是否在方程为 x 2 ? y 2 ? 25 的圆上? (2)已知方程为 x 2 ? y 2 ? 25 的圆过点 P(m,3) ,求 m 的值. (3)在什么情况下,点 Q(2,3)在方程为 ax2 ? ay2 ? b(a ? 0, b ? 0) 的曲线上?
-2-

例 4、分别画出下列方程的曲线. (1) y ?
x2 ?1 ? x ? x2 ?1 ;

(2) yx ? x 2 ; (3) y
x ? 1;

(4) lg y ? lg x .

例 5、一动点到定点 F(4,0)的距离,与它到定直线 L:x=6 距离相等,求此动点的轨迹方 程。

-3-

变式练习:M 是抛物线 y ? x 2 ? 1 上的一个动点,且点 P 是线段 OM 的中点,求动点 P 的 轨迹方程。

1 2

例 6、点 M 在圆上 x2+y2=a2(a>0)上运动,作 MM1⊥x 轴于点 M1,求线段 MM1 中点 P 的轨迹。

变式练习 1: 定点 A(a,0)(a≠0), 动点 P 在抛物线 y=x2 上, 点 A 关于点 P 的对称点为 Q, 求点 Q 的轨迹。

-4-

变式练习 3: 定点 P(1,2), 则 L 被曲线 C: y2=2x 所截弦 AB 中点 M 的轨迹方程是

.

例 7、 实数 k 怎样取值, 可使直线 y=x+k 与抛物线 y=x2-x+2 有两个交点?只有一个交点? 没有交点?当有两个交点时,求此时两交点之间的距离。

-5-

【课堂小练】
1.下列各组方程中,表示同一条曲线的是( )。 A、y2=x 与 B、y=lgx2 与 y=2lgx

C、

与 y+2=x-2

D、x2+y2=1 与

2.到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是( )。 A、x-y=0 B、x+y=0 C、|x|-y=0 D、|x|-|y|=0

3.已知:Δ ABC 中,A(0,0), B(4,2), C(5,1),求到 A、B、C 距离的平方和为 49 的点 M 的轨迹方程。

4.已知:动点 P 到定点 A 的距离是到定点 B 的距离的 2 倍,且|AB|=2a(a>0),求:

-6-

点 P 的轨迹方程。

【课后练习】
1 、 点 P(x0,y0) 在 曲 线 F(x,y)=0 上 的 一 个 充 要 条 件 是 ; 2 2、若点 P(a,2a-1)在曲线 x -2y+1=0,则 a= ; 3、直线 3x-4y+1=0 与直线 2x-5y+3=0 的交点坐标为 4 、 若 曲 线 x2+2y-1=0 与 直 线 kx-y+1=0 有 交 点 , 则 k 的 取 值 范 围 是 ; 5、 动点 P 到直线 2y+15=0 的距离等于它到点 A (0, ?
3 10 ) 的距离的 倍, 则点 P 的轨迹方程 2 3

为 ; 2 6、若曲线 y=x -x+2 和 y=x+m 有两个交点,则( ) A、 m ? R B、 m ? (??,1) C、m=1 D、 m ? (1, ??) 2 2 7、已知方程 x +(y-1) =10 (1)判断 P(1,-2)Q( 2 ,3)是否在此方程表示的曲线上。 (2)若点 M ( , ? m) 在此方程表示的曲线上,求 m 的值。
m 2

8、已知 A、B 为平面上的两个定点, AB ? 4 ,P 为平面上一个动点,且 P 到 A、B 两点的 距离的平方和为定值 16,求点 P 的轨迹方程。
-7-

9、当 m 分别取什么值时,直线 y=x+m 与 y ? 1 ? x2 (1)有两个交点; (2)有一个交点; (3 ) 无交点。

-8-


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