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2014高中数学必修二第一章复习


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必修二立体几何(一)------空间几何体
2014.11.28 一、表面积与体积: 1、棱台与圆台的表面积与体积公式: ①棱台的表面积、体积公式: S全=S上底+S下底+S 侧, V棱台= (S+ SS ` ? S `)h , (其 中 S , S ` 是上,下底面面积,h 为棱台的高 ②圆台的表面积、体积公式: S全=? r 2

? ? R2 ? ? (R ? r )l , V 圆台 = (S+ SS ` ? S `)h= (? r 2 ? ? rR ? ? R2 )h , (其中 r,R 为上下底面半径,h 为高)
1 3 1 3 1 3

2、长方体与正方体的外接球与内接球问题 ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和; 【如图】

AC12 ? AB2 ? AD2 ? AA12
②(尝试证明)长方体的一条对角线 AC1 与过顶点 A 的三条棱所成的角分别是

?,?,? ,那么
cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 1, sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? 2 ;
③ (第二章了解) 长方体的一条对角线 AC1 与 过顶点 A 的相邻三个面所成的角分别是

D1 A1 D A B1

C1

C B

?,?,? ,则
cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 2 , sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? 1 .

1

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例题(1) :如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文,墓碑上刻着一个圆柱, 圆柱内有一个内切球, 这个球的直径恰好与圆柱的高相等,相传这个图形表达了 阿基米德最引以为自豪的发现. 我们来重温这个伟大发现.圆柱的体积与球的体 积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为( ) 3 A. ,1 2 3 3 C. , 2 2 2 B. ,1 3 2 3 D. , 3 2

例题(2) :长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3, 4, 5 ,且它的 8 个顶点都在 同一球面上,则这个球的表面积是( A. 25? B. 50? C. 125? ) D.都不对

例题(3) :正方体的内切球和外接球的半径之比为( A. 3 :1 B. 3 : 2 C. 2 : 3 D. 3 : 3



例题(4) : 若一个四面体的所有棱长都为 2,四个顶点都在同一球面上,则此 球的表面积为________.

2

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例题(5) : 已知一个圆锥的展开图如图所示,其中扇形的圆心角为 120°,底 面圆的半径为 1,则该圆锥的体积为________.

例题(6) : 已知圆台上、下底面面积分别是π 、4π ,侧面积是 6π ,则这个圆 台的体积是 ( 2 3 A. π 3 B.2 3 C. 7 3 π 6 D. 7 3 π 3 ).

例题(7) : 如图,若球 O 的半径为 5,一个内接圆台的两底面半径分别为 3 和 4(球心 O 在圆台的两底面之间),则圆台的体积为________.

例题(8) : (2010 辽宁)已知 S , A, B, C 是球 O 表面上的点, SA ? 平面ABC ,
AB ? BC , SA ? AB ? 1 , BC ? 2 ,则球 O 的表面积等于

(A)4 ?

(B)3 ?

(C)2 ?

(D) ?

3

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例题(9) :如下图,在底面半径为 2、母线长为 4 的圆锥中内接一个高为 3的圆 柱,求圆柱的表面积.

例题(10) : (2010 全国卷 2 理)已知正四棱锥 S ? ABCD 中, SA ? 2 3 ,那么当 该棱锥的体积最大时,它的高为 (A)1 (B) 3 (C)2 (D)3

思考题:一个倒立圆锥形容器,它的轴截面是正三角形,在这 容器内注入水并且放入一个半径为 r 的铁球, 这时水面恰好和 球面相切,问将球从圆锥内取出后,圆锥内水平面的高是多 少?

4

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二、投影与三视图
三视图——是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形; 正视图——光线从几何体的前面向后面正投影,得到的投影图; 侧视图——光线从几何体的左面向右面正投影,得到的投影图; 正视图——光线从几何体的上面向下面正投影,得到的投影图; 注: (1)俯视图画在正视图的下方, “长度”与正视图相等;侧视图画在正视图 的右边, “高度”与正视图相等, “宽度”与俯视图。 (简记为“正、侧一样 高,正、俯一样长,俯、侧一样宽”. (2)正视图,侧视图,俯视图都是平面图形,而不是直观图。

例题(1) :若一个三角形,采用斜二测画法作出其直观图,则其直观图的面是原 三角形面积的( ) 1 A. 倍 B.2 倍 2 C. 2 倍 4 D. 2 倍 2

例题(2) :如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为 450 , 腰和上底均为 1 的等腰梯形,那么原平面图形的面积是( A. 2 ? 2 C.
2? 2 2



B.

1? 2 2

D. 1 ? 2

例题(3) :针对柱、锥、台、球,给出下列命题 ①如果一个几何体的三视图是完全相同的,则这个几何体是正方体; ②如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形,则这个几何体是长方体; ③如果一个几何体的三视图都是矩形,则这个几何体是长方体; ④如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形,则这个几何体是圆台 其中正确的是( A.①② B.③ ). C.③④ D.①③
5

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例题( 4 ) :一个图形的投影是一条线段,这个图形不可能是下列图形中的 _______(填序号). ①线段;②直线;③圆;④梯形;⑤长方体.

例题(5) :如图甲所示,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F 分别是 AA1 、C1 D1 的 中点,G 是正方形 BCC1 B1 的中心,则四边形 AGFE 在该正方体的各个面上的投 影可能是图乙中的 。

例题(6) :如图(1)所示,E、F 分别为正方体面 ADD ?A? 、面 BCC ?B ? 的中心, 则四边形 BFD ?E 在该正方体的各个面上的投影可能是图(2)的 。

6

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例题(7) :某几何体的三视图如图所示,那么这个几何体是 ( ) A.三棱锥 C.四棱台 B.四棱锥 D.三棱台

例题(8) :说出下列三视图表示的几何体,并画出该几何体.

例题(9) :设某几何体的三视图如下(尺寸的长 度单位为 m). 则 该 几 何 体 的 高 为 ________m , 底 面 面 积 为 ________m2.

7

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例题(10) : (2011 陕西 5)某几何体的三视图如图所示,则 它的体积是( ) 2? ? A. 8 ? B. 8 ? 3 3 2? C. 8 ? 2? D. 3

例题(11) : (2010 年高考陕西卷理科 7)若某空间 几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 ? A? 1 ?B ? 2 3 3

2
1

?C ?1

?D ?2

主视图

左视图

2

俯视图

例题(12) : (2011 广东理 7) (如图 1-3,某几何体的正视图(主视图)是平 行四边形,侧视图(左视图)和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为( )

A. 6 3

B. 9 3

C. 12 3

D. 18 3

8

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例题(13) : (2011 广东文 9)如图,某几何体的正视图(主视图),侧视图(左视 图)和俯视图分别是等边三角形,等腰三角形和菱形,则该几何体体积为

2
2 3

2
正视图 侧视图 俯视图

A. 4 3

B.4

C. 2 3

D. 2

例题(14) : (天津卷文 12)一个几何体的三视图如图 所示,则这个几何体的体积为 。

例题(15) : (2012·广州高一检测)一个几何体的三视图及其尺 寸如图(单位:cm),则该几何体的表面积为( ).

A.12π C.24π

B.18π D.36π

9

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例题(16) : (2010 浙江文)若某几何体的三 视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体 积是
352 3 cm 3 320 3 (B) cm 3 224 3 (C) cm 3 160 3 (D) cm 3

(A)

例题(17) : (2011 湖南卷 3)设图一是某几何体的三视 图,则该几何体的体积为( ) 9 9 A. ? ? 12 B. ? ? 18 2 2 C. 9? ? 42 D. 36? ? 18

例题(18) : (山东卷理)一空间几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为 ( ). A. 2? ? 2 3 C. 2? ?
2 3 3

B. 4? ? 2 3 D. 4? ?
2 3 3
2

2

2

10

2 正(主) 视图

2 侧(左)视图

俯视图

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例题(19) : (2012 广东理 6)某几何体的三视图 如图 1 所示,它的体积为 A.12π B.45π C.57π D.81π

例题(20) : 把由曲线 y=|x|和 y=2 围成的图 形绕 x 轴旋转 360°,所得旋转体的体积为________.

3 例题(21) : 若直角梯形的一个底角为 45°,下底长为上底长的 ,这个梯形绕 2 下底所在直线旋转一周所成的旋转体的表面积是(5+ 2)π ,求这个旋转体的体 积.

例题(22) :如图所示(单位:cm),四边形 ABCD 是直角梯形,求图中阴影部分绕 AB 旋转一周所成几何体的表面积和体积.

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