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高中数学思想方法及解题策略-函数与方程


高中数学思想方法及解题策略(一)
数学能力就是数学的思想方法。数学思想方法是策略性知识,发 展智力最经济、有效的方法就是培养应用策略性知识的能力。 “少考一点算,多考一点想” ,实质是加重对“数学思想方法”的 考查,近几年高考卷中出现的数学思想方法有: (1)函数与方程思想; (2)数形结合; (3)分类讨论思想; (4) 转化与化归思想。 一、函数与方程思想 1.函数

是中学数学的主线。可以说无处不函数,高考函数比重每 年都较大。 函数思想是一个重要的基本数学思想, 其重要性不仅表现为五个 基本初等函数的研究占据了高中数学的中心地位,而且还表现为: ①方程或不等式可作为有关函数的零点、 单调性、 正负区间或极 值来处理; ②数列作为特殊的函数,一直处于高考的热点上; ③作为函数概念的基础——集合与映射, 已在高考中作为数学基 本语言、数学基本工具而大量出现; ④其他数学问题,特别是体现参数讨论或运动观点的问题,常可 用函数思想来分析或用函数方法来解决; 函数思想在解题中的应用,主要表现在两个方面: ①借助于有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、 解方程以及讨论参数的取值范围等问题。
1

②在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所 研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易、化繁为简的 目的。 2.高考中的方程问题包括方程的求解与方程观的应用 分成逐渐提高的 4 个层次: 第一层次:解方程 第二层次:带参变数的方程的讨论 第三层次:转化为方程的讨论 第四层次:构造方程求解问题 例 1:一等差数列的前 10 项和为 100,前 100 项的和为 10,求该 数列前 110 项的和. (110)

例 2:已知关于 x 的方程 sin 2 x ? a cos x ? 2a ? 0 总有解,则实数 a 的取 值范围是 .

(0 ? a ? 4? 2 3 )

2

例 3:已知 S n ? 1 ? ? ? ? ? (n ? N * ) ,设 f (n) ? S 2n?1 ? S n?1 ,试确定 实数 m 的取值范围,使得对于一切大于 1 的正整数 n ,不等式
f (n) ? [log m (m ? 1)] 2 ? 11 [log ( m?1) m]2 恒成立. 20

1 2

1 3

1 n

(m ?

1? 5 , 且m ? 2 ) 2

注:在有关不等式问题中,要区分以下命题: ① a ? f (x) 恒成立 ? a ? f (x) max ② a ? f (x) 恒成立 ? a ? f (x) min ; ③ a ? f (x) 有解 ? a ? f (x) max ④ a ? f (x) 有解 ? a ? f (x) min . 对于“恒成立”的不等式,一般地,解决的途径为:分离系数—— 求最值
1? 2x ? 4x a 【练习】 f ( x) ? lg 设 , 如果当 x∈(-∞,1]时 f(x)有意义, 3

求实数 a 的取值范围。 (a>- )

3 4

3

例 4:已知 lg 2

c a b ? 4 lg ? lg ? 0 ,求证:ac=b2 a b c

【练习】若(z-x) 2 -4(x-y)(y-z)=0,求证:x、y、z 成等差 数列。

例 5:设 a>b>c 且 a+b+c=0,抛物线 y=ax2+2bx+c 被 x 轴截得的弦 长为 l ,证明: 3 ? l ? 2 3 .

4


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