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2015-2016学年高中数学 5.2实数集的基数同步精练 北师大版选修3-1


实数集的基数练习 1.集合 论的创始人是( ) A.美国人 B.英国人 C.俄国人 D.德国人 2.康托指出了有理数和无理数的一个重要区别是( ) A.无理数集是有理数集的补集 B.有理数集和无理数集都是无穷集合 C.有理数集是可数的,无理数集是不可数的 D.有理数集的基数大于无理数集的基数 3.康托在用反证法证明实数集合是不可数的时,构造了一个不在序列中的数 b,这种 构造方法

是( ) A.康托归谬法 B.康托区间套法 C.康托斜线法 D.康托对角线法 4.如果集合 A 与集合 B 的某个子集是对等的,而不与 B 对等,则( ) A.集合 A 的数量有可能等于集合 B 的数量 B.集合 A 的数量有可能多于集合 B 的数量 C.集合 A 的数量一定少于集合 B 的数量 D.集合 A 的数量与集合 B 的数量无法比较大小 5.1873 年 11 月 29 日到 12 月 7 日这短短的几天里,康托给数学家________写了两封 信,奠定了无限理论的基础. 6. 如果一个集合的整体可以与它的一部分建立一一对应关系, 则该集合一定是________ 集合. 7 .若 A1,A2 是可数集,证明:A1∪A2 也是可数的. 8.证明:实数集上的任何开区间(a,b)(a<b)都不可数. 9.0 与 1 之间满足下述条件的实数:它们的十进制小数表示中只有 1,2,3,4,5,6,7,而 不含其他数字,例如:0.314 265 743…,0.146 732 175 4…,0.456 773 321 5…,等等.证 明:所有这样实数的集合是不可数的. 10. 上网搜集并整理数学家戴德金的生平资料. 参考答案 1.答案:D 2.答案:C 3.答案:D 4.答案:C 5.答案:戴德金 6.答案:无限 7.证 明:设 A1={a11,a12,a13,…}, A2={a21,a22,a23,…}, 按 a11→a21→a12→a22→a13→a23→…排序后,分别对应 1,2,3,4,5,6,…也可用下图表示: 如果 A1 与 A2 中的元素有重复,则去掉重复的 元素再按照上述规则数下去,则可得到 A1∪A2 和 Z+的一个一一对应关系,所以 A1∪A2 也是可数的. 8.证明:首先建立(0,1)到(a,b)的一一对应.令对应法则 f:x→y=(b-a)x+a,按 照对应法则 f,对于(0,1)内的任一元素 x,在(a,b)中都有唯一的一个元素 y=(b-a)x+a 与之对应,反之,对于(a,b)内的任一元素 y,按照对应法则 f,在(0,1)内存在唯一的元素 x 与之对应. 故(0,1)与(a,b)对等,因为(0,1)是不可数的,所以(a,b)也是不可数的. 9.证明:假设满足条件的实数是可数的,这样我们总可以按照给定的一一对应关系, 把满足条件的实数与正整数集之间的对应关系用下表表示: 1 ? 0.a11a12a13… 2 ? 0.a21a22a23… 3 ? 0.a31a32a33… … … k ? 0.ak1ak2ak3… … … 现在,我们构造一个新的实数 b: b=0.b1b2b3…,其中 bi= ? ?3, aii ? 3, ? 4, aii ? 3. 显然这样构造的实数满足上述已知条件.但是, 由于 b1≠a11,所以 b 不同于序列中的第一个数 0.a11a12a13…; 由于 b2≠a22,所以 b 不同于序列中的第二个数 0.a21a22a23…; 同样的方法,数 b 不同于序列中的任何一个数,这与假设该集合可数矛盾.所以满足条 件实

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