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浙江省杭州学军中学2016届高三上学期第二次月考数学文试题


杭州学军中学 2015-2016 学年高三第二次月考

数学(文科)试卷
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.设全集 U ? ?1 , 2? , B ? ?2,, ,,,,, 2 3 4 5 6? , A ? ?1 3 4? ,则 A ? ?CU B? ? ( A. )

?1?
2<

br />
B.

?2?

C. ?1 ,,, 2 5 6?

D. ?1 ,,, 2 3 4? )

2.函数 y=ax +a 与 y=

a (a≠0)在同一坐标系中的图象可能是( x

3.“ a ? 1且b ? ?1 ”是“ a ? b ? 0 ”的( A.充分不必要 B.必要不充分

)条件 C.充分必要 D.既不充分也不必要

4.要得到函数 y ? cos(? ? 2 x) 的图象,只需要将函数 y ? cos(2 x ?

?
3

) 的图象(

)

? 个单位长度 3 ? D. 向右平移 个单位长度 6 3 1 5.已知角 a , b 均为锐角,且 cos a = , tan(a - b ) = - ,则 tan b =( 5 3 9 13 1 A. B. C. 3 D. 13 9 3
A.向左平移 B. 向右平移
2 2

? 个单位长度 3 ? C. 向左平移 个单位长度 6



6.已知不等式 2 x - axy + y ? 0 ,若对于任意 x ? 1, 2 及 y ? 1,3 恒成立,则实数 a 的取值范围为 ( A. a ? )

[ ]

[ ]

9 2

B. a ?

11 3

C. a ? 2 2

D. a ? 2 2

7.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, f ( x + 2) = f ( x) ,当 x ? 则函数 g ( x) = f A.5

( 0,1] 时, f ( x) = 1 - 2 x - 2 ,


1

[ f ( x)] - 3 x 在区间 [ - 2, 2] 内不同的零点个数是(
B.6 C.7
·1·

4

D.9

8.定义区间 x1 , x2 的长度为 x2 - x1 ( x2 > x1 ) ,已知函数 f ( x) =

[

]

(a 2 + a) x - 1 (a 喂R, a a2 x


0) 的定义

域与值域都是 m, n (n > m) ,则区间 m, n 取最大长度时实数 a 的值为( A.

[

]

[

]

2 3 3

B. - 3

C. 1

D. 3

二、填空题: 9. 已 知 函 数 f ( x) = log2 (4 - x2 ) 的 定 义 域 为 为 . ,值域为 ,单调递增区间

10.已知函数 y = A sin wx +j

(

) ( A > 0, w > 0, j
.

p < ) 的图象如图所示,则 A = 2



w=
y

,j =

3
2p 3
7p 6

x

?3 x,x ? [?1 , 1], ? 11.设函数 f ( x) ? ? 9 3x 则 f (? log3 2) = , 3), ? ? ,x ? (1 ?2 2
取值范围是 .

1] ,则实数 t 的 ;若 f ( f (t )) ? [0,

12. 在 ?ABC 中 , 已 知 sin A ? 10sin B sin C,cos A ? 10cos B cos C , 则 tan A =



sin 2 A =

.

13. 已 知 二 次 函 数 f ( x ) ? ?

1 2 x ? x , 其 定 义 域 和 值 域 分 别 为 ?m, n? 和 ?3m,3n? (m ? n) , 则 2

m? n ?

.

14. 用 C (A) 表 示 非 空 集 合 A 中 的 元 素 个 数 , 定 义 A*B ? ?

?C (A) ? C (B), C (A) ? C (B) ,若 ?C (B) ? C (A), C (A) ? C (B)

A ? ?1, 2? , B ? x ( x 2 ? mx) ( x 2 ? mx ? 2) ? 0? , 且 A * B ? 1 , 则 实 数 m 的 所 有 可 能 取 值
为 .

?

·2·

15. 已知函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? ? f (? x ? 1) ,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x3 .若对任意

x ? [a, a ? 2] ,不等式 f ( x ? a) ? 2 2 f ( x) 恒成立,则实数 a 的取值范围是
三、解答题:



16.已知 c ? 0 ,设命题 p :函数 y ? c x 为减函数.命题 q :函数 f ( x) ? cx 2 ? x ? c 在区间 ? , 2 ? 上恒 2 大于零.若命题“ p ? q ”为真命题,命题“ p ? q ”为假命题,求实数 c 的取值范围.

?1 ?

? ?

17. 已知点 (

5? 1 ,0) 是函数 f ?x ? ? ?a sin x ? cos x ?cos x ? 图象的一个对称中心. 2 12 (1)求实数 a 的值; (2)求函数 f ? x ? 的单调递增区间;
(3)求 f ? x ? 在闭区间 ??

? ? ?? 上的最大值和最小值及取到最值时的对应 x 值. , ? 6 3? ?

18. 函数 f ( x) ? 2ax ? 2bx ? a ? b(a,b ? R, a ? 0) , g ( x) ? 2ax ? 2b
2

(1)若 ? ? ?0, ? 时,求 f (sin ? ) 的最大值; 2 (2)设 a ? 0 时,若对任意 ? ? R ,都有 | f (sin ? ) |≤1 恒成立,且 g (sin ? ) 的最大值 为 2,求 f ( x ) 的表达式.

? ?? ? ?

19.已知函数 ft ( x) ? cos2 x ? 2t sin x cos x ? sin 2 x (1)若 f1 ( ) ?

?

2

3 ,试求 sin 2? 的值. 4
像与

(2) 定义在 ? ?

7? 7? ? ? 5? ? 对称 , 且当 x ? 时 , g ( x) 的图 , ? 上的函数 g ( x) 的图像关于 x ? 24 24 ? 4 6 ?

y ? f 3 ( x) 的图像重合.记 M? ? {x g ( x) ? ?} 且 M? ? ? ,试求 M ? 中所有元素之和.

·3·

20.已知 a , b 是实数,函数 f ( x) ? x x ? a ? b . (1)当 a ? 2 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若存在 a ?? ?3,5? ,使得函数 f ( x ) 在 ? ?4,5? 上恒有三个零点,求 b 的取值范围.

杭州学军中学 2015-2016 学年高三第二次月考

数学(文科)参考答案
一、选择题

1-8 ADDB CAAD
二、填空题

·4·

9.(-2,2), (??, 2] , (?2, 0] 12.11,

10. 14. 0, ?1

3, 2, ?

? 3

11. 15. ? 2, ??

1 7 13 ,[log 3 , ] , 2 3 9

11 61

13.-4

?

?

三、解答题 16. 由命题 p 为真可知, 0 ? c ? 1 , 由命题 q 为真可知, c ?

1 , 2 1 或c ? 1 2

由题意得, p, q一真一假 ,? 0 ? c ? 17. (1) 由题意得 f ( x) ?

a 1 sin 2 x ? cos 2 x 2 2

∵ f ( x) 关于点 ( 解得 a ? 3 . (2) f ( x) ?

5? 5? a 5? 1 5? ,0) 对称,所以 f ( ) ? sin ? cos ?0 12 12 2 6 2 6

3 1 ? sin 2 x ? cos2 x ? sin(2 x ? ) 2 2 6

?

?
3

? k? ? x ?

?
6

? k? , k ? Z

(3) 设 ? ? 2 x ?

?
6

,则 ? ? ??

? ? 5? ? , ? 6 6 ? ?

? 1 f ( x) min ? f (? ) ? ? 6 2
f ( x) max ? f ( ) ? 1 . 6
18.解: (1)令 sin ? ? t ?[0,1] ,原命题等价于求证 f ( t ) 在 t ?[0,1] 的最大值为 | 2a ? b | ?a

?

b ,结合函数图象可知: 2a ? f (1) ? a ? b(b ? a ) f ( x )max ? ? ?| a ? b | f ( 0 ) ? b ? a ( b ? a ) ? (2)令 sin ? ? t ? [-1,1] ,则 | f (t ) |? 1 ?| f (0) |? 1,| f (1) |? 1,| f (-1) |? 1 , 因为 a ? 0 ,所以 g(sin? )max ? g(1) ? 2 ,而 g(1) ? 2a ? 2b ? 2 而 f (0) ? b ? a ? -1 而 t ? [?1,1] 时, | f (t ) |? 1 ? ?1 ? f ( t ) ? 1 , 结合 f (0) ? -1 可知二次函数的顶点坐标为 (0, ?1)
而 a ? 0 ,对称轴 t ?
·5·

所以 b ? 0, a ? 1,所以 f ( x ) ? 2 x 2 ?1 19.解: (1) ? f1 ( ) ? cos

?

2

?
2

2

? 2sin 9 16

?
2

又? ? sin ? ? cos ? ? ? 1 ? sin 2? ?
2

) ? g ( x) 6 ? ? ? 3? ? ? ? 7? ? ? x ? ? ? , ? ,? 2 x ? ? ?? , ? , 6 ? 3 4? ? 4 24 ? 记 M ? 中所有的元素之和为 S,由图像及对称性得 7? 7? ? 当 ? 3 ? a ? 2 时, S ? 2 ? 24 12 7? 7? ? 当 a ? 2 时, S ? 3 ? 24 8 7? 7? ? 当 2 ? a ? 2 时, S ? 4 ? 24 6 7? 7? ? 当 a ? 2 时, S ? 2 ? 24 12
2 ? ? x ? 2 x ? b, x ? 2 20.(1)由题意得, f ( x ) ? ? 2 , ? ? ? x ? 2 x ? b, x ? 2

(2)依题意得, f 3 ( x) ? 2sin(2 x ?

?

2 7 ? sin 2? ? ? 16

cos

?
2

? sin 2

?

? sin ? ? cos ? ?
(6 分)

3 4

(15 分)

? f ( x)在? ??,1?上单调递增,在?1,2? 上单调递减,在?2, +?? 上单调递增.
(2)若存在 a ?? ?3,5? ,使得函数 f ( x ) 在 ? ?4,5? 上恒有三个零点,则存在 a ?? ?3,5? , 使得 b ? ? x x ? a 有三个不同的实根.
2 ? ?? x ? ax, x ? a , 令 g( x) ? ? x x ? a ? ? 2 ? ? x ? ax, x ? a

(ⅰ)当 a ? 0 时, g ( x) 在 ? ?4,5? 上单调递减,? b 无解 (ⅱ)当 ?3 ? a ? 0 时, g ( x) 在 ? ??, a ? 上单调递减,在 ? a, ? 上单调递增,在 ? , ?? ? 上单调递 2 2

? ?

a? ?

?a ?

? ?



a a2 ? g(?4) ? 4 4 ? a ? 16 ? 4a , g (a) ? 0 , g ( ) ? , g (5) ? 5a ? 25 , 2 4
·6·

a ?(a ? 8) 2 ? 128 ? g (?4) ? g ( ) ? ? 0 , g (a) ? g (5) ? 25 ? 5a ? 0 2 4 ?0 ? b ? a2 9 ,? 0 ? b ? 4 4
? ? a? ?a ? ? 上单调递减,在 ? , a ? 上单调递增,在 ?a, ??? 上单调递减 2? ?2 ?

(ⅲ)当 0 ? a ? 5 时, g ( x) 在 ? ??,

a a2 ? g(?4) ? 4 4 ? a ? 16 ? 4a , g ( ) ? ? , g (a) ? 0 , g (5) ? 5a ? 25 2 4
? g (?4) ? g (a) ? 16 ? 4a ? 0

a ?(a +10)2 ? 200 令g ( ) ? g (5) ? =0,解得a ? 10 2 ? 10. 2 4
①当 0 ? a ? 10 2 ? 10 时,??

a2 ? b ? 0,? 50 2 ? 75 ? b ? 0 . 4

②当 10 2 ? 10 ? a ? 5 时,?5a ? 25 ? b ? 0,?50 2 ? 75 ? b ? 0 综上可得, b的取值范围为50 2-75 ? b ?

9 且b ? 0. 4
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·7·


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