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直线的方程讲练结合(有答案)


第 15 讲
一、课标要求与命题趋势

直线的方程

掌握数轴上和平面直角坐标系中的基本公式; 理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式; 掌握直线方程的五种形式,体会斜截式与一次函数的关系; 能根据直线方程判定两条直线平行或垂直关系; 能用解方程组的方法求两直线的交点坐标; 掌握点到直线的距离公式,会求两条平

行直线间的距离; 了解直线系及有关对称问题. 直线方程在高考中通常与圆以及椭圆、双曲线、抛物线结合进行考查. 若 ? ? 提 示
倾斜角 ? 之间的关系 直线的斜率 k 与

单独出题,多为选择题.

二、知识梳理
1.直线的倾斜角 在平面直角坐标系中, 和 所成角 ? 就叫做直线的倾斜角
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? tan ? , 当? 为钝角时 k <0. 所有
为k 的直线都有唯一的倾 斜角,但并非所有直 线都有斜率.

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当直线和 x 轴平行或重合时,我们规定直线的倾斜角为 可见,直线倾斜角的取值范围是 2.直线的斜率
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直线过两点 P1(x1,y1) 、P2(x2,y2) ,且 x1≠x2,则斜率 k = ? ? 提 示
所有的直线都有 一般式,当直线平行 于 y 轴时,这直线就 只有一般式.

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或过两点 P1(x1,y1) 、P2(x2,y2) (x1≠x2)的直线的斜率 k = 3.直线方程的五种形式 点斜式: 斜截式: 两点式: 截距式: 一般式: , , , , .



4.特殊情况下的两直线平行与垂直 当两条直线中有一条直线没有斜率时: (1)当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜角都为
80

,互相平行;

(2)当另一条直线的斜率为 0°时,一条直线的倾斜角为 倾斜角为 ,两直线互相垂直
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,另一条直线的

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5.斜率存在时两直线的平行与垂直 (1)两条直线有斜率的直线: l1 // l 2 ?
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学案

l1 ? l2 ?



(2)直线 l1 , l 2 的方程为 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ,

l1 // l 2 ?

(若 A2 B2C2 ? 0 也常用

A1 B1 C1 ) ? ? A2 B2 C2

l1 ? l 2 ?
6.两条直线是否相交的判断



两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组:

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 是否有 ? ? A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0
7 直线系方程
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解.

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若两条直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 有交点,则过 l1 与

l 2 交点的直线系方程为
常数)
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(? 为

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8. 数轴上两点间距离公式:

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9.直角坐标平面内的两点间距离公式: 10.设 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,则线段 AB 的中点 M(x,y)满足 . 11.点 P1(x1,y1)到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离 12.两平行线 Ax ? By ? C1 ? 0 与 Ax ? By ? C2 ? 0 之间的距离 .

三、方法归纳
1.判定点 P0(x0,y0)与直线 Ax ? By ? C ? 0 的关系 点 P0在直线上,则 ; ; ;

B ? 0 时,点 P0在直线上方,则
点 P0在直线下方,则 2.直线系
81

与 Ax ? By ? C ? 0 平行的直线方程(包括原直线): 待定系数). ? ? 提 示
具有某种共同 性质 ( 都过某点、共 斜率等 ) 的直线的集 合,叫做直线系。它 的方程叫做直线系 方程, 直线系方程的 特征是含参数的二 元一次方程 .

(? 为

若所求直线过 P(x0, y0)点, 且与 Ax ? By ? C ? 0 平行, 则方程为: 与 Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线方程为:



( ? 为待定系数).

若所求直线过 P(x0,y0)点,且与 Ax ? By ? C ? 0 垂直,则方程 为: .

过 A1x+B1y+C1=0 与 A2x+B2y+C2=0 的交点的直线方程为: (λ∈R,且不包含直线 A2x+B2y+C2=0) .

四、典型例题精讲
[例 1] 直线 x ? ay ? a ? 0 与直线 ax ? (2a ? 3) y ? 1 ? 0 互相垂直,则实数 a 的值为( ? ? 提 示
直线方程有五种 形式,各种形式反映 直线的不同特征,要 跟根据具体情况灵活 运用.运用恰当可以 减少计算量,使复杂 问题简单化.

) B.-3 或 1 C.2 或 0 D.1 或 0

A.2

[练 1-1] 直线 2x+y+m=0 和 x+2y+n=0 的位置关系是( A 平行 B 垂直 C 相交但不垂直



D 不能确定

[例 2]

△ABC 的三个顶点为 A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求:

(1)BC 所在直线的方程; (2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程; (3)BC 边的垂直平分线 DE 的方程.

[练 2-1]若直线 l 经过点(1,1),且与两坐标轴所围成的三角形的面积为 2,则 直线 l 的条数为( )
82

A、1

B、2

C、3

D、4

[例 3] y

如图,直线 y ? ax ? y

1 的图象可能是( a
y

) y

O A

x

O B

x

O C

x

O D

x

ax ? y ? b ? 0 l2: bx ? y ? a ? 0 , (ab ? 0, a ? b) [练 3-1] 如图所示, 直线 l1:
的图象只可能是( l1 l2 O A x l1 O B ) l1 l2 O D x

y

y l2 x O C

y

l2 l1 x

y

[例 4] 若 P(a,b) ,Q(c,d ) 都在直线 y ? mx ? k 上,则 PQ 用 a, c, m 表示为( )

A.

B.

C.

D.

[例 5]

已知直线 Ax ? By ? C ? 0 .

(1)系数为什么值时,方程表示通过原点的直线;
83

(2)系数满足什么关系时与坐标轴都相交; (3)系数满足什么条件时只与 x 轴相交; (4)系数满足什么条件时是 x 轴.

[练 5-1]

设 P(x0,y0 ) 为直线 Ax ? By ? C ? 0 上一点,证明这条直线的方

程可以写成 A(x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0 .

[例 6] 过点 M(0,1)作直线,使它被两已知直线 l1: x ? 3 y ? 10 ? 0 和 l2:

2 x ? y ? 8 ? 0 所截得的线段恰好被 M 所平分,求此直线方程.

[练 6-1]

过点 P(3,0)作一直线,使它夹在两直线 l1: 2 x ? y ? 2 ? 0 与 l2:

x ? y ? 3 ? 0 之间的线段 AB 恰被点 P 平分,求此直线的方程.

84

[例 7]

求经过直线 3x ? 2 y ? 1 ? 0 和 x ? 3 y ? 4 ? 0 的交点,且垂直于直线

x ? 3 y ? 4 ? 0 的直线 l 的方程.

五、课后训练
1.原点到直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 的距离为 ( A.1 B. 3 C.2 ) D. 5

2.已知点 A(-3,-4),B(6,3)到直线 l:ax+y+1=0 的距离相等,则实数 a 的 值等于 ( A. 7 9 ) 1 B.- 3 7 C.- 9 1 或 - 3 7 1 D. 或 9 3 )

3.和直线 3x-4y+5=0 关于 x 轴对称的直线方程为 ( A.3x+4y+5=0 C.-3x+4y-5=0 B.3x+4y-5=0 D.-3x+4y+5=0

4. 已知点 A(1, 3)、 B(2, 6)、 C(5, m)在同一条直线上, 那么实数 m 的值为________. 5. 已知直线 l1: ax+y+2a=0, 直线 l2: ax-y+3a=0. 若 l1⊥l2, 则 a=________. 6.点 P(a,3)到直线 4x-3y+1=0 的距离等于 4,且在不等式 2x+y<4 表示的平
85

面区域内,则 P 点的坐标为__________. 7.已知三条直线 x-y=0,x+y-1=0,mx+y+3=0 不能构成三角形,则 m 的 取值集合为_______. 8.设直线 l 的方程为(m2-2m-3)x-(2m2+m-1)y=2m-6.根据下列条件分别确 定实数 m 的值. (1)在 x 轴上的截距是-3; (2)斜率是-1.

9.已知直线 l 与点 A(3,3)和 B(5,2)的距离相等,且过两直线 l1 :3x-y-1=0 和 l 2 :x+y-3=0 的交点,求直线 l 的方程.

10.已知直线 l 经过点 P(3,1),且被两平行直线 l1;x+y+1=0 和 l2:x+y+6 =0 截得的线段之长为 5,求直线 l 的方程.

六、参考答案
知识梳理

x 轴正向
y 2 ? y1 ?y ? x2 ? x1 ?x

直线的向上方向



0°≤

? < 180 °
y ? kx ? b

y 2 ? y1 ?y ? x2 ? x1 ?x
86

y ? y0 ? k ( x ? x0 )

y ? y1 x ? x1 ? y 2 ? y1 x2 ? x1


x y ? ?1 a b

Ax ? By ? C ? 0

90 °

90 °

k 1 = k 2 且 b1 ? b2

k1 k 2 ? ?1

A1 B2 ? A2 B , 1 B1 C ?2
惟一解

B2 C1

A1 B1 C1 ? ? A2 B2 C2

A1 A2 ? B1 B2 ? 0

( A1 x ? B1 y ? C1 ) + ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0

( A2 x ? B2 y ? C 2 ) +

? ( A1 x ? B1 y ? C1 ) ? 0 8

AB ? xB ? x A
x1 ? x2 ? ?x ? 2 ? y ? y2 ?y ? 1 2 ?
d? Ax1 ? By 1 ? C A2 ? B 2

P1 P2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2
C1 ? C 2 A2 ? B 2

d?

方法归纳

Ax0 ? By0 ? C ? 0
Ax ? By ? ? ? 0
B(x-x0)-A(y-y0)=0 典型例题精讲

B( Ax0 ? By0 ? C) ? 0
A(x-x0)+B(y-y0)=0

B( Ax0 ? By0 ? C) ? 0
Bx ? Ay ? ? ? 0

(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0

[例 1]解析:当 a =0 时,一条直线的斜率为 0,另一条直线的斜率不存在,此 时它们互相垂直;当 a ≠0 时,由它们的斜率之积为-1,即 ? 解之, a =2. 故选C. [练 1-1]解析:两直线斜率分别为-

1 a ? ? ?1 , a 2a ? 3

1 和-2,不平行也不垂直,故选 C. 2

[例 2]解析:(1) 因为直线 BC 经过 B(2,1)和 C(-2,3)两点,由两点式,得 BC 的方程为

y ?1 1? 3 ? , x ? 2 2 ? (?2)

即 x+2y-4=0.

(2)设 BC 中点 D 的坐标为(x,y),则 x ?

2 ? (?2) 1? 3 ? 0, y ? ?2, 2 2

BC 边的中线 AD 过点 A(-3,0),D(0,2)两点,由截距式,得 AD 所在直线方程为

x y ? =1,即 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 . ?3 2
87

(3)BC 的斜率 k 1=

1? 3 1 ? ? ,则 BC 的垂直平分线 DE 的斜率 k 2=2, 2 ? (?2) 2

由斜截式得直线 DE 的方程为 y ? 2 x ? 2 . [练 2-1]解析:本题应选截距式方程为宜,设所求直线方程为 意,有

x y ? ? 1 ,由题 a b

?1 1 ? a ? b ?1 ?a ? 2 ?a ? ?2 ? 2 2 ?a ? ?2 ? 2 2 ,解之, ? ,? ,? , ?1 b ? 2 b ? ? 2 ? 2 2 b ? ? 2 ? 2 2 ? ? ? ? ? ab ? 2 ?2
共三组解,即直线 l 的条数为 3,故选 C. 另:利用图形分析,亦可迅速得到直线 l 的条数为 3 的结论. [例 3]解析:由直线方程知 a ≠0,当 a >0 时,斜率 a >0,截距 ? 有图像满足要求;当 a <0 时,斜率 a <0,截距 ? 选 A. [练 3-1] 解析: 直线 ax ? y ? b ? 0 和 bx ? y ? a ? 0 可分别化为 y ? ax ? b 和

1 <0,没 a

1 >0,图像 A 满足要求.故 a

y ? bx ? a ,
从参数 a 与 b 的正负号即可做出选择.两直线斜率同号时,两截距同号,且 与两斜率同号;斜率异号时,截距异号.故只有D满足. [例 4] 解析:由 P(a,b) , Q(c,d ) 都在直线 y ? mx ? k 上,

则有

?b ? m a ? k ,∴ b ? d ? m(a ? c) . ? d ? m c ? k ?

PQ ? (a ? c) 2 ? (b ? d ) 2 = ( a ? c) 2 ? m 2 (a ? c ) 2
= a ? c 1 ? m .故选D.
2

[例 5] 解析: (1) 采用 “代点法” , 将原点坐标 O (0, 0) 代入 Ax ? By ? C ? 0 中得 C=0,A、B 不同为零. (2)直线 Ax ? By ? C ? 0 与坐标轴都相交,说明横纵截距 a, b 均存在. 令x ? 0 ,得 y ? b ? ?

C ; B
88

令y?0

,得 x ? a ? ?

C ; A

截距 a, b 均存在,因此系数 A、B 应均不为零. (3)直线 Ax ? By ? C ? 0 只与 x 轴相交,就是指与 y 轴不相交,即与 y 轴平 行、重合均可.因此直线方程将化成 x ? a 的形式,故 B ? 0 且 A ? 0 为所求.

C ? 0 ,B ? 0 (4)x 轴的方程为 y ? 0 , 直线方程 Ax ? By ? C ? 0 中 A ? 0 ,
即可.注意 B 可以不为 1,即 By ? 0 也可以等价转化为 y ? 0 . [练 5-1]解析:运用“代点法” . ∵ P(x0,y0 ) 在直线 Ax ? By ? C ? 0 上, ∴

Ax0 ? By0 ? C ? 0 ,
故直线的方程为

即 C ? ? Ax0 ? By0 ,

Ax ? By ? ( Ax0 ? By0 ) ? 0 ,

即 A(x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0 ,得证. [例 6] 解析:方法一,过点 M 与 x 轴垂直的直线显然不合要求,故设直线方程

y ? kx ? 1 ,若与两已知直线分别交于 A、B 两点,则解方程组可得
7 7 ,xB= . 3k ?1 k?2 7 7 由题意 + =0, 3k ?1 k ? 2 1 ∴ k=- .故直线方程为 x ? 4 y ? 4 ? 0 . 4
xA= 方法二,设所求直线方程 代入方程

y ? kx ? 1 ,

( x ? 3 y ? 10)(2 x ? y ? 8) ? 0 ,

得 (2 ? 5k ? 3k 2 ) x 2 ? (28k ? 7) x ? 49 ? 0 . 由 xA+xB=-

28 k ? 7 1 ? 2 x M =0,解得 k=- . 2 4 2 ? 5k ? 3k

∴ 直线方程为

x ? 4y ? 4 ? 0.

方法三,∵ 点 B 在直线 2 x ? y ? 8 ? 0 上,故可设 B(t,8-2t),由中点公式 得 A(-t,2t-6). ∵ 点 A 在直线 x ? 3 y ? 10 ? 0 上, ∴ (-t)-3(2t-6)+10=0,得 t=4,∴ B(4,0). 故直线方程为

x ? 4y ? 4 ? 0.
89

[练 6-1]过点 P(3,0)作一直线,使它夹在两直线 l1: 2 x ? y ? 2 ? 0 与 l2:

x ? y ? 3 ? 0 之间的线段 AB 恰被点 P 平分,求此直线的方程.
解析:本题与例 6 题型相同,同样可以由多种方法求解.前三种解法由同学 们作为课堂练习,这里给出第四种解法. 解法四, ∵ 点 P(3,0)是线段 AB 的中点, ∴ 可设点 A(3 ? ?x, ?y) 在 l1 上,则点 B(3 ? ?x,??y) 在 l 2 上,
?2(3+Δx)-Δy-2=0 ? 于是有 ? , ?(3-Δx)+(-Δy)+3=0 ?



?Δx=3 ? 16 ?Δy= 3

2

Δy ,∴ k= =8. Δx

∴ 所求的直线方程为 y ? 8( x ? 3) ,即 8x ? y ? 24 ? 0 . 解析:方法一,解方程组 ?

[例 7]

?3x ? 2 y ? 1 ? 0, 得交点坐标为 (?1,?1) . ? x ? 3 y ? 4 ? 0,

又由题设知直线 l 的斜率为 ∴

kl ? 3 ,

直线 l 的方程为 y ? 1 ? 3( x ? 1) ,即 3x ? y ? 2 ? 0 .

方法二,设所求直线 l 方程为 即 ∵ ∴

3x ? 2 y ? 1 ? ? ( x ? 3 y ? 4) ? 0 ,

(3 ? ? ) x ? (3? ? 2) y ? 4? ? 1 ? 0 ,
所求直线 l 与直线 x ? 3 y ? 4 ? 0 垂直, -

3?? 3 =3, ∴ ? ? . 10 3? ? 2

于是,所求直线 l 的方程为 3x ? y ? 2 ? 0 . 课后训练 1.D. 2.解析:点 A(-3,-4),B(6,3)到直线 l : ax ? y ? 1 ? 0 的距离相等,则直线 7 1 AB 与直线 l 平行或 A、B 的中点在直线 l 上,求得实数 a 的值等于- 或- ,故 9 3 选 C. 3.解析:依题意得,直线 3x-4y+5=0 关于 x 轴对称的直线方程是 3x-4(-y)+5=0,即 3x+4y+5=0,选 A. 4.15 5.±1 6.-3
90

7.解析: 当三直线中有两直线平行时 m=1 或-1; 1 1 当三直线交于一点时,将交点( , )代入直线 mx+y+3=0, 2 2 得 m=-7,因此 m∈{1,-1,-7}. 答案:{1,-1,-7} 8.解析:(1)令 y=0,依题意得 m -2m-3≠0 ? ? ? 2m-6 =-3 2 ? ?m -2m-3
2

① ②

由①式,得 m≠3 且 m≠-1. 5 由②式,得 3m2-4m-15=0.解得 m=3 或 m=- , 3 5 ∵m≠3,∴m=- . 3 2m +m-1≠0 ? ? 2 (2)由题意,得?m -2m-3 =-1 2 ? ?2m +m-1 1 由③式得 m≠-1,且 m≠ . 2 4 由④式得 3m2-m-4=0,解得 m=-1 或 m= . 3 4 ∵m≠-1,∴m= . 3 9.解析:根据条件可设直线 l 的方程为:3x-y-1+λ(x+y-3)=0, 即(3+λ)x+(λ-1)y-3λ-1=0. 直线 l 与点 A(3,3)和 B(5,2)的距离相等,可分为两种情况: 当直线 l 与 A、B 的连线平行时,由 kAB= 3-2 1 =- , 2 3-5
2

③ ④

3+λ 1 可得 =- ,解得 λ=-7,此时直线 l 的方程为 x+2y-5=0; 2 1-λ 5 当直线 l 过线段 AB 中点 M(4, )时, 2 5 5 将点 M(4, )代入直线 l 的方程,可得 4(3+λ)+ (λ-1)-3λ-1=0, 2 2 17 则 λ=- ,可得直线 l 的方程为:x-6y+11=0. 7 综上可知,所求直线 l 的方程为:x+2y-5=0 或 x-6y+11=0. 10.解析:方法一,若直线 l 的斜率不存在,则直线 l 的方程为 x=3,此时与 l1、 l2 的交点分别为 A′(3,-4)或 B′(3,-9),截得的线段 AB 的长|AB|=|-4+9|=5,
91

符合题意. 若直线 l 的斜率存在,则设直线 l 的方程为 y=k(x-3)+1.
? ?y=k(x-3)+1, 解方程组? 得 ?x+y+1=0, ?

3k-2 4k-1 A( ,- ). k+1 k+1
? ?y=k(x-3)+1, 3k-7 9k-1 解方程组? 得 B( ,- ). k + 1 k+1 ?x+y+6=0, ?

由|AB|=5. 3k-2 3k-7 2 4k-1 9k-1 2 得( - ) +(- + ) =52. k+1 k+1 k+1 k+1 解之,得 k=0,直线方程为 y=1. 综上可知,所求 l 的方程为 x=3 或 y=1. 方法二,设直线 l 与 l1、l2 分别相交 A(x1,y1)、B(x2,y2), 则 x1+y1+1=0,x2+y2+6=0. 两式相减,得(x1-x2)+(y1-y2)=5. 又(x1-x2) +(y1-y2) =25. 联立①、②可得
? ? ?x1-x2=5, ?x1-x2=0, ? 或? ?y1-y2=0, ? ? ?y1-y2=5.
2 2

① ②

由上可知,直线 l 的倾斜角分别为 0° 或 90° . 故所求的直线方程为 x=3 或 y=1.

92


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直线方程的复习

直线方程的各种形式 〖教学难点〗各种直线方程的判定 〖教学关键〗从具体例子引入,使学生感知、理解直线方程的不同形式定义 【课型】新授课 【教法】讲练结合法...


优秀教案28-直线与方程 复习课

复习课: 第三章 直线方程教学目标 重点:掌握直线...学法:讲练结合,自主探究 2.教具:多媒体课件,三角...平面直角坐标系内的直线都适用 答案:1. (1) ①...


数学必修②第三章 直线与方程全部讲练学案

《新课标高中数学必修②精讲精练》——精讲 第三章 直线与方程 第 20 讲§ 3.1.1 倾斜角与斜率¤学习目标:理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画...


§4.2直线、圆的方程(练习)

培养学 生分析问题与解决问题的能力 直线与圆的方程的应用 直线与圆的方程的应用 讨论法、讲练结合法 投影仪 大 同同 四中教案年月日 一、新课导学 ※ 学习...

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