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集合与常用逻辑用1-2


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研考向 要 点 探 究 悟典题 能 力 提 升 提素能 高 效 训 练

第二节

命题及其关系、充分条件与

必要条件
[最新考纲展示] 1.理解命题的概念. 2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命 山 东 金 太 阳 书 业 有 限

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题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系. 3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.

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四种命题及其关系

1.命题的概念
在数学中用语言、符号或式子表达的,可以 句叫做命题.其中 判断真假 的 陈 述 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

判断为真

的语句叫做真命题, 判断为假 的

语句叫做假命题.

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2.四种命题间的相互关系

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3.四种命题的真假关系

原命题

逆命题

否命题

逆否命题

真 真 假 假
由上表可知:

真 假 真 假

真 假 真 假

真 真 假 假

(1)两个命题互为逆否命题,它们有

相同

的真假性;

(2) 两 个 命 题 互 为 逆 命 题 或 互 为 否 命 题 , 它 们 的 真 假 性 没有关系 .

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____________________[通关方略]____________________ 1 .区别“否命题”与命题的否定:否命题是既否定命题的条件, 又否定命题的结论,而命题的否定是只否定命题的结论,要注意区

别.
2 .由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性,因而当判 断一个命题的真假比较困难时,可转化为判断它的逆否命题的真假. 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

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1.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的 否命题是( )

A.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3 B.若a+b+c=3,则a2+b2+c2<3

C.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3
D.若a2+b2+c2≥3,则a+b+c=3 解析:a+b+c=3的否定是a+b+c≠3,a2+b2+c2≥3的否定是a2 +b2+c2<3. 答案:A

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2.下列命题中为真命题的是(

)

A.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题 B.命题“x>1,则x2>1”的否命题 C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题 D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题 解析:对于A,其逆命题是:若x>|y|,则x>y,是真命题,这是因 为 x>|y|≥y ,必有 x>y ;对于 B ,否命题是:若 x≤1 ,则 x2≤1 ,是假命 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

题.如 x =- 5 , x2 = 25>1 ;对于 C ,其否命题是:若 x≠1 ,则 x2 + x -
2≠0,由于x=-2时,x2+x-2=0,所以是假命题;对于D,若x2>0, 则x>0或x<0,不一定有x>1,因此原命题的逆否命题是假命题.

答案:A
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充分条件与必要条件 1.如果p?q,则p是q的 充分条件 ,q是p的 必要条件 .

2.如果p?q,q?p,则p是q的

充要条件 .

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____________________[通关方略]____________________ 如何判断p是q的什么条件? 1 .对命题“若p ,则q”,首先应分清条件是什么 (p) ,结论是什 么( q ) .

2 .尝试用条件推结论,再尝试用结论推条件,推理方法可以用
直接证明法或间接证明法. 3 .确定条件是结论的什么条件,抓住“以小推大”的技巧,即 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

小范围推得大范围.
4 .判断的结论需分四种情况:充分不必要条件、必要不充分条 件、充要条件、既不充分也不必要条件.

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3.若a∈R,则“a=1”是“|a|=1”的(

)

A.充分而不必要条件
C.充要条件

B.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件

山 东 得a=±1,所以若|a|=1,则有a=1是假命题,即 |a|=1?a=1不成立, 金 太 所以a=1是|a|=1的充分而不必要条件. 阳 书 答案:A 业 有 限 公 司
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解析:若a=1,则有|a|=1是真命题,即a=1?|a|=1,由|a|=1可

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4 .设集合 A = {x∈R|x - 2>0} , B = {x∈R|x<0} , C = {x∈R|x(x - 2)>0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的( A.充分不必要条件 )

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

山 解析: 由题意得 A∪B = {x∈R|x<0 或 x>2} , C = {x∈R|x<0 或 x>2} , 东 金 故A∪B=C,则“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件. 太 阳 答案:C 书 业 有 限 公 司
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四种命题及其真假判断 【例1】 (2014年南京模拟)有下列几个命题: ①“若a>b,则a2>b2”的否命题; ②“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题; ③“若x2<4,则-2<x<2”的逆否命题. 其中真命题的序号是________. [解析] ①原命题的否命题为“若a≤b则a2≤b2”错误. ②原命题的逆命题为:“若x,y互为相反数,则x+y=0”正确. 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤-2,则x2≥4”正确.
[答案] ②③

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反思总结 1 .要注意四种命题关系的相对性,一旦一个命题定为原命题,

也就相应地确定了它的“逆命题”、“否命题”、“逆否命题”.
2 .判断命题真假时,可直接依据定义、定理、性质直接判断, 也可使用特值进行排除. 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

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变式训练 π 1.命题“若△ABC 有一内角为 ,则△ABC 的三内角成等差数列” 3 的逆命题( )

A.与原命题同为假命题 B.与原命题的否命题同为假命题
山 东 金 D.与原命题同为真命题 太 解析:原命题显然为真,原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成 阳 书 π 业 等差数列,则△ABC 有一内角为 ”,它是真命题. 有 3 限 公 答案:D 司

C.与原命题的逆否命题同为假命题

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充分条件和必要条件的判定 【例2】 (2013年高考湖南卷)“1<x<2”是“x<2”成立的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 )

C.充分必要条件
[解析]

D.既不充分也不必要条件
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当1<x<2时, x<2成立;当 x<2时,1<x<2不一定成立,所

以“1<x<2”是“x<2”成立的充分不必要条件.

[答案] A

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反思总结 判断充分条件与必要条件的策略 (1)寻求q的必要条件p,即以q为条件推出结论p; 山 (3)寻求q的充要条件p,从上述两方面入手,若得到的结论都正确, 东 金 则p为q的充要条件. 太 阳 书 业 有 限 公 司
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(2)寻求q的充分条件p,即求使q成立的条件p;

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变式训练 2.“a+c>b+d”是“a>b且c>d”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 )

B.既不充分也不必要条件 D.必要不充分条件 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

解析: 由 “ a + c>b + d” 不能得知 “ a>b 且 c>d” ,反过来,由
“ a>b 且 c>d” 可得知 “ a + c>b + d”,因此 “ a + c>b + d” 是 “ a>b 且 c>d”的必要不充分条件,选D.

答案:D

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充要条件的应用

【例3】 已知P={x|x2-8x-20≤0},S={x|1-m≤x≤1+m}.
(1) 是否存在实数 m ,使 x∈P 是 x∈S 的充要条件,若存在,求出 m 的范围;

(2) 是否存在实数 m ,使 x∈P 是 x∈S 的必要条件,若存在,求出 m
的范围.

[解析]

(1)由 x2-8x-20≤0 得-2≤x≤10,

∴ P={x|- 2≤x≤10}, ∵ x∈P 是 x∈S 的充要条件,∴P=S.
?1-m=-2, ?m=3, ∴? ∴? ?1+m=10, ?m=9,

这样的 m 不存在.
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(2)由题意 x∈P 是 x∈S 的必要条件,则 S?P.

?1-m≥-2, ∴? ?1+m≤10,

∴m≤3. 综上,可知 m≤3 时,x∈ P 是 x∈S 的必要条件.
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解析: 由例题知 P= {x|-2≤x≤10}, ∵綈 P 是綈 S 的必要不充分条

件,∴p?s 且 s?/ P,
?1-m≤-2 ?1-m<-2 ∴? 或? ?1+m>10 ?1+m≥10

∴m≥9 即 m 的取值范围是[9,+∞).
反思总结 解决与充要条件有关的参数问题的方法:解决此类问题一般是把 充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集 合之间的关系列出关于参数的不等式求解.

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变式训练 3.“x∈{3,a}”是“不等式 2x2-5x-3≥0 成立”的一个充分不 必要条件,则实数 a 的取值范围是( A.a≥0 C.a<0
2

)

B.a<0 或 a>2 1 D.a≤- 或 a>3 2

山 东 金 ∵“x∈ {3,a}”是“不等式 2x2-5x-3≥0 成立”的一个充分不必 太 阳 书 要条件,又根据集合中元素的互异性知 a≠3. 业 有 1 ∴a≤- 或 a>3. 限 2 公 答案:D 司

1 解析:由 2x -5x-3≥0 得 x≤- 或 x≥3. 2

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——与充要条件有关的交汇问题 充分条件、必要条件和充要条件的判断是高考的热点内容、多与 函数、不等式、向量、立体几何、解析几何等知识交汇命题. 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

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与函数不等式有关的交汇命题
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【典例1】

(2013年高考安徽卷)“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x| ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

在区间(0,+∞)内单调递增”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件

山 [解析] f(x)= |(ax-1)x|在 (0,+∞)内单调递增等价于 f(x)=0 在区 东 金 1 间 (0,+∞)内无实根,即 a=0 或 <0,也就是 a≤0,故“a≤0”是“函 太 a 阳 书 数 f(x)= |(ax-1)x|在 (0,+∞)内单调递增”的充要条件,故选 C. 业 有 [答案] C 限 公 司
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由题悟道 该题处理的关键是将函数f(x)在(0,+∞)内递增等价转化为方程f(x)

=0在(0,+∞)内无实根,通常与函数、不等式相关的充要性判断问题
多是先求解命题的充要条件,再进行判断. 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

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与三角、向量有关的交汇命题 【典例2】 是“a∥b”的( (2013年高考陕西卷)设a,b为向量,则“|a·b|=|a||b|” ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

A.充分不必要条件 C.充分必要条件 [解析]

从 数 量 积 入 手 , 设 α 为 向 量 a , b 的 夹 角 , 则 |a·b| =

|a||b|·|cos α|=|a||b|?|cos α|=1?cos α=±1?向量a,b共线.
[答案] C 由题悟道 解决三角与向量的相关的充要性问题,多是抓住相关的概念、性 质、结论去直接判断.
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与立体几何、解析几何有关的交汇命题
【典例3】 (2014年西安模拟)若设平面α、平面β相交于直线m,

直线a在平面α内,直线b在平面β内,且b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b”

的(

)
A.充分不必要条件 C.充要条件 [ 解析 ] B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

由 α⊥β和 b⊥m ,知 b⊥α ,又 a?α , ∴ a⊥b , “α⊥β”可

以推出“a⊥b”,反过来,不一定能推出,即“α⊥β”是 “a⊥b”的 充分不必要条件. [答案] A

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由题悟道 抓住立体几何中的判定定理与性质定理成立的条件去判断分析是

解此类题的关键,要注意结合图形.
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a2+b2 1.“ ≤-2”是“a>0 且 b<0”的( ab A.必要不充分条件 B.充要条件

)

C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
山 ?a<0 a2+b2 a2+b2 ?a+b?2 解析: ≤-2? +2= ≤0?ab<0? ? 或 东 ab ab ab ?b>0 金 太 ?a>0 阳 ? ,故选A. 书 ?b<0 业 有 答案:A 限 公 司
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2.“m=-1”是“直线mx+(2m-1)y+2=0与直线3x+my+3= 0垂直”的( ) B.必要不充分条件 D.即不充分也不必要条件 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

A.充分不必要条件 C.充要条件

解析:由m×3+(2m-1)×m=0
∴3m+2m2-m=0 ∴m=0或-1 故m=-1是两线垂直的充分不必要条件. 答案:A

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