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【精校】2015年高考真题数学分考点汇编:考点35 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系


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考点 35 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关 系
一、选择题
1.(2015 ·安徽高考文科· T8) 直线 3x+4y=b 与圆 x2+y2-2x-2y+1=0 相

切 , 则 b 的值是 ( ) A.-2 或 12 B.2 或 -12 C.-2 或 -12 D.2 或 12 【解题指南】直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径计算出 b 。 【解析】选 D. 因为直线 3x+4y=b 与圆心为( 1,1 ),半径为 1 的圆相切,所以圆心到该直线的

d?
距离

| 3 ? 4? b | ?1? b ? 2 5 或 12 ,故选 D 。

2. (2015 ·广东高考理科· T5) 平行于直线 2x+y+1=0 且与圆 x 2 +y 2 =5 相切的直线的方程 是 ( ) A.2x-y+ B.2x+y+ =0 或 2x-y=0 或 2x+y=0 =0

C.2x-y+5=0 或 2x-y-5=0 D.2x+y+5=0 或 2x+y-5=0 【解题指南】先设出与 2x+y+1=0 平行的直线系方程 2x+y+c=0, 利用圆心到直线的距离 求出参数 c . 【解析】选 D. 设所求切线方程为 2x+y+c=0, 依题有

0?0?c 22 ? 12

? 5 ,解得 c=±5, 所以所求

的直线方程为 2x+y+5=0 或 2x+y-5=0. 3. (2015 ·北京高考文科· T2) 圆心为 (1,1) 且过原点的圆的方程是 2 2 2 2 A.(x-1) +(y-1) =1 B.(x+1) +(y+1) =1 C.(x+1) 2+(y+1) 2=2 D.(x-1) 2+(y-1) 2 =2 【解题指南】求出半径 , 代入圆的标准方程 . 【解析】选 D. 半径 r= 12 ? 12 = 2 , 所以圆的方程为 (x-1) 2+(y-1) 2 =2.

(

)

4.(2015 ·新课标全国卷Ⅱ理科· T7) 过三点 A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交 y 轴于 M,N 两点 ,则 |MN|= ( ) A.2 B.8 C.4 D.10

【解题指南】 利用三点 A(1,3),B(4,2),C(1,-7) 求出圆的方程 , 令 x=0, 求出 y 的值 , 从而 求出 |MN| 的值 .

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【解析】 选 C. 由已知得 k AB ?

3?2 1 ? ? k CB = 1? 4 3

=3, 所以 k AB · k CB =-1, 所以 AB ⊥ CB, 即△ ABC

为直角三角形 , 其外接圆圆心为 (1,-2), 半径 r=5, 所以外接圆方程为 (x-1) 2 +(y+2) 2 =25, 令 x=0 得 y= ± 2 -2,所以 |MN|=4 .

5.(2015 · 山 东 高 考 理 科 · T9) 一 条 光 线 从 点 (-2,-3) 射 出 , 经 y 轴 反 射 后 与 圆 (x+3) 2 +(y-2) 2 =1 相切 , 则反射光线所在直线的斜率为 ( ) 5 3 3 2 5 4 4 3 A. ? 或 ? B. ? 或 ? C. ? 或 ? D. ? 或 ? 3 5 2 3 4 5 3 4 【解题指南】本题考查光的反射 (对称性 ) 及点到直线的距离公式 . 【 解 析 】 选 D. 反 射 光 线 过 点 (2,-3), 设 反 射 光 线 所 在 直 线 方 程 为 y+3=k(x-2), 即 kx-y-2k-3=0, 反 射 光 线 与 圆 相 切 , 圆 心 (-3,2) 到 直 线 的 距 离 等 于 半 径 1, 即

?3k ? 2 ? 2k ? 3 1? k
2

4 3 ? 1 ,解得 k ? ? 或 k ? ? 3 4

6.(2015 ·新课标全国卷Ⅱ文科· T7) 已知三点 A(1,0),B(0, 圆的圆心到原点的距离为 A. B. ( ) C.

),C(2,

), 则△ ABC 外接

D.

【解析】选 B. 圆心在直线 BC 的垂直平分线即 x=1 上 , 设圆心 D(1,b), 由 DA=DB 得 | b |? 1 ? (b ? 3 ) 2 , 解 得 b ?
2 2 ,所 以圆 心 到 原点 的 距离 为 3

?2 2? 21 ? d ? 1 ?? ? 3 ? ? 3 . ? ?
2

2

? 7. ( 2015 · 重 庆 高 考 理 科 · T 8 ) 已 知 直 线 l : x

a? y1 ? 0 ( a ?是 R ) 圆 C:

切点为 B , 则 AB ? ( x2 ? y2 ? 4x ? 2 y ? 1 ? 0 的对称轴 . 过点 A(? 4,a )作圆 C 的一条切线, A. 2 B. 4 2 C. 6 D. 2 10



【解题指南】解答本题可以根据题意得知直线经过圆的圆心,从而求出 a 的值,然后利 用 AB ?

AC ? r 2 ( C 为圆心, r 为半径)求解 .

2

【解析】选 C. 圆的标准方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 4 圆心为 C (2,1) ,半径为 r ? 2 , 因为直线 l 为圆的对称轴,所以直线经过圆心 C (2,1) ,即 2 ? a ? 1 ? 0 ,所以 a ? ?1 ,
A(?4, ?1) ,所以 AC ? (?4 ? 2) 2 ? (?1 ? 1) 2 ? 2 10

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又 AB 为圆的切线,所以 AB ?

AC ? r 2 ? 40 ? 4 ? 6.

2

二、填空题
8. (2015 ·湖北高考理科· T14) 如图 , 圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0), 与 y 轴正半轴交于 两点 A,B(B 在 A 的上方 ), 且 |AB|=2.

(1) 圆 C 的标准方程为 . 2 (2) 过点 A 任作一条直线与圆 O:x +y2 =1 相交于 M,N 两点 , 下列三个结论 : ①
NA NB ? MA MB





NB NA

?

MA MB

?2;



NB NA

?

MA MB

?2 2.

其中正确结论的序号是 .( 写出所有正确结论的序号 ) 【解析】(1) 设点 C 的坐标为 (x0 ,y 0),则由圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0) 知 , 点 C 的横坐标 为 1, 即 x0 =1, 半径 r=y 0 .又因为 |AB|=2, 所以 1 2 +1 2= ,即 y 0= (x-1)2 +(y)2 =2. =r, 所以圆 C 的标准方程为

(2)设 MN 的斜率不存在,则 MN 的直线方程为 x=0, |NA|=1- 2 ? 1 = 2 ? 2 ,|NB|= 2 ? 1 ? 1 ? 2, |MA|= 1 ? 2 ? 1 ? 2, |MB|= 2 ? 2,
NA NB MA MB ? 2? 2 2 ? 2 ? 1,

MA MB

?

2 2?2

? 2 ? 1, 所以①

NA NB

?

MA MB

, 成立,

NB NA

?

2 2? 2

? 2 ? 1,

NB NA

?

? 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 2,

②式成立;

NB NA

?

MA MB

? 2 2, ③ 式成立。

设 MN 的斜率存在为 k,MN 的直线方程是 y ? kx ? 2 ? 1, 代入 x 2 ? y 2 ? 1 得
x 2 ? k 2 x 2 ? 2( 2 ? 1)kx ? 3 ? 2 2 ? 1 , (1 ? k 2 ) x 2 ? 2( 2 ? 1)kx ? 2(1 ? 2) ? 0, x1 ? x2 ? ?
x1 ? x2 ? 2(1 ? 2) ,B(0, 2 ? 1 ) , ; 设 M(x1,y1),M(x2,y2).A(0, 2 ? 1 ) 1? k2
y1 ? 2 ? 1 y2 ? 2 ? 1 x2 ( y1 ? 2 ? 1) ? x1 ( y2 ? 2 ? 1) ? ? ? x1 x2 x1 x2

2( 2 ? 1)k , 1? k2

kMB ? k NB ?

x2 (k x1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 1) ? x1 (k x2 ? 2 ? 1 ? 2 ? 1) x2 (k x1 ? 2) ? x1 (k x2 ? 2) ? ? x1 x2 x1 x2

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2( 2 ? 1)k 2(? ) (k x1 x2 ? 2 x2 ) ? (k x1 x2 ? 2 x1 ) 2( x1 ? x2 ) 1? k2 ? 2k ? ? 2k ? ? 2k ? 2k ? 0, x1 x2 x1 x2 2(1 ? 2) 1? k2

所以 MB 与 NB 关于 y 轴对称,y 轴是 ?MBN 的平分线,所以 正确的;同理可证②,③也是正确的。 答案 :(1)(x-1) 2+(y- 2 ) 2 =2 (2) ①②③

NA MA

?

NB MB

,?

NA NB

?

MA MB

, ①是

9. (2015 ·湖北高考文科· T16) 如图 , 已知圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0), 与 y 轴正半轴 交于两点 A,B(B 在 A 的上方 ), 且 |AB|=2.

(1) 圆 C 的标准方程为 . (2) 圆 C 在点 B 处的切线在 x 轴上的截距为 . 【解题指南】 根据垂径定理求出圆心和半径 , 代入圆的标准方程即得 . 利用直线与圆的位 置关系求出直线的方程 , 再令 y=0, 得出切线在 x 轴上的截距 . 【解析】(1) 设点 C 的坐标为 (x0 ,y 0),则由圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0) 知 , 点 C 的横坐标 为 1, 即 x0 =1, 半径 r=y 0 .又因为 |AB|=2, 所以 12 ? 12 ? y02 , 即 y 0 = 为 (x-1) 2+(y-

2 =r,所以圆 C 的标准方程

2 )2=2. 2 +1).设圆 C 在点 B 处的切线方程为 y-( 2 +1)=kx, 则圆心 C 到其
? 2 , 解之得 k=1. 即圆 C 在点 B 处的切线方程为 y=x+(

(2) 令 x=0 得 :B(0, 距离为 : d ?

k ? 2 ? 2 ?1 k2 ?1

2 +1),

于是令 y=0 可得 x=答案 :(1)(x-1) 2+(y-

2 -1,即圆 C 在点 B 处的切线在 x 轴上的截距为 -1- 2 . 2 )2 =2 (2)-1- 2

10. ( 2015 ·重庆高考文科·T 12 )若点 P(1, 2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在 点 P 处的切线方程为 _________. 【解题指南】首先求出圆的方程,然后利用结论求出切线方程 . 【解析】点 P(1, 2) 在以坐标原点为圆心的圆上,所以半径为 r ? 5 圆的方程为 x2 ? y 2 ? 5 ,在点 P 处的切线上任取一点 Q( x, y) ,则 PQ ? OP

???? ??? ? 因为 PQ ? ( x ?1, y ? 2),OP ? (1, 2)

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???? ??? ? 所以 PQ ? OP ? x?1 ?2( y ? 2) ? 0,即 x ? 2 y ? 5 ? 0
即该圆在点 P 处的切线方程为 x ? 2 y ? 5 ? 0 答案: x ? 2 y ? 5 ? 0 11. (2015 ·江 苏 高 考 · T10) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 以 点 (1,0) 为 圆 心 且 与 直 线 mx-y-2m-1=0(m ∈ R) 相切的所有圆中 , 半径最大的圆的标准方程为 .

【解题指南】点 (1,0) 到直线 mx-y-2m-1=0(m ∈ R) 的最大距离即为所求圆的半径 , 利用点 到直线的距离公式表示出此距离并求出最大值 , 代入圆的标准方程即可 . 【 解 析 】 点 (1,0) 到 直 线 mx-y-2m-1=0 的 距 离 d ?
d?
m ? 2m ? 1 m ?1
2

?

m ?1 m2 ? 1

, 当 m>0 时 ,

m2 ? 2m ? 1 2m 2 1 1 ? 1? 2 ? 1? 1 . 因为 m>0, 所以 m ? ? 2 m? ? 2 , 当且仅当 m=1 时上式 m2 ? 1 m ?1 m? m m m

成立 , 所以 d ≤ 2 . 当 m ≤ 0 时 ,d ≤ 2 仍然成立 . 所以最大圆的半径是 2 , 标准方程为 (x-1)2 +y2=2. 答案 :(x-1) 2 +y 2=2 12.(2015 · 山东高考文科· T13) 过点 P(1, 则 · = . ) 作圆 x2+y2=1 的两条切线 , 切点分别为 A,B,

【解题指南】利用圆心到切线的距离等于半径可求出切线的长 , 进而求出数量积 . ???? ? ???? ???? ? ? ? 【解析】圆心为 O(0,0), 则 PO ? 2 , PA ? PB ? 3, ?OPA ? ?OPB ? ,则 ?APB ? , 6 3 ? ??? ? ??? ? ???? ???? ? 3 所以 PA ? PB ? PA ? PB cos?APB ? 3? 3? cos ? . 3 2 3 【答案】 2 三、解答题 13.(2015 ·新课标全国卷Ⅰ文科· T20)(12 分 ) 已知过点 A C: + =1 交于 M,N 两点 . 且斜率为 k 的直线 l 与圆

(1) 求 k 的取值范围 . (2) 若 · =12, 其中 O 为坐标原点 , 求 .

【解题指南】 (1) 利用圆心到直线 y=kx+1 的距离小于 1 求出 k 的取值范围 . (2) 将直线 y=kx+1 与圆 + =1 联立 , 利用根与系数关系及向量数量积求解 .

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【解析】 (1)由题设 , 可知直线 l 的方程为 y=kx+1. (1) 因为 l 与 C 交于两点 , 所以
| 2k ? 3 ? 1 | 1? k 2 ? 1.

解得

4? 7 4? 7 4? 7 4? 7 ?k? . 所以 k 的取值范围为 ( , ). 3 3 3 3

( 2 )设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ). 将 y ? kx ? 1 代 入 方 程

? x ? 2?

2

? ? y ? 3? ? 1 , 整 理 得
2

4(1 ? k ) 7 , x1 x2 ? . 2 1? k 1? k 2 4k (1 ? k ) ? 8. OM ? ON ? x1x2 ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 1? k 2 4k (1 ? k ) ? 8 ? 12, 由题设可得 1? k 2 解得 k=1, 所以 l 的方程为 y=x+1. 故圆心 C 在 l 上 , 所以 |MN|=2. 14. (2015 ·广东高考理科· T20) 已知过原点的动直线 l 与圆 C 1 :x2 +y 2-6x+5=0 相交于不 同的两点 A,B. (1) 求圆 C 1 的圆心坐标 . (2) 求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程 . (3) 是否存在实数 k, 使得直线 L:y=k(x-4) 与曲线 C 只有一个交点 ? 若存在 , 求出 k 的取值 范围 ;若不存在 ,说明理由 . 【解题指南】 (1) 把圆的一般方程转化为标准方程求圆心 . (2) 利用相关点法求轨迹方程 .(3) 利用数形结合法求解 . 【解析】 (1) 由 x 2+y 2 -6x+5=0 得 (x-3)2 +y2 =4, 所以圆 C 1 的圆心坐标为 (3,0).

(1 ? k 2 ) x 2 ? 4(1 ? k ) x ? 7 ? 0. 所以 x1 ? x2 ?

( 2 )设 M ? x, y? ,则 因为点 M 为弦 AB 中点即 C1M ? AB , 所以 kC1M ? k AB ? ?1 即
y y ? ? ?1 , x ?3 x
2

3? 9?5 ? ? 所以线段 AB 的中点 M 的轨迹的方程为 ? x ? ? ? y 2 ? ? ? x ? 3 ? ; 2? 4? 3 ? ?
3 ?3 ? ( 3) 由( 2 )知点 M 的轨迹是以 C ? ,0 ? 为圆心 r ? 为半径的部分圆弧 EF(如下图所示, 2 ?2 ?

?5 2 5 ? ?5 2 5? F? 不包括两端点),且 E ? , , ? ? 3,? 3 ? ? ,又 直线 L : y ? k ? x ? 4? 过定点 D ? 4,0? , ?3 3 ? ? ? ? ?

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L y

E D O C F x

[ 来 源 : Z + x x+ k .C o m]

当直线 L 与圆 C 相切时,由

?3 ? k ? ? 4? ? 0 2 ? ? k 2 ? 12

?

3 3 得 k ? ? ,又 k DE ? ?k DF 4 2

? 2 5? 0??? ? 3 ? 2 5 ? ?? ? , 5 7 4? 3

? 3 3? ? 2 5 2 5 ? 结合上图可知当 k ? ?? , ? ? ? ? , ? 时,直线 L : y ? k ? x ? 4? 与曲线 C 只有一个交 7 ? ? 4 4? ? 7

点. 15. (2015 ·广东高考文科· T20) 与( 2015 ·广东高考理科·T 20)相同 已知过原点的动直线 l 与圆 C 1 :x 2 +y2 -6x+5=0 相交于不同的两点 A,B. (1) 求圆 C 1 的圆心坐标 . (2) 求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程 . (3) 是否存在实数 k, 使得直线 L:y=k(x-4) 与曲线 C 只有一个交点 ? 若存在 , 求出 k 的取值 范围 ;若不存在 ,说明理由 . 【解题指南】 (1) 把圆的一般方程转化为标准方程求圆心 . (2) 利用相关点法求轨迹方程 .(3) 利用数形结合法求解 . 【解析】 (1) 由 x 2+y 2 -6x+5=0 得 (x-3)2 +y2 =4, 所以圆 C 1 的圆心坐标为 (3,0). (2) 设 M ? x, y ? ,则 因为点 M 为弦 AB 中点即 C1M ? AB , 所以 kC1M ? k AB ? ?1 即
y y ? ? ?1 , x ?3 x
2

3? 9?5 ? ? 所以线段 AB 的中点 M 的轨迹的方程为 ? x ? ? ? y 2 ? ? ? x ? 3 ? ; 2? 4? 3 ? ?
3 ?3 ? (3) 由( 2 )知点 M 的轨迹是以 C ? ,0 ? 为圆心 r ? 为半径的部分圆弧 EF (如下图所 2 ?2 ?

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?5 2 5 ? ?5 2 5? 示,不包括两端点),且 E ? , ,F ? ? 3,? 3 ? ? ,又 直线 L : y ? k ? x ? 4? 过定点 D ? 4,0? , ?3 3 ? ? ? ? ? ?

L y

E D O C F x

[ 来 源 : Z + x x+ k .C o m]

当直线 L 与圆 C 相切时,由

?3 ? k ? ? 4? ? 0 ?2 ? k 2 ? 12

?

3 3 得 k ? ? ,又 k DE ? ?k DF 4 2

? 2 5? 0??? ? 3 ? 2 5 ? ?? ? , 5 7 4? 3

? 3 3? ? 2 5 2 5 ? 结合上图可知当 k ? ?? , ? ? ? ? , ? 时,直线 L : y ? k ? x ? 4? 与曲线 C 只有一个交 7 ? ? 4 4? ? 7

点.

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