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广东省清远市2013届高三质量检测数学理科卷三


广东省清远市 2013 届高三质量检测数学理科卷 3
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.
1? i

1.若将复数 1 ? i 表示为 a + bi(a,b∈R,i 是虚数单位)的形式,则 a + b= A.0 2.已知 p:
x ?1 ? 4

/>
B.1

C.-1

D.2

2 ,q: x ? 5 x ? 6 ,则 p 是 q 成立的

A.必要不充分条件 C.充要条件 3.已知

B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件

?a n ?

S ? 55 P (3, a3 ), Q ( 4 , a 4 ) 是等差数列, a 4 ? 15 , 5 ,则过点 的直线的斜率

1

A.4

B. 4
f

C.-4 D.-14
a ?b
x

?x? ? 4.已知

的图象如图所示,则
3 ?3

f

?3?

?

y

A. 2 2 ? 2 C. 3 3 ? 3

B. 9 D. 3 3 ? 3 或 ? 3 3 ? 3

O · -2

· 2

x

5.已知直线 l 、 m ,平面 ? 、 ? ,则下列命题中假命题是 A.若 ? // ? , l ? ? ,则 l // ? C.若 l // ? , m ? ? ,则 l // m D.若 ? ? ? , ? ? ? ? l , m ? ? , m ? l ,则 m ? ? 6.2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻 译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事 这四项工作,则不同的选派方案共有 A.36 种 B.12 种 C.18 种 D.48 种
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? a ? b ? s in ? 7. 设向量 a 与 b 的夹角为 ? , 定义 a 与 b 的 “向量积” a ? b 是一个向量, : 它的模 , ? ? ? ? a ? ? 3 , ? 1 , b ? 1, 3 a?b ?

B.若 ? // ? , l ? ? ,则 l ? ?



?

?

?

? ,则

A. 3

B.2

C. 2 3

D.4
·1·

8. 已知函数: f ( x ) ? x

2

? f (2) ? 12 ? f (?2) ? 4 ? bx ? c , 其中:0 ? b ? 4 , 0 ? c ? 4 , 记函数 f ( x ) 满足条件:?

为事件为 A,则事件 A 发生的概率为
1 5 3 1

A.

4

B.

8

C. 8

D. 2

二、填空题:本大题共 7 小题,其中 9~13 题是必做题,14~15 题是选做题,每小题 5 分,满分 30 分. 9. (1 ? x )( 1 ? x ) 展开式中 x3 的系数为_________.
2 5

10.两曲线 x ? y ? 0 , y ? x ? 2 x 所围成的图形的面积是_________.
2

x

2

11.以点 A ( 0 , 5 ) 为圆心、双曲线 16
x

?

y

2

?1

9

的渐近线为切线的圆的标准方程是_________.

?2 (x ? 0) f (x) ? ? , 则 f (?8) ? f ( x ? 3 )( x ? 0 ) 12.已知函数 =_________.

13. 已知

2 ?

2 3

? 2

2 3

,

3 ?

3 8

? 3

3 8

,

4 ?

4 15

? 4

4 15

, ?若

6 ?

a t

? 4

a t

, a , t 均为正实数) ( ,

则类比以上等式,可推测 a , t 的值, a ? t ?



▲选做题:在下面两道小题中选做一题,两题都选的只计算前两题的得分.
? x ? 1 ? 2t, ? x ? s, l1 : ? ( t为 参 数 ) l2 : ? y ? 2 ? kt. ? y ? 1 ? 2 s .( s 为参数) 14. (坐标系与参数方程选做题)若直线 ? 与直线

垂直,则 k ?



15.(几何证明选讲选做题)点 A , B , C 是圆 O 上的点, 且 A B ? 4 , ? A C B ? 4 5 ,则圆 O 的面积等
0

于_____. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.
?? ?? 2

16. (本小题满分 12 分)已知向量
?? 2

a ? ( 2 cos

x,

3)



b ? (1, sin 2 x )

,函数

? ? f (x) ? a ?b



g (x) ? b



(Ⅰ)求函数 g ( x ) 的最小正周期;
·2·

(Ⅱ)在 ? ABC 中, a , b , c 分别是角 A , B , C 的对边,且 f ( C ) ? 3 , c ? 1 , ab ? 2 3 ,且 a ? b , 求 a , b 的值. 17. (本小题满分 12 分) 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上 40 件产品作为样本,称出 它 们 的 重 量 ( 单 位 : 克 ) 重 量 的 分 组 区 间 为 ? 490 , 495 ? , ,

? 495

, 500

? ,?, ?510

, 515

? ,由此得到样本的频率分布直方图,如

右图所示. (1)根据频率分布直方图,求重量超过 505 克的产品数量. (2)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件,设 Y 为重量超过 505 克 的产品数量,求 Y 的分布列. (3)从流水线上任取 5 件产品,求恰有 2 件产品的重量超过 505 克的概率.

18. (本小题满分 14 分) 如图,四面体 ABCD 中,O、E 分别是 BD、BC 的中点,
CA ? CB ? CD ? BD ? 2 , AB ? AD ? 2.

A

(1) 求证: A O ? 平面 BCD; (2) 求异面直线 AB 与 CD 所成角余弦的大小; (3) 求点 E 到平面 ACD 的距离. 19. (本小题满分 14 分)
x ?
2

D O B E C

y b

2 2

? 1( 0 ? b ? 1)

已知椭圆

的左焦点为 F, 左右顶点分别为 A,C 上顶点为 B, F,B,C 三点作 ? P , 过
e ? 3 2 ,求 ? P 的方程;

其中圆心 P 的坐标为

(m , n)

.(1) 若椭圆的离心率

(2)若 ? P 的圆心在直线 x ? y ? 0 上,求椭圆的方程. 20. (本小题满分 14 分) 已知向量
? ? 2 a ? ( x ? 3 , 1) ,b ? (x ,? y )

, (其中实数 y 和 x 不同时为零) ,当 | x |? 2 时,有 a ? b ,当
·3·

?

?

| x |? 2

? ? a // b . 时,

(1) 求函数式 y ? f ( x ) ; (2)求函数 f ( x ) 的单调递减区间;
2 (3)若对 ? x ? ( ? ? , ? 2 ] ? [ 2 , ? ? ) ,都有 m x ? x ? 3 m ? 0 ,求实数 m 的取值范围.

21. (本小题满分 14 分) 设数列{
an

}的前 n 项和为
a3

S

n

,并且满足
an

2Sn ? an ? n
2



an ? 0

(n∈N*).

(Ⅰ)求 a 1 , a 2 ,

; (Ⅱ)猜想{

}的通项公式,并加以证明;

(Ⅲ)设 x ? 0 , y ? 0 ,且 x ? y ? 1 , 证明:
an x ? 1 ? an y ? 1



2(n ? 2)

.

参考答案 一.选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 1.B 2.A 3.A
1? i

4.C

5.C

6.A

7.B

8.D

1.选 B.提示: 1 ? i 2.选 A.提示:

? i ,? a ? 0 , b ? 1

. .
a4 ? a3 4?3 ? 15 ? 11 ? 4

p : ? ? 5 , 3 ?, q : ? 2 , 3 ?

S 5 ? 5 a 3 ? 55 ,? a 3 ? 11 , k ?

3.选 A.提示: 4.选 C.提示:

. .

根据 f ( 2 ) ? 0 , f ( 0 ) ? ? 2 , 得 a ?

3,b ? ?3

5.选 C.提示:l 与 m 可能异面. 6.选 A.提示:
A 3 ? A 3 ? 36
2 2

.
? 2 4 3 ? ? 3 2 , sin ? ? 1 2

a ? b ? 2 , cos ? ?

7.选 B.提示:
1 P ? 2 4?4 ?4?4 ?

.

1 2 .

8.选 D.提示:

二.填空题:本大题考查基本知识和基本运算.本大题共 7 小题,其中 9~13 题是必做题,14~15 题 是选做题.每小题 5 分,满分 30 分.其中第 11 题中的第一个空为 2 分,第二个空为 3 分.
·4·

9

9. ? 1 5 13. 4 1

10. 2 14. ? 1
3 1

11. x ? ( y ? 5 ) ? 16
2 2

12. 2

15. 8?
3

9. ? 1 5 .提示:
9

(?C 5 ? C 5 ) x
3

.
2

面积 S ?

10. 2 .提示: 11. x ? ( y ? 5 ) ? 16 .
2 2

?

x ? (x

? 2 x ) dx ?

9 2 .

0

提示:根据圆心到直线的距离等于半径求出 r=4 12.2 提示: f ( ? 8 ) ? f ( ? 5 ) ? f ( ? 2 ) ? f (1 ) ? 2 . 13. 4 1 .提示:
a ? 6, t ? a
2

? 1 ? 35

.

14. ? 1 .提示:化为普通方程求解. 15. 8? .提示:
连接 OA , OB , ? BOA ? 90
0

, ? r ? OA ? OB ? 2

2

.

三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明.演算步骤或推证过程. 16. (本小题满分 12 分) (本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系.余弦定理等知识,考查化归与转化的数学思 想方法,以及运算求解能力)
?2 1 ? cos 4 x 1 3 2 g ( x ) ? b ? 1 ? s in 2 x ? 1 ? ? ? cos 4 x ? 2 2 2 解: (Ⅰ) 2? 4

????2 分

∴函数 (Ⅱ)

g (x)

T ?

?

?
2

的最小周期

?????4 分

? ? 2 f ( x ) ? a ? b ? (2 cos x,

3 ) ? (1, s in 2 x )

? 2 cos x ?
2

3 s in 2 x ? c o s 2 x ? 1 ?

3 s in 2 x

? 2 s in ( 2 x ?

?
6

)?1

?????6 分
?
6 )?1? 3 s i n 2C ? (

f ( C ) ? 2 sin( 2 C ?

?
6

?

) ?1

??????7 分
·5·

2C ?
? C

?
6

? (

?
6

,

13 ? 6

)

2C ?

?
6

?

?
2

是三角形内角, ∴

, ∴

C ?

?
6 ????8 分
b
2

即:

cos C ?

? a

2

? c

2

?

3 2

∴ 即: a ? b ? 7
2 2

2 ab

???????10 分
2

将 ab ? 2 ∴a ?
3或 2

3 可得:

a

?

12 a
2

? 7

解之得: a

2

? 3或 4 ,

所以当 a ?
3 ,

3 时, b ? 2 ;

当 a ? 2 ,b ?
? a ? b

∴a ? 2 ,b ?

3 .

????12 分

17. (本小题满分 12 分) (本小题主要考查频率分布直方图.随机变量的分布列.二项分布等知识,考查或然与必然的数学思想 方法,以及数据处理能力.运算求解能力和应用意识) 解: (1)根据频率分步直方图可知,重量超过 505 克的产品数量为
[( 0 .0 1 ? 0 .0 5 ) ? 5 ] ? 4 0 ? 1 2

(件) .???? 4 分 ???? 5 分
C 28C 12 C 40
2 1 1

(2) Y 的可能取值为 0,1,2.
P (Y ? 0 ) ? C 28 C 40 C 12 C 40
2 2 2 2

?

63 130 11 130

P ( Y ? 1) ?

?

56 130





P (Y ? 2 ) ?

?

.???? 8 分 布 列
Y

Y





0
63

1
56 130

2
11 130

P

130



???? 9 分
·6·

(3)利用样本估计总体,该流水线上产品重量超过 505 克的概率为 0.3. 令 ? 为任取的 5 件产品中重量超过 505 克的产品数量, 则 ? ? B (5 , 0 .3 ) ,故所求概率为:
P ( ? ? 2 ) ? C 5 ( 0 .3 ) ( 0 .7 ) ? 0 .3 0 8 7
2 2 3

.???? 12 分

18. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查空间线面关系.空间距离.空间向量及坐标运算等知识, 考查数形结合.化归与转化的 数学思想方法,以及空间想象能力.推理论证能力和运算求解能力) 解:(1) 证明:连结 OC,
? BO ? DO , AB ? AD ,

A

? AO ? BD

???? 1 分 M , C O ? B D . ??? 2 分 O D B E
3.
2

? BO ? DO , BC ? CD

在 ? A O C 中, 由已知可得
A O ? 1, C O ?
2

C

????3 分
2

而 AC ? 2 , ∴ AO ? C O ? AC , ∴? AO C ? 90 , 即 AO ? OC.
o

??? 4 分 ??????? 5 分 ????? 6 z A

? BD ? OC ? O ,

∴ A O ? 平面 B C D .

分 (2) 解:以 O 为原点,如图建立空间直角坐标系, 则 B (1, 0 , 0 ), D ( ? 1, 0 , 0 ),
1 2
??? ? ???? B A ? ( ? 1, 0 , 1) , C D ? ( ? 1, ?

C (0,

3 , 0 ) , A ( 0 , 0 , 1) , E (

,

3 2

D
, 0 ),

O x B E C y

3, 0)

·7·



??? ???? ? ??? ???? ? BA ?CD c o s ? B A , C D ? ? ??? ???? ? ? BA ? CD

2 4

,?????
2

9分

∴ 异面直线 AB 与 CD 所成角余弦的大小为 4 .?? (3) 解:设平面 ACD 的法向量为 n ? ( x , y , z ) , 则
? ?n ? ?? ?n ? ???? ? A D ? ( x , y , z ) ? ( ? 1, 0 , ? 1) ? 0 ???? ? A C ? ( x , y , z ) ? ( 0 , 3 , ? 1) ? 0
? n ? (? 3 , 1, 3) ?

10 分

,∴

?x ? z ? 0 ? ? ? 3y ? z ? 0 ?



令 y ? 1, 得

是平面 ACD 的一个法向量.

???? 1 3 E C ? (? , , 0 ), 2 2 又

∴点 E 到平面 ACD 的距离

???? ? EC ?n h ? ? ? n

3 7

?

21 7

.???

14 分

(3) (法二)解:设点 E 到平面 ACD 的距离为 h .
? VE?
A C D

?V

? A

C D E



1

∴3

h ? S ?ACD ?

1 3

? A O ? S ?CDE

??????????12 分
2

在 ? A C D 中,
S ?ACD ? 1 2
1 2

C A ? C D ? 2, A D ?

,

?

2?

2 ?(
2

2 2

)

2

?

7 2 ,



而 AO ? 1 ,

S ?CDE ?

?

3 4

?2

2

?

3 2 .

h ?

A O ? S ?CDE S ?ACD

1? ? 2 7

3 2 ? 21 7





·8·

21

∴点 E 到平面 ACD 的距离为 7

????? 14 分

19. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查圆.椭圆等知识,考查数形结合.化归与转化.函数与方程的数学思想方法,以及推理 论证能力和运算求解能力)
e ? 3 2 3 2 ,
A(-1 ,0) F(-c,0) o y

解: (1)当
c ?

时,

B(0,b)

x C(1,0)

∵ a ? 1 ,∴
b
2 2

? a ?c

2

? 1?

3 4

?

1

1


1 ) F (?
3 2

4 ,b ? 2 ,

B (0,

, 0)



2 ,

, C (1, 0 ) ???????? 2 分
2 2 2

设 ? P 的方程为 ( x ? m ) ? ( y ? n ) ? r ,

由 ? P 过点 F,B,C 得∴
(m ? 3 2
(1 ? m ) ? n
2 2

m

2

?(

1 2

? n) ? r
2

2



) ? n
2

2

? r

2


? r
2

③ ???????? 5 分

由①②③联立解得:
m ? 2? 4 3 n ? 1? 2 4 3

r

2

?

5 4





???????? -7 分

∴所求的 ? P 的方程为
(x ? 2? 4 3 ) ? (y ?
2

1? 2 4

3

) ?
2

5 4 ??????? 8 分

(2)∵ ? P 过点 F,B,C 三点, ∴圆心 P 既在 FC 的垂直平分线上,
·9·

也在 BC 的垂直平分线上,
x ? 1? c 2

FC 的垂直平分线方程为
1 b



???? 9 分

k ? ?b ∵BC 的中点为 2 2 , B C

(

,

)

y?

b 2

?

1 b

(x ?

1 2

)

∴BC 的垂直平分线方程为
x ? 1? c 2 b ?c
2

⑤ ??? 10 分

,y ?

b ?c
2

由④⑤得
m ? 1? c 2

2b



,n ?



2b

???????? 11 分

∵ P ( m , n ) 在直线 x ? y ? 0 上,
1? c ? b ?c
2

? 0

∴ 2

2b

? (1 ? b )( b ? c ) ? 0

∵ 1? b ? 0 ∴ b ? c ,由 b ? 1 ? c
2 2

b

2

?

1 2



???????? 13 分
2 2

∴ 椭圆的方程为 x ? 2 y ? 1

???????? 14 分

20. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查函数与导数等知识,考查分类讨论,化归与转化的数学思想方法,以及推理论证 能力和运算求解能力) 解: (1)当 | x |? 2 时,由 a ? b 得
? ? 2 a ? b ? ( x ? 3) x ? y ? 0
3

?

?



y ? x ? 3x

? ; | x| 2 (

且 x ? 0 )------------------------------------2 分
·10·



| x |? 2

? ? a // b . 时,由

y ? ?

x x ?3
2



--------------------------------------4 分
3

? x ? 3 x, (? 2 ? x ? 2且 x ? 0 ) ? y ? f (x) ? ? x .( x ? 2 或 x ? ? 2 ) ? 2 ?3? x ∴ ---------------------5 分

(2)当 | x | ? 2 且 x ? 0 时, 由 y ' ? 3 x ? 3 <0,
2

解得 x ? ( ? 1, 0 ) ? ( 0 ,1) ,----------------6 分 当 | x |? 2 时,
y'? (3 ? x ) ? x ( ? 2 x )
2

(3 ? x )
2

2

?

3? x
2

2 2

(3 ? x )

? 0

------------------------------8 分 -------------9 分

∴函数 f ( x ) 的单调减区间为(-1,0)和(0,1) (3)对 ? x ? ( ? ? , ? 2 ] ? [ 2 , ? ? ) , 都有 m x ? x ? 3 m ? 0
2

即 m ( x ? 3) ? ? x ,
2

m ?

x 3? x
2

也就是

对 ? x ? ( ? ? , ? 2 ] ? [ 2 , ? ? ) 恒成立,----------------------------------11 分 由(2)知当 | x |? 2 时,
f '( x ) ? (3 ? x ) ? x ( ? 2 x )
2

(3 ? x )
2

2

?

3? x
2

2 2

(3 ? x )

? 0

∴ 函数 f ( x ) 在 ( ? ? , ? 2 ] 和 [2 ,+ ? ) 都单调递增----------------------12 分

·11·

f (?2) ?

?2 3?4

? 2

f (2) ?

2 3?4

? ?2





当 x ? ?2 时
f (x) ? x 3? x
2

? 0



∴当 x ? ( ? ? , ? 2 ] 时,
0 ? f (x) ? 2

同理可得,当 x ? 2 时, 有 ?2 ? f (x) ? 0 , 综上所述得, 对 x ? (?? , ?2] ?[2, ?? ) ,
f (x)

取得最大值 2;

∴ 实数 m 的取值范围为 m ? 2 .----------------------14 分

21. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查数列.不等式.数学归纳法等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括 能力.运算求解能力和创新意识)
?2 a1 ? a1 ? 1 ? 2 ?2(a1 ? a 2 ) ? a 2 ? 2 ? 2 2(a1 ? a 2 ? a 3 ) ? a 3 ? 3 n ? 1 ,2,3,得 ? 解: (Ⅰ)分别令
2



an ? 0

, ???????3 分

a ? 3 ∴ a1 ? 1 , a 2 ? 2 , 3

(Ⅱ)证法一: 猜想:
an ? n


2

????????4 分
2Sn ? an ? n




·12·

可知,当 n ≥2 时,
2 S n ?1 ? a n ?1 ? ( n ? 1)
2


2 a n ? a n ? a n ?1 ? 1
2 2

①-②,得 即
a n ? 2 a n ? a n ?1 ? 1
2 2



.

??????6 分

1)当 n ? 2 时,
a2 ? 2a2 ? 1 ? 1
2 2



∵a2 ? 0 , ∴a2 ? 2 ; ?????7 分

a ? k 2)假设当 n ? k ( k ≥2)时, k .

那么当 n ? k ? 1 时,
a k ?1 ? 2 a k ?1 ? a k ? 1 ? 2 a k ?1 ? k
2 2 2

?1

? [ a k ? 1 ? ( k ? 1 )][ a k ? 1 ? ( k ? 1 )] ? 0 a k ?1 ? 0



∵ ∴

, k ≥2, , .

a k ? 1 ? ( k ? 1) ? 0



a k ?1 ? k ? 1

这就是说,当 n ? k ? 1 时也成立, ∴
an ? n

( n ≥2).

显然 n ? 1 时,也适合. 故对于 n∈N*,均有 证法二:猜想:
an ? n an ? n

.

????????9 分 ???????????4 分 ???????????5 分
·13·



1)当 n ? 1 时, a 1 ? 1 成立;

a ? k 2)假设当 n ? k 时, k .

??????????6 分

2 2S ? a k ?1 ? k ? 1 那么当 n ? k ? 1 时, k ? 1 .



2 ( a k ?1 ? S k ) ? a k ?1 ? k ? 1
2 2





a k ?1 ? 2 a k ?1 ? 2 S k ? ( k ? 1)
2

? 2 a k ?1 ? ( k

? k ) ? ( k ? 1)

? 2 a k ?1 ? ( k

2

? 1)

(以下同证法一) ??????9 分 (Ⅲ)证法一:要证 只要证
nx ? 1 ? 2 nx ? 1 ? ny ? 1



2(n ? 2)



( nx ? 1)( ny ? 1) ? ny ? 1
2

≤ 2 ( n ? 2 ) ,????10 分

2 n xy ? n ( x ? y ) ? 1 即n(x ? y) ? 2 ? ≤ 2 ( n ? 2 ) ,????11 分

2 n xy ? n ? 1 将 x ? y ? 1 代入,得 ≤n ? 2 ,
2

即要证 4 ( n xy ? n ? 1 ) ≤ ( n ? 2 ) ,
2 2

即 4 xy ≤1. ??????????12 分 ∵ x ? 0 , y ? 0 ,且 x ? y ? 1 ,
x ? y ? 1 2 ,



xy


1

2



xy

≤ 4 ,故 4 xy ≤1 成立,

所以原不等式成立. ?????????14 分 证法二:∵ x ? 0 , y ? 0 ,且 x ? y ? 1 ,
nx ? 1 ?
?1

n 2

nx ? 1 ?

n 2

?1





2



·14·

x ?

1 2 时取“ ? ”号.

当且仅当

?????????11 分
?1

ny ? 1 ?

n 2

ny ? 1 ?
?1

n 2


y ?


1

2



当且仅当 ①+②,

2 时取“ ? ”号.

????????12 分

n

得( nx ? 1 ?
x ? y ?

ny ? 1
1

?1

n(x ? y) ? 4 ? n



2



2

? n ? 2,

当且仅当 ∴
nx ? 1 ?

2 时取“ ? ”号.

?????????13 分 . ????????14 分 . , ????????10 分

ny ? 1



2(n ? 2)

证法三:可先证 a ? ∵
(
a ? b ≥2
( a ? b)
2
2

b ≤

2(a ? b)

? a ? b ? 2

ab

2(a ? b) )

? 2 a ? 2b



ab ,???????????11 分

∴ 2 a ? 2 b ≥ a ? b ? 2 ab , ∴
2(a ? b)

≥ a ?

b ,

当且仅当 a ? b 时取等号. ??????12 分 令 a ? nx ? 1 , b ? ny ? 1 , 即得:
nx ? 1 ? ny ? 1



2 ( nx ? 1 ? ny ? 1) ?

2(n ? 2)



当且仅当 nx ? 1 ? ny ? 1
x ? y ? 1 2 时取等号. ?????????14 分
·15·




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