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2014届高三数学(文)一轮总复习集 合




节 集 合

基础自主梳理 考向互动探究

最新考纲 1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于 关系. 2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举 法或描述法)描述不同的具体问题. 3.理解集合之间包含与相等的含义,能识别 给定集合的子集.

4.在具体情境中,了解全集与空集的含义. 5.理解两个集合的并集与交集的含义,会求 两个简单集合的并集与交集. 6.理解在给定集合中一个子集的补集的含 义,会求给定子集的补集. 7.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关 系及集合的基本运算.

1. (2013 南充市第一次适应性考试)已知全集 U=R, 集合 A={x|0<2 <1},B={x|log 3 x>0},则 A∩(?UB) 等于( D (A){x|x>1} (B){x|x>0} (C){x|0<x<1} (D){x|x<0} )
x

解析:因为 A={x|x<0},B={x|x>1},所以 ?UB ={x|x≤1},A∩(?UB)={x|x<0}.故选 D.

2.(2012 年高考江西卷)若集 A={-1,1},B={0,2}, 则集合{z|z=x+y,x ? A,y ? B}中的元素的个数 为( C ) (A)5 (B)4 (C)3 (D)2

解析:x=-1,y=0 时,z=-1; x=-1,y=2 时,z=1; x=1,y=0 时,z=1; x=1,y=2 时,z=3. 故 z 的值为-1,1,3,共 3 个元素. 故选 C.

3.若集合 A={x|x<1},B={x|x≥a},且 A ? B≠ 则实数 a 的取值范围是( B (A)a≤1 (B)a<1 (C)a≥1 解析:结合数轴,要使 A ? B≠ ) (D)a>1

,

,则有 a<1.故选 B.

4.已知集合 A={x|-x +2x+3>0},B={x|x-2<0},
2

则 A ?(

R

B)=

.

解析:因为 A={x|-1<x<3},B={x|x<2}, 所以
R

B={x|x≥2},
R

所以 A ? ( 答案:[2,3)

B)={x|2≤x<3}.

1.集合的基本概念 (1)元素的特性 ①确定性;②互异性;③无序性. (2)集合与元素的关系 ①a 属于 A ②a 不属于 A 记为 a∈A; 记为 a?A.

(3)常见集合的符号 自然数 集 N
*

正整数 集 N 或 N+

整数 集 Z

有理数 集 Q

实数 集 R

(4)集合的表示方法 ①列举法;②描述法;③Venn 图法.

2.集合间的基本关系 表示 文字语言 关系 集合 间的 基本 关系 子集 真子 集 相等 集合 A 中任意一个元素都是集合 B 的元素 集合 A 是集合 B 的子集,并且 B 中至少有 一个元素不属于 A 集合 A 的每一个元素都是集合 B 的元素, 集合 B 的每一个元素也都是集合 A 的元素 空集是任何集合的子集 空集 空集是任何非空集合的真子集 A? B 或 B? A A B或B A 记法

A? B 且 B? A ?A=B
??A ?

B且B ≠?

质疑探究 1: 关系? 提示: 若把

、{0}、{

}三者之间有怎样的

{0},若把 当集合,有

当元素,有 { }.

?{

};

3.集合的基本运算
并集 图形 表示 {x|x ? A或 意义 {x|x ? A且 A={x|x ?U } 交集 补集

U

x?B
符号 表示 A ?B

}

x?B
A ?B

}

且x ? A

若全集为 U , 则集合 A( ? U ) A 的补集为
U

A

质疑探究 2:对于集合 A、B,若 A ? B ? A ? B,那 么 A 与 B 之间有什么关系? 提示:因为 A ? B ? A ? B,从而有 A ? B=A ? B, 所以必有 A=B.

4.有关集合的重要结论 (1)A ? B=A ? A ? B ? A ? B=B. (2)若有限集 A 中有 n 个元素,则 A 的子集个数为 2 个,非空子集个数为 2 -1 个,真子集有 2 -1 个.
n n n

集合的基本概念

【例 1】 (1)(2012 年高考新课标全国卷)已知集合 A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x ? A,y? A,x-y? A},则 B 中所含元素的个数为( (A)3 (B)6 (C)8 (D)10 (2)已知集合 A={m+2,2m +m},若 3? A,则 m 的值
2

)



.

解析:(1)由题意知满足条件的 x、y 分别为 x=2,y=1;x=3,y=1,2;x=4,y=1,2,3;x=5,y=1,2,3,4. ?B={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1), (5,2),(5,3),(5,4)}.故选 D.

(2)因为 3 ? A,所以 m+2=3 或 2m +m=3.
2

当 m+2=3,即 m=1 时,2m +m=3, 此时集合 A 中有重复元素 3,所以 m=1 不符合题 意,舍去; 此时当

2

3 当 2m +m=3 时,解得 m=2
2

或 m=1(舍去),

3 1 3 m=- 时,m+2= ≠3 符合题意.所以 m=- . 2 2 2 3 答案:(1)D (2)2

(1)研究一个集合,首先要看集 合中的代表元素,然后再看元素的限制条件, 当集合用描述法表示时,注意弄清其元素表 示的意义是什么.

集合 集合的 意义

{x|f(x) =0} 方程 f(x) =0 的解集

{x|f(x) >0} 不等式 f(x)>0 的解集

{x|y= f(x)} 函数 y=f(x) 的定义域

{y|y= f(x)} 函数 y=f(x) 的值域

{(x,y)|y =f(x)} 函数 y= f(x)图象 上的点集

(2)对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要 注意检验集合是否满足互异性.

变式训练 1-1:(1)(2012 北京东城区模拟)设 P、 Q 为两个非空实数集合,定义集合 P+Q={a+b|a ? P,b ? Q},若 P={0,2,5},Q={1,3,6}, 则 P+Q 中元素的个数为( (A)9 (B)8 (C)7 (D)6 )

b (2)(2012 浙江第二次五校联考)若集合{1,a, a
={0,a ,a+b},则 a-b 的值为( (A)0 (B)1 (C)-1
2

}

) (D)±1

解析:(1)由于 P={0,2,5},Q={1,3,6},a? P, b ? Q,所以 a+b 的取值依次是 1,3,6,3,5,8, 6,8,11,故集合 P+Q={1,3,5,6,8,11},共有 6 个元素.故选 D.

(2)由题意得:a≠0, 故 b=0,a =1, ?a=±1, 又 a=1 不符合元素的互异性, ?a=-1,a-b=-1-0=-1,故选 C.
2

集合间的关系
【例 2】 (1)已知集合 A={x|-2≤x≤7}, B={x|m+1<x<2m-1},若 B ? A,则实数 m 的取值范围 是
2

.

(2)设 A={x|x -8x+15=0},B={x|ax-1=0},若 B ? A, 求实数 a 组成的集合 C.

(1)解析:若 B=

,则有 m+1≥2m-1,?m≤2.

此时满足条件 B ? A.

若 B≠

?2m ? 1 ? m ? 1, ? ,又 B ? A,则有 ?m ? 1 ? ?2, ? 2 m ? 1 ? 7, ?

解得 2<m≤4. 综上可得 m 的取值范围是 m≤4. 答案:(-≦,4]

(2)解:∵A={3,5},B ? A, ∴当 B= 时,方程 ax-1=0 无解,

则 a=0,此时有 B ? A; 当 B≠ 时,则 a≠0,

1 由 ax-1=0,得 x= , a

?1 ? 即 ? ? ? {3, 5}, ?a ? 1 1 ∴ =3或 =5, a a 1 1 ∴a= 或 a= , 3 5 ? 1 1? ∴C = ?0, , ? . ? 5 3?

思考探究:本例(2)条件不变.若 B 的值.

A,试求实数 a

1 1? ? 示 ? 提 : a ? 0, , ? 3 5? ?

(1)已知两集合的关系求参数时,关 键是将两集合的关系转化为元素间的关系,进而 转化为参数满足的关系,解决这类问题常常要合 理利用数轴、Venn 图帮助分析,而且经常要对参 数进行讨论.注意区间端点的取舍. (2)当题目中有条件 B ? A 时,不要忽略 B= 情况! 的

变式训练 2-1:(2012 泉州模拟)已知集合 A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若 A ? B,则实数 a 的 取值范围是(c,+∞),其中 c= .

解析:≧A={x|log2x≤2}={x|0<x≤4}, B=(-≦,a), 又 A ? B,?a>4. 又 a 的取值范围是(c,+≦),?c=4. 答案:4

集合的基本运算
【例 3】(1)(2013 成都市高三模拟)已知全集 U=R, 集合 A={x|x -2x>0},B={x|y=lg(x-1)},则(?U A)∩ B 等于( ) (B){x|1<x<2} (D){x|1≤x≤2} (A){x|x>2 或 x<0} (C){x|1<x≤2}
2

(2)(2011 年高考辽宁卷)已知 M,N 为集合 I 的非空真子集,且 M,N 不相等,若 N∩?IM= ? , 则 M∪N 等于( ) (A)M (B)N (C)I (D)

?

解析:(1)因为?U A={x|x -2x≤0}= {x|0≤x≤2},B={x|x>1},所以(?U A)∩B ={x|1<x≤2}.故选 C. (2)≧N∩?IM= ? , ?N? M, ?M∪N=M.故选 A.

2

有关数集的运算问题,一般先化 简所给集合,确定集合中的元素,然后依据两 集合的交集、并集或补集的定义进行求解. 必要时可结合数轴或韦恩(Venn)图求解.

变式训练 3 1:(1)(2012 沈阳 模拟)设全集 U=R,A={x∈N|1 ≤x≤10},B={x∈R|x +x-6=0}, 则图中阴影表示的集合为( ) (A){2} (B){3} (C){-3,2} (D){-2,3}
2

(2)设集合 A={1,2,3},B={2,3,4,5},定义 A☉ B={(x,y)|x∈A∩B,y∈A∪B},则 A☉B 中元素的 个数是( (A)7 ) (B)10 (C)2
5

(D)5

2

解析:(1)A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, B={-3,2},阴影部分表示的集合为 A∩B={2}, 故选 A. (2)A∩B={2,3},A∪B={1,2,3,4,5},由列举法 可知 A☉B={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5)},共有 10 个 元素.故选 B.

【例 1】 (2013 广安模拟)已知集合 P={y=x +1},Q={y|y=x +1,x? R},S={x|y=x +1,
2 2 2

x∈R},T={(x,y)|y=x +1,x∈R},M={x|x≥1}, 则( (A)P=M ) (B)Q=S (C)S=T (D)Q=M

2

解析:集合 P 是用列举法表示,只含有一个元 素,集合 Q 是函数 y=x +1 的值域,Q={y|y≥1}, 集合 S 是函数 y=x +1 中 x 的取值范围 R,集合 M 是不等式的解集{x|x≥1},而集合 T 的元素是 平面上的点,此集合是函数 y=x +1 的图象上所 有的点组成的集合.故选 D.
2 2 2

【例 2】 (2012 衡水模拟)设全集 I=R,已知集合 M={x|(x+3) ≤0},N={x|x +x-6=0}. (1)求( IM)
2 2

? N;
I

(2)记集合 A=(

M)

? N,已知集合 B={x|a-1≤x

≤5-a,a ? R},若 B ? A=A,求实数 a 的取值范围.

解:(1)≧M={x|(x+3) ≤0}={-3}, N={x|x +x-6=0}={-3,2}, ? ?(
I 2

2

M={x|x ? R 且 x≠-3}, M)

I

? N={2}.

(2)A=( IM) ≧A ? B=A, ?B ? A, ?B= 当 B=

? N={2},

或 B={2}, 时,a-1>5-a,?a>3;

?a ? 1 ? 2, 当 B={2}时, ? 解得 a=3, ?5 ? a ? 2,
综上所述,所求 a 的取值范围为{a|a≥3}.

忽略元素的互异性致错 【典例】 (2012 石家庄模拟)已知集合 A={a,b,2},B={2,b ,2a},且 A ? B=A ? B,则
2

a=

.

正确解析:≧A ? B=A ? B,?A=B,

?a ? b 2 , ?b ? b 2 , 则应有 ? 或? ?b ? 2 a ?a ? 2a,

1 ? a? , ?a ? 0 ? ? 4 或 ?a ? 0, 解得 ? 或? ? ?b ? 0 ?b ? 1 ?b ? 1. ? 2 ?

又 a=0,b=0 时,不满足元素的互异性,故舍去,

1 所以 a 的值为 0 或 . 4 1 答案:0 或 4

在求解集合中的元素时,不要 忘记检验是否满足元素的互异性,或检验是 否满足题设条件.

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