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等比数列的前n项和知识点总结


等比数列的前 n 项和知识点总结
一.等比数列的前n项和公式 1.

?na1 ? q ? 1? ? Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q ? 1 n ? q ? 1? ? 1 ? q 1? q ?
注意: (1)公式的推导方法是错位相减法,即先求前n项和,然后把等式的两边同乘 以等比数列的公比,最后等式的左边减左边,右边第一个等式的第一项轮空,第二项减去第 二个等式的第一项,第一个等式的第三项减去第二个等式的第二项,依次减下去,第一个等 式中的最后一项减去第二个等式的倒数第二项,第二个等式的最后一项变成原来的相反数 (2)在求等比数列的前n项和时,一定要讨论公比q是否能为1 2.公式的变形

Sn =

a1 a1 n q (q ? 1) 1-q 1-q

3.等比数列的前 n 项和的性质:
* (1)若项数为 2n n ? ? ,则

?

?

S偶 S奇

?q.

(2) Sn? m

? Sn ? qn ? Sm .

(3) Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2 n 成等比数列(注:当q=-1时,n不能为偶数) 4.已知数列 ?an ? 的前n项和求通项公式 an 的方法

?a1 (n=1) an = ? ? Sn -Sn -1 (n>1)
二跟踪练习

1. 在公比为整数的等比数列 ?an ? 中,如果 a1 ? a4 ? 18, a2 ? a3 ? 12, 那么该数列的 前 8 项之和为 225 A.513 B.512 C.510 D. 8
2.已知数列的 S n ? n 2 ? n ? 1 ,则 a8 ? a9 ? a10 ? a11 ? a12 =__________

3.等比数列{an}中,已知对任意自然数 n,a1+a2+a3+…+an=2n-1,则
a12+a22+a32+…+an2 等于 A. (2 ? 1)
n 2

B. (2 ? 1)
n

1 3

C. 4 ? 1
n


D.

1 n (4 ? 1) 3
D. 2n+1-n

4.8.数列 1,1+2,1+2+22,…,1+2+22+…+2n 1,…的前 n 项和为 A. 2n-n-1 B. 2n+1-n-2 C. 2n

n ,则该数列的前 n 项的和为 2n 2?n 2?n 2?n 2?n A. 4 ? n B. C. 2 ? n D. 4 ? n ?1 n 2 2 2 2 3 9 6.已知等比数列 {an } 中, a3 = ,S3 ? , 求a1和q 2 2
5.已知数列 ?an ? 的通项公式为 a n ?

7.如果一个等比数列的前5项的和等于10,前10项的和等于50,求它的前15项的 和等于多少?

8.求和: 1+2 x+3x +…+ nx

2

n -1

9.已知 {an } 是等差数列,其前 n 项和为 Sn,已知 a3 ? 11 , S9 ? 153 , (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 an ? log2 bn ,证明 {bn } 是等比数列,并求其前 n 项和 Tn.



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