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1.7定积分的简单应用


一、复习
平面图形的面积: 1.平面图形的面积:
y

y = f ( x)

y

y = f2 ( x)

A A
o

y = f1 ( x )
b x

a
b

b x

o

a
b

A = ∫a f ( x )dx

A = ∫a [ f 2 ( x ) ? f1 ( x )]dx
b a

2.微积分基本定理 [其中 ?(x)=f(x)] 微积分基本定理: 其中F? 微积分基本定理



b

a

f (x)dx = F(x) | = F(b) ? F(a)

3.定积分 定积分



b

a

f (x)dx的几何意义 的几何意义:
b a

当 f(x)≥0 时,积分 ∫ f ( x )dx 在几何上表示由 y=f (x)、
b

y

x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。 f (x )d x =s ∫
y
a

y=f (x) O a y=f (x) bx

O

a

b
b a

x

当f(x)≤0时 积分 ∫ f (x)dx 在几何上表示 由y=f (x)、x=a、 x=b与 x 轴所围成的曲边梯形面积的负值

∫a

b

f (x )d x

=?S

巩固练习:较为复杂的积分求解: 积分求解: 积分求解 1 2 ?3 (1)? ( x+ ) dx; ? x ?
2

( 2 ) ∫1

2

x ? 2x ? 3 dx x
2

( 3) ∫

1

3x 3x

2
3

0

1+ x
2x

dx

( 4) ∫

π

2 0

sin xdx
x

2

( 5) ∫ e dx

1 2 0

( 6 ) ∫1 2
3

dx

分段函数定积分的求解:

( 3) 若f ( x ) =
1 ?1

{ x ( ?1 ≤ x?0)
2

x ( 0 ≤ x ≤ 1)

求∫ f ( x ) dx

1.7定积分的简单应用 定积分的简单应用
定积分在几何中的应用
几种典型的平面图形面积的计算: 几种典型的平面图形面积的计算:

类型1.求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a<b) 类型1.求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a<b) 1.求由一条曲线y=f(x)和直线 及x轴所围成平面图形的面积S 轴所围成平面图形的面积S

y

y = f (x)

y
x

y = f (x )

o

a

b

oa
(2)

c
(3)

b

x

(1)

(1) S = ∫ f ( x)dx
a

b

(2) S = ? ∫ f ( x)dx
a

b

(3) S =| ∫ f ( x)dx | + ∫ f ( x)dx = ? ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
a c a c

c

b

c

b

类型2 由两条曲线y=f(x)和y=g(x), 类型2:由两条曲线y=f(x)和y=g(x),直线 y=f(x) x=a,x=b(a<b)所围成平面图形的面积S x=a,x=b(a<b)所围成平面图形的面积S 所围成平面图形的面积
y = f (x )
y = g (x )

y

y = f (x )

o

a
y = g (x )

b x
(2)

(1)

总结: x∈[a, f(x)>g(x)时, 当 b]有 由直线 x=a, x=b(a≠b) 和曲线 y=f(x),y=g(x)围成的平面图形的面积 S=

? f ( x ) ? g ( x ) ?dx ?. ∫a ?
b

两曲线围成的平面图形的面积的计算

例1. 计 由 条 物 y 算 两 抛 线

2

积. = x和y = x 围成图形的面积.
2
y

的图象如图所示: 解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示: 作出y
?y = x ?x = 0 ?x = 1 ? ?? 解方程组? 或? 2 ?y = x ?y = 0 ?y =1 ?

y
C o

y 2 = xx B =

y = x2

即两曲线的交点为(0,0),(1,1) 即两曲线的交点为(0,0),(1,1)

S = S曲边梯形OABC - S曲边梯形OABD
=∫
1 0

D O

x y = x2 A

xdx ? ∫ x 2 dx
0

1

2 3 x3 1 1 S = ( x - x )dx = ( x 2 ? ) |0 = . 0 3 3 3



1

2

求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: 求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: (1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (1)作出示意图;(弄清相对位置关系) 作出示意图;(弄清相对位置关系 (2)求交点坐标;(确定积分的上限 下限) (2)求交点坐标;(确定积分的上限,下限) 求交点坐标;(确定积分的上限, (3)确定积分变量及被积函数; (3)确定积分变量及被积函数; 确定积分变量及被积函数 (4)列式求解. (4)列式求解. 列式求解

例 2. 计算由曲线 y = 2x , 直线 y = x ? 4以及 x 轴所围 成的图形的面积. 成的图形的面积

作出y=x-4, y = 2x 的图象 解:作出 作出 如图所示: 如图所示 ? y = 2x ? x=8 解方程组 ? 得 :{y=4 , ?y = x ? 4 ? 直线y=x-4与x轴交点为 与 轴交点为 轴交点为(4,0) 直线
S = S1 + S2 = ∫ = (∫
4 0 4 0 8 8 8

y = 2x

S2

S1

y = x ?4

2 xdx + [ ∫

4 8

2 xdx ? ∫ ( x ? 4)dx]
4
8 0

2 xdx + ∫
3 2 8 0

4

2 xdx) ? ∫ ( x ? 4)dx = ∫
4

2 xdx ? ∫ ( x ? 4)dx
4

8

2 2 1 2 40 8 = x | ?( x ? 4 x) |4 = 3 2 3

1 s = ∫ 2 xdx ? × 4 × (8 ? 4) 0 2 3 2 2 2 8 = x |0 ?8 3 2 2 40 = ×16 2 ? 8 = 3 3
8

1 2 s = ∫ [(4 + y ) ? y ]dy 0 2
4

1 2 1 3 4 = (4y + y ? y )|0 2 6
1 2 1 3 40 = 4× 4 + × 4 ? × 4 = 2 6 3

练习 1: 计算由曲线 y 2 = 2 x 和直线 y = x ? 4所 围成的图形的面积. 围成的图形的面积

求两曲线的交点: 解1 求两曲线的交点

y = 2x
S1 S1 2

y = x?4
8
y2 = 2 x

? y = 2x ? ? ( 2,?2), (8,4). ?y = x?4
2

S2

S = 2 S1 + S 2 = 2 ∫
2 0

2

0

2 xdx + ∫ ( 2 x ? x + 4)dx
2

8

= ∫ 2 2 xdx + ∫ ( 2 x ? x + 4)dx
2

8

4 2 3 2 2 2 3 1 2 16 64 26 8 2 2 = x |0 +( x ? x + 4 x) |2 = + ? = 18 3 3 2 3 3 3

练习 2: 计算由曲线 y = x ? 6 x 和 y = x 所围
3 2

成的图形的面积. 成的图形的面积

解: 求两曲线的交点 求两曲线的交点:

? y = x ? 6x ? (0,0),(?2,4),(3,9). ? 2 ?y = x
3

y = x2

A1 = ∫

0

?2

(x ? 6 x ? x )dx
3 2

y = x3 ? 6x

A2 = ∫ ( x ? x + 6 x)dx
2 3 0

3

于是所求面积
0 3

A = A1 + A2
2 3

A = ∫? 2 ( x ? 6 x ? x )dx+ ∫0 ( x 2 ? x 3 + 6 x )dx
253 = . 12
说明: 说明: 注意各积分区间上被积函数的形式. 注意各积分区间上被积函数的形式.
A1

y = x2

A2
y = x3 ? 6x

定积分在物理中的应用

1、变速直线运动的路程 、 设做变速直线运动的物体运动的速度v=v(t) , 设做变速直线运动的物体运动的速度v=v(t)≥0, v=v(t) 则此物体在时间区间[a, b]内运动的距离 内运动的距离s 则此物体在时间区间[a, b]内运动的距离s为

s = ∫ v(t)dt
a

b

v

v = v (t )

O

a

t
b

v /m/s

例: 一辆汽车的速 度 时间曲线如图 1.7 ? 3所示求汽车在 . 这 1min 行驶的路程.

30

A

B

20
10

o

C t/s
10

20 30

40 50

60

图1.7 ? 3

解 由速度 时间曲线可知 : 3t , 0 ≤ t ≤ 10; 10 ≤ t ≤ 40; v(t ) = 30, ? 1.5t + 90, 40 ≤ t ≤ 60. 因此汽车在这1min 行驶的路 程是 :
10 40 60 0 10 40

v / m/ s
30

A

B

20
10

o

C t/s
10 20 30
40 50 60

图1.7 ? 3

S = ∫ 3tdt + ∫ 30dt + ∫ (? 1.5t + 90 )dt

3 2 40 ? 3 2 ? = t + 30t 10 + ? ? t + 90t ? = 1350(m). 2 0 ? 4 ? 40
答 汽车在这1min 行驶的路程是1350m.

10

60

? 法二:由定积分的几何意义,直观的可以得出路程 即为如图所示的梯形的面积,即

( 30 + 60) ×30 = 1350 s=
2

2. 变力做功
一物体在恒力F (单位 : N)的作用下做直线运动, 如 果物体沿着与力F 相同的方向移动了s (单位 : m), 则力F所作的功为W = Fs.
变力所做的功: 变力所做的功:

物体在变力F(x)的作用下做直线运动,并 物体在变力F(x 的作用下做直线运动, F( 且物体沿着与F( F(x 相同的方向从x=a x=a移动到 且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到 x=b(a<b),那么变力F( ),那么变力F(x x=b(a<b),那么变力F(x)所作的功

W = ∫ F(x)dx
a

b

F

y == F ( x )

x
O

a

b

例1 :如图 ? 4, 在弹性限 1.7 度内, 将一弹簧从平衡位置 拉到离平衡位置l m处, 求弹 力所作的功 . 解 在弹性限度内,拉伸(或 压缩) 弹簧所需的力F(x ) 与 弹簧拉伸 (或压缩) 的长度 x 成正比, 即F(x ) = kx, 其中常 数k是比例系数.
l

Q

l
图 1 .7 ? 4

F

1 2 1 2 由变力作功公式, 得W = ∫ kxdx = kx = kl ( J ). 0 2 2 0 1 2 答 克服弹力所作的功为 kl J . 2

l

例2:一个带+q电量的点电荷放在r轴上坐标原点 一个带+q电量的点电荷放在 电量的点电荷放在r 处,形成一个电场,已知该电场中,距离坐标原 形成一个电场,已知该电场中,

q 点为r处的单位电荷受到的电场力由公式: 点为r处的单位电荷受到的电场力由公式:F = k 2 r
确定,在该电场中, 确定,在该电场中,一个单位正电荷在电场力作 用下,沿着r轴方向从r=a到r=b(a<b),求电场 ),求电场 用下,沿着r轴方向从r=a到r=b(a<b), 力对它所作的功。 力对它所作的功。

解:
由题意,所求功为 由题意 所求功为

+q

? o

?? ? a ?r ?
b

+1

? ?? ?

b

r

w=∫

b

a

? kq = kq ? ? 1 ? = kq? 1 ? 1 ?. ? dr ? r ?a 2 ? a b? ? ? r

练习: 练习: 1.如果 1N 力能拉长弹簧 1cm,为了将弹簧拉长 6cm, , , 克服弹力所作的功为( 克服弹力所作的功为( A ) (A)0.18J (B)0.26J (B)0.26J (C)0.12J (D)0.28J (A)0.18J (C)0.12J (D)0.28J (0 ≤ x ≤ 2) ?10 单位: 2. 一物体在力 F ( x ) = ? ( 单位 :N) ? 3 x + 4 ( x > 2) 的作用下, 相同的方向, 的作用下,沿着与力 F 相同的方向,从 x=0 处运动到 x=4 处(单位:m),则力 F(x)所作的功为(B )J 单位: ),则力 所作的功为( (A)44 (A)44 (B)46 (B)46 (C)48 (D)50 (C)48 (D)50 2 作直线运动, 3. 一物体以速度 v ( t ) = 2t (m/s)作直线运动,媒质的 阻力 F(N)与速度 v(m/s)的关系为 F = 0.7v 2 ,试求在 这段时间内阻力做的功. 时刻 t = 0 (s)到 t = 2 (s)这段时间内阻力做的功. 102.4J

3.一物体以速度 v ( t ) = 2t 2 (m/s) 作直线运动, 媒质的 一物体以速度 / ) 作直线运动 , 阻力 F(N)与速度 v(m/s)的关系为 F = 0.7v 2 ,试求在 ( ) ( / ) 时刻 t = 0 (s)到 t = 2 (s)这段时间内阻力做的功. ) )这段时间内阻力做的功.

解:媒质的阻力为 F = 0.7v = 2.8t 取一小段时间 [ t , t +△t ]
2

4

这一小段时间内阻力做的功为 △W = Fv△t (s)到 (s)这段时间内阻力做的 ∴ 在时刻 t = 0 (s) 到 t = 2 (s) 这段时间内阻力做的 功为 W = ∫ Fvdt = ∫ 5.6t 6 dt =102.4J
0 0 2 2

(s)到 (s)这段时间内阻力做 答 : 在时刻 t = 0 (s) 到 t = 2 (s) 这段时间内阻力做 的功为 102.4J



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