tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

导数的概念及其计算


第十三章
§13.1
1.导数的概念及意义

导 数
自主学习

导数的概念及其运算

基础知识

(1)导数的定义:设函数 y=f (x)在 x=x0 处附近有定 义, 当自变量在 x=x0 处有增量Δ x 时, 则函数 y=f (x)

) Δ x

→0 0 相应地有增量Δ y= f(x0+Δ x)-f(x. 如果 Δy 时,Δ y 与Δ x 的比 (也叫函数的平均变化率)有 Δx Δy 极限(即 无限趋近于某个常数),我们就把这个极 Δx 限值叫做函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,记作
y′ | x ? x0 , 即 f ′(x0)=
?x ?0

lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) . ?x

(2)导数的几何意义:函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0),就是曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线的 斜率 . (3)导数的物理意义:函数 s=s(t)在点 t0 处的导数 s′(t0),就是物体的运动方程为 s=s(t)在时刻 t0 时的 瞬时 速度 v.即 v=s′(t0).

2.导函数 如果函数 y=f(x)在开区间(a,b)内每一点处都有导数, 此时对于每一个 x∈(a,b) ,都对应着一个确定的导数 f ′(x),从而构成了一个新的函数 f ′(x).称这个函数? f ′(x)为函数 y=f (x)在开区间内的 导函数 , 简称导数, ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) . 也可记作 y′ , 即? f ′(x)?=y′= lim ? lim
?x ?0

?x

?x ?0

?x

3.求导数的方法 (1)常用的导数公式 C′= 0 (C 为常数); (2)导数的运算法则 [f(x)± g(x)]′=f ′(x)±g′(x); [c·f ′(x)]′=cf ′(x)(c 为常数).
n -1 (xn)′= mx (n∈ N* );

[难点正本

疑点清源]

1.深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导 数”的区别与联系 (1)函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)是一个常数; (2)函数 y=f(x)的导函数,是针对某一区间内任意点 x 而 言的.如果函数 y=f(x)在区间(a,b)内每一点 x 都可导, 是指对于区间(a,b)内的每一个确定的值 x0 都对应着一 个确定的导数 f′(x0). 这样就在开区间(a, b)内构成了一 个新函数,就是函数 f(x)的导函数 f′(x).在不产生混淆 的情况下,导函数也简称导数.

2.曲线 y=f(x)“在点 P(x0,y0)处的切线”与“过点 P(x0,y0)的切线”的区别与联系 (1)曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线是指 P 为切点, 切线斜率为 k=f′(x0)的切线,是唯一的一条切线. (2)曲线 y=f(x)过点 P(x0,y0)的切线,是指切线经过 P 点.点 P 可以是切点,也可以不是切点,而且这样的 直线可能有多条.

基础自测 1. 已知函数 f ( x) =13-8 x+ 2 x , 且 f ' ( x0 ) =
2

3 2 4,则 x0 的值为________.
解析

f ' ( x) =-8+2 2x,

f ' ( x0 ) =-8+2 2 x0 =4,∴ x0 =3 2.

2 .曲线 y = 2 x 2 在点( -1,2) 处的切线方程为 ____________ 4x+y+2=0 .
解析 ∵ y =2 x ,∴ y ′=4 x ,
2

y ′|x=-1=-4.
故在点(-1,2)处的切线方程为 y -2= -4( x +1), 化简得 4 x + y +2=0.
3.已知 f ( x) = x +3 x f ' (2),则 f ' (2)=________. -2
2

解析 由题意得 f ' ( x )=2 x +3 f ' (2), ∴ f (2)=2×2+3 f (2),∴ f (2)=-2.
' ' '

1 1 4.已知曲线 y=8x2 的一条切线的斜率为2,则切点的横坐 标为( C ) A.4 B.3 C.2 1 D. 2

1 2 1 1 解析 y=8x ,得 y′=4x=2,∴x=2.

5.若函数 f (x)= a x 4+b x 2+c 满足 f ′(1)=2 则

f ′(-1)等于
A.-1 B.-2 C.2 D.0
解析 由题意知 f ′( x )=4 a x 3+2b x ,

( B

)

∴ f ′( x )为奇函数.若 f ′(1)=2,即 f ′(1) =4 a +2b=2,∴ f ′(-1)=- f ′(1) =-4 a -2b=-2

点评 注意到 f ( x )的导函数是一个奇函数.

f ′(-1)=- f ′(1).

题型分类
题型一 例1

深度剖析

利用导数的定义求函数的导数

利用导数的定义求函数 y=2x(x2-4)的导数.

Δy f(x+Δx)-f(x) 思维启迪:紧扣定义Δx= 进行求解. Δx
解 y=2x(x2-4)=2x3-8x. 则 Δy=[2(x+Δx)3-8(x+Δx)]-(2x3-8x) =(6x2-8)Δx+6x(Δx)2+2(Δx)3 Δy ∴Δx=(6x2-8)+6x·Δx+2(Δx)2 2 2 2 ? y? ? lim [(6x -8)+6x·Δx+2(Δx) ]=6x -8.
?x ?0

探究提高 由导数的定义可知,求函数 y=f(x)的导数的 一般方法是: (1)求函数的改变量 Δy=f(x+Δx)-f(x); Δy f(x+Δx)-f(x) (2)求平均变化率Δx= ; Δx Δy ? y ? (3)取极限,得导数 lim Δx.
?x?0

变式训练 1 过曲线 y= f (x)= x3 上两点 P(1,1)和 Q(1+ Δ x,1+Δ y)作曲线的割线, 求出当 Δ x= 0.1 时割线的 斜率,并求曲线在点 P 处切线的斜率.
解 ∵Δ y =f(1+ ?x )-f(1)=(1+ ?x )3-1=3 ?x +3( ?x )2

3?x ? 3?x 2 ? ?x3 ?y 3 +( ?x ) ,∴割线 PQ 的斜率为 = ?x

?x

=3+3 ?x +( ?x )2.∴当 ?x =0.1 时, 割线 PQ 的斜率为

3+3×0.1+(0.1)2=3.31,曲线在点 P(1,1)处切线的斜率为

?y = ?x

lim ?y = lim
?x ?0

?x

?x ?0

[3+3 ?x +( ?x )2]=3.

题型二 例2

求函数的导数

求下列函数的导数.

(1)y=(2x3-1)(3x2+x); (2)y=3(2x+1)2-4x.
思维启迪:解析式无法直接用公式求导数,展开再求 导数.
解 (1)∵y=6x5+2x4-3x2-x, ∴y′=(6x5+2x4-3x2-x)′=30x4+8x3-6x-1. (2)∵y=3(4x2+4x+1)-4x=12x2+8x+3, ∴y′=(12x2+8x+3)′=24x+8.
探究提高在求导过程中,要注意符号的变化.

变式训练 2

求下列函数的导数.

(1)y=x2(x+1)(x+2). (2)y=(x+1)(x+2)(x+3).
解 (1)∵y=x2(x2+3x+2)=x4+3x3+2x2, ∴y′=4x3+9x2+4x. (2)∵y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6, ∴y′=3x2+12x+11.

题型三 例3

导数的几何意义

已知抛物线 y=ax2+bx+c 过点 P(1,1),且在点

Q(2,-1)处与直线 y=x-3 相切,求实数 a、b、c 的值.
思维启迪:函数 y=ax2+bx+c 在点 Q(2,-1)处的导数 值等于切线斜率为 1,且点 Q(2,-1)、点 P(1,1)都在抛 物线上.

解 ∵y′=2ax+b, ∴抛物线在 Q(2,-1)处的切线斜率为 k=y′|x=2= 4a+b. ∴4a+b=1.① 又∵P(1,1)、Q(2,-1)在抛物线上, ∴a+b+c=1,② 4a+2b+c=-1.③ ?a=3, ? 联立①②③解方程组,得?b=-11, ?c=9. ? ∴实数 a、b、c 的值分别为 3、-11、9.

探究提高 利用导数求切线斜率是行之有效的方法,它 适用于任何可导函数,解题时要充分运用这一条件,才 能使问题迎刃而解.解答本题常见的失误是不注意运用 点 Q(2,-1)在曲线上这一关键的隐含条件.

变式训练 3 求曲线 f(x)=x3-3x2+2x 过原点的切线 方程. 解 f′(x)=3x2-6x+2.设切线的斜率为 k. (1)当切点是原点时 k=f′(0)=2, 所以所求曲线的切线方程为 y=2x. (2)当切点不是原点时,设切点是(x0,y0), 2 则有 y0=x3 0-3x0+2x0, k=f′(x0)=3x2 0-6x0+2,① y0 2 又 k=x =x0-3x0+2,② 0 3 y0 1 由①②得 x0=2,k=x =-4. 0 1 ∴所求曲线的切线方程为 y=-4x.
1 综上,所求曲线的切线方程为 y=2x 或 y=- x. 4

点评 “过某点”与“在某点处”的切线是不同的,过 某点的切线,此点并不一定是切点,在某点处的切线才 表明此点是切点.

易错警示 18. 分不清“曲线在点 P 处的切线”与“曲线过点 P 的 切线”的区别致误 1 3 4 试题:(12 分)已知曲线 y= x + . 3 3 (1)求曲线在(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点(2,4)的切线方程.
审题视角 (1)曲线在(2,4)处的切线,即切点为(2,4); (2)曲线过点(2,4)的切线,(2,4)不一定是切点,所以要 先设切点.

规范解答
? 31? 31 解 (1)当 x=3 时,y= 3 ,即点 P?3, 3 ?, ? ? ∵y′=x2, ? 31? ∴在点 P?3, 3 ?处的切线的斜率 k=y′|x=3=9.[2 分] ? ? ? 31? 31 ? ? ∴曲线在点 P 3, 3 处的切线方程为 y- 3 =9(x-3), ? ? 即 27x-3y-50=0. [4 分] 1 3 4 (2) 设曲线 y = 3 x + 3 与过点 P(2,4) 的切线相切于点 ? 1 3 4? A?x0,3x0+3?, [6 分] ? ? 则切线的斜率 k ? y? |x? x =x2 0. ?1 3 4? ∴切线方程为 y-?3x0+3?=x2 0(x-x0), ? ?
0



2 3 4 2 y=x0x- x0+ . 3 3 2 3 4 2 P(2,4)在切线上,∴4=2x0- x0+ ,

[8 分]

∵点

[10 分] 3 3 3 3 2 2 即 x0 -3x2 + 4 = 0 , ∴ x + x - 4 x 0 0 0 0+4=0, 2 ∴x0 (x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0, ∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得 x0=-1 或 x0=2, 故所求的切线方程为 x-y+2=0 或 4x-y-4=0.[12 分]

批阅笔记 (1)解决此类问题一定要分清“在某点处的 切线”,还是“过某点的切线”的问法. (2)解决“过某点的切线”问题, 一般是设出切点坐标为 P(x0,y0),然后求其切线斜率 k=f′(x0),写出其切线方 程.而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点. (3)易错点是:在第(2)问中,多数学生误以为点(2,4)就是 切点,从而导致错误. (4)错因分析:一般情况下,受思维定势的影响,有些人 认为直线与曲线相切时,有且只有一个公共点,这是错 误的.依据切线斜率的导数定义可知,切线可以和曲线 有除切点外的其他公共点.

思想方法
方法与技巧

感悟提高

1.在对导数的概念进行理解时,特别要注意 f′(x0)与 (f(x0))′是不一样的,f′(x0)代表函数 f(x)在 x=x0 处 的导数值,不一定为 0;而(f(x0))′是函数值 f(x0)的 导数,而函数值 f(x0)是一个常量,其导数一定为 0, 即(f(x0))′=0. 2.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原 则.求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要 特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简 时,首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运 算失误.

失误与防范 1.利用导数定义求导数时,要注意到 x 与 Δx 的区别, 这里的 x 是常量,Δx 是变量. 2.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号, 防止与乘法公式混淆. 3.求曲线切线时,要分清点 P 处的切线与过 P 点的切 线的区别,前者只有一条,而后者包括了前者. 4.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个,这 和研究直线与二次曲线相切时有差别.

返回


推荐相关:

精品 导数的概念及运算

导数的概念及运算 一、重点难点分析: 重点难点分析: 1.导数的定义、意义与性质...一点处的微分是函数增量的线性近似值Δy≈dy,这 是微分的应用—用于近似计算...


导数的概念及运算

导数的概念及运算_高二数学_数学_高中教育_教育专区。导数的概念及运算 适用学科...《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷级数》,流数理论的实质概括为:...


导数的概念及运算(教案)

Δx (3)计算导数 f′(x)= lim | →Δx 0 利用导数的定义,求: (1)f(x)= (2)f(x)= 1 |在 x=1 处的导数; x 1 |的导数. x+2 解== 1 ...


导数的概念及计算

导数的概念及计算_数学_自然科学_专业资料。课题:导数、导数的计算【考纲要求】 1.了解导数概念的实际背景. 2.理解导数的几何意义. 1 2 3 3.能根据导数定义,...


导数的概念及运算(基础+复习+习题+练习)

导数的概念及运算(基础+复习+习题+练习)_数学_高中教育_教育专区。课题:导数的...x ?1 题型二 导数的计算 问题 3.求下列函数的导数: ?1? y ? e ? ln ...


导数的概念及运算

针对高三学生,包含答案,高中数学,高三总复习,导数的概念及运算,数学讲义。针对高三...计算 lim ?y 探究 2 题型 1:求导运算 例 4.求下列函数的导数: (1) y ...


导数的概念及其运算

第1讲 1.设 y=-2exsinx,则 y′等于 A.-2excosx C.2exsinx 答案:D 第四章 导数 导数的概念及其运算 随堂演练巩固 B.-2exsinx D.-2ex(sinx+cosx) ...


导数的概念及运算练习题

导​数​的​概​念​及​运​​练​习​题导数的概念及运算练习题 1.(文)(2011· 龙岩质检)f ′(x)是 f(x)=x3+2x+1 的导函数,...


导数的定义与计算

导数的定义与计算_理学_高等教育_教育专区。导数的定义与计算各位同学: 第二章的学习,已经进入尾声。我们在学习了数列的极限,函数的极限,函数的连续性后, 现在...


导数的概念、导数公式与应用

2.如何求函数在一点处的导数 (1)利用导数定义求函数在一点处的导数,通常用“三步法” 。 ①计算函数的增量: ; ②求平均变化率: ; ③取极限得导数: (2)...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com