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导数中恒成立题型


ZHUANTI YANJIU

专 题 研 究

101

“lnx” — —分离 导数中 恒成立 题 型 — 法 的研究
◎宁桂华 ( 辽宁省本溪市机电工程学校 117000 ) 总结: 此题两个( * ) 式 很 重要, 第一个 ( * ) 式 体 现分 “lnx” “先恒再不定” 思想, 第二个( * )

式体现了 思想. 离 1 +x 1 ) 恒有 f( x) < - lnx 对?x∈( 0 , 例 3 f( x) = a( 1 - x ) 2, 求 a 的范围. ( 东三省 2012 年一模) 解 ( 一) 分离 lnx ( Ⅰ) 如 a < 0 , 舍. 1 +x 1 ) 上恒成立, ( Ⅱ) 如 a > 0 , lnx < - 2 在( 0 , a( 1 - x ) 2 a( 1 - x) < 0 恒成立. ( * ) 即 lnx + 1 +x 2 a( 1 - x) , 设 h( x) = lnx + 发 现 h( 1 ) = 0 . 1 +x ( 二 ) 欲 证 h( x) < 0 , 即 证 h( x) < h( 1 ) ( * ) 1 ) 上为增函数成立, ① 如 h( x) 在 ( 0 , x2 + ( 2 - 4 a ) x + 1 ∴ h' ( x) = ≥0 , x( 1 + x) 2 1 ∴ 2 - 4 a≥ - x + , ∴ 0 < a≤1 . x x = 2a - 1 > 1, ②如 a > 1 , 1) , h' ( 1 ) < 0 。设 x0 ∈( 0 , 1 ) ( 舍) , h' ( x) < 0 , ∴ h( x) > h( 1 ) = 0 . x ∈ ( x0 , 0 < a≤1 . 综上, 总结: 2012 年东三省一模的这道压轴题 得分率 很 低, 究 其原因是学生 对这种 题型 的 两 个 主 要 规律 未 挖掘 清, 教师 【摘要】 ” “e x ” 近年高 考 导 数 题 中 频繁 出现 含“lnx 的式 如何处理这类函数的恒成 立 问题, 笔者 认 为 解决 这一类 子, 型题规律性很强, 常见的方法 有: ( 1 ) 可以 将 lnx 分 离 出 来. ( 2 ) 可利用先恒再 不定, 求 出 参 数 范 围. 下 面 举 几个 规 律 性 特别强的此类题共同研究如下: 【关键词】 “lnx” 导数; 分离 例1 f( x) > f ( x) = lnx 1 + , 证 明: 当 x > 0 且 x ≠ 1 时, x x +1

lnx . x -1 证 分离 lnx 是关键. 2 ( Ⅰ) x > 1 , 即证 x( x - 1 ) lnx + x - 1 > x( x + 1 ) lnx. 1 < 0( * ) , 即证 2lnx - x + 此步最关键. x 1 设 h( x) = 2lnx - x + , x - ( x - 1) 2 h' ( x) = < 0. x2 ∴ h( x) 在 ( 1 , + ∞ ) 为减函数. ∴ h( x) < h( 1 ) = 0 . ( Ⅱ) 0 < x < 1 时类( Ⅰ) 做法. 总结: 本题是高考真题的第 ( 2 ) 问, 其中( * ) 一步最关 这样处理后构建 的 函 数 h ( x ) 易 于 求导证 明 单 调 性. 下 键, 面再举几例此类题供大家参考. 2 f ( x ) ≤0 恒 成 例 2 f( x) = xlnx + m ( x - 2 ) , 若 x ≥1 , 求 m 的范围. 立, “lnx” 解 ( 一) 分离 f( x) ≤0 恒成立, 要证 x≥1 , xlnx + m( x2 - 1 ) ≤0 , 即证 x≥1 时, 1 lnx + m x - (* ) 即证 x≥1 时, ≤0 , x 1 , 不妨设 h( x) = lnx + m x - x 发 现 h( 1 ) = 0 . ( 二) 即证 x≥1 时, h( x) ≤ h( 1 ) ( * ) 1, + ∞ ) 上 h( x) 为减函数满足题意, ( Ⅰ) 在[ mx2 + x + m 则 h' ( x) = ≤0 恒成立. x2 -x 1 ∴ m≤ 2 . ∴ m≤ - . 2 x +1 1 ( Ⅱ) 当 m > - 时, 2 h' ( x) > 0 , ①当 m≥0 时, ∴ h( x) 在[ 1, + ∞ ) 上为增函数, ∴ h( x) ≥ h( 1 ) = 0 ( 舍 ) . 1 1 < m < 0, x= - > 1, h' ( 1 ) > 0 . ②当 - 2 2m 1, +∞) , 1 < x < x0 , h' ( x) > 0 . 设 x0 ∈[ 1, x0 ) 为增函数, ∴ h( x) > h( 1 ) = 0 ( 舍 ) . ∴ h( x) 在[ 1 ∴ m≤ - . 综上, 2

(

)

(

(

)

)

在讲解这类问题时应使学生在 多种 方 法 中 找 出 最 具 规律性 以便学生更易接受、 延展. 下面再举一例. 的方法, ( x + 1 ) ln( x - 1 ) ≥ax 恒成立, 例 4 当 x≥0 时, 求a的 范围. ax “lnx” 解 分离 得: ln( x + 1 ) - ≥0 恒成立. x +1 ax , 设 ψ( x) = ln( x + 1 ) - 不 难 发 现 ψ( 0 ) = 0 . x +1 ( Ⅰ) 如 ψ( x) 在[ 0, + ∞ ) 上为增函数成立( * ) x +1 - a 0, + ∞ ) 上恒成立, ∴ a≤1 . ψ' ( x ) = ≥0 在[ ( x + 1) 2 x - ( a - 1) ( Ⅱ) a > 1 时, , ψ' ( x ) = ( x + 1) 2 0 < x < a - 1, ∴ ψ( x ) < ψ( 0 ) = 0 ( 舍 ) . ψ' ( x ) < 0 , a≤1 . 综上, 导数和解析几何往往是高 考 压 轴 题, 难 度 自 不 用说, 导 数题比照解析 题 更 难 解 决 的 原 因 是 规律性 并不是 很 强, 学 , 知识零散 这 就要 求 教 师 与学生发 现 生感觉学起来很吃力, “lnx ” “先 恒 再 不 规律性很强 的 题 及解 决 方 法, 本文分离 及 是解决此类恒成立问题非常有 效 的 方 法, 希 望 本 文 对导 定” 数教学及学习有一定启发. 其 实 规律 本 来 都 存 在, 可能更多 时候需要的是发现规律的人, 在今 后 的教学中 必须多 总 结, 多发现, 多汲取别 人的 好 方 法, 相 信 难 题 会 迎刃 而 解, 真正 “大题小做 ” “难题巧做” . 做到

数学学习与研究 2012. 19


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