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2013备考各地试题解析分类汇编(二)文科数学:7立体几何2


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各地解析分类汇编(二)系列:立体几何 1

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1. 【山东省潍坊一中 2013 届高三 12 月月考测试数学文】 已知直线 a 和平面 a , b , a ? b 且 a 在 a , b 内的射影分别为直线 b 和 c ,则 b 和 c 的位置关系是 A.相交

或平行 【答案】D B.相交或异面 C.平行或异面 D.相交、平行或异面

l , a 怂a , a

b,

【解析】由题意,若 a / / l ,则利用线面平行的判定,可知 a / /? , a / / ? ,从而 a 在 a , b 内的射影直线 b 和

c 平行;若 a ? l ? A ,则 a 在 a , b 内的射影直线 b 和 c 相交于点 A;若 a ? ? ? B , a ? ? ? B ,且直线 a
和 l 垂直,则 a 在 a , b 内的射影直线 b 和 c 相交;否则直线 b 和 c 异面综上所述, b 和 c 的位置关系是相交 ﹑平行或异 面,选 D. 2.【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(四)文】球内接正方体的表面积与球的表面积的比为 A. 6 : ? 【答案】D 【解析】设正方体边长为 1,则外接球半径为 面积之比为 6 : 3? ? 2 : ? ,选 D . 3.【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(四)文】已知一几何体的三视图如图 3,主视图和左视 图都是矩形,俯视图为正方形,在该几何体上任意选择 4 个顶点,以这 4 个点为顶点的几何形体可能是
3 ,由正方体的表面积为 6,球的表面积为 3 π ,它们的表 2

B. 4 : ?

C. 3 : ?

D. 2 : ?

①矩形; ②有三个面为直角三角形, 有一个面为等腰三角形的四面体; ③每个面都是直角三角形的四面体. A.①② 【答案】B 【解析】以长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 为几何体的直观图. 当选择的四个点为 B1、B、C、C1 时,可知①正确; 当选择 B、A、B1、C 时,可知②正确;当选择 A、B、D、D1 时,可知③正确.选 B. 4.【云南省昆明一中 2013 届高三第二次高 中新课程双基检测数学文】一条长为 2 的线段,它的三个视图
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B.①②③

C.①③

D.②③

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分别是长为 3, a, b 的三条线段,则 ab 的最大值为 A. 5 【答案】C 【解析】构造一个长方体,让长为 2 的线段为体对角线,由题意知 a ? y ? 1, b ? x ? 1, x ? y ? 3 ,
2 2 2 2 2 2

B. 6

C.

5 2

D. 3

即 a ? b ? x ? y ? 2 ? 3 ? 2 ? 5 ,又 5 ? a ? b ? 2ab ,所以 ab ?
2 2 2 2

2

2

5 ,当且仅当 a ? b 时取等号,所 2

以选 C.

5.【山东省潍坊一中 2013 届高三 12 月月考测试数学文】四棱锥 P - ABCD 的三视图如右图所示,四棱锥

P - ABCD 的五个顶点都在一个球面上,E、F 分别是棱 AB、CD 的中点,直线 EF 被球面所截得的线段长

为 2 2 ,则该球表面积为 A. 12p 【答案】A 【解析】将三视图还原为直观图如右图,可得四棱锥 P-ABCD 的五个顶点位于同一个正方体的顶点处, 且与该正方体内接于同一个球.且该正方体的棱长为 a .设外接球的球心为 O,则 O 也是正方体的中心,设 EF 中点为 G,连接 OG,OA,AG.根据题意,直线 EF 被球面所截得的线段长为 2 2 ,即正方体面对角线长 也是 2 2 ,可得 AG ? B.24 p C. 36p D. 48p

2?

2 a ,所以正方体棱长 a ? 2 ,在直角三角形 OGA 中, 2

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1 OG ? a ? 1 , AO ? 3 ,即外接球半径 R ? 3 ,得外接球表面积为 4? R2 ? 12? ,选 A. 2

6. 【山东省师大附中 2013 届高三第四次模拟测试 1 月数学文】已知两条直线 a , b 与两个平面 ? 、

?,b ? ? ,则下列命题中正确的是
①若 a // ? ,则 a ? b ;②若 a ? b ,则 a//? ; ③若 b ? ? ,则 ? // ? ;④若 ? ? ? ,则 b // ? . A.①③ 【答案】A 【解析】根据线面垂直的性质可知①正确。②中,当 a ? b 时,也有可能为 a ? ? ,所以②错误。③垂直 于同一直线的两个平面平行,所以正确。④中的结论也有可能为 b ? ? ,所以错误,所以命题正确的有① ③,选 A. 7.【山东省师大附中 2013 届高三第四次模拟测试 1 月数学文】若一个底面为正三角形的几何体的三视图 如右图所示,则这个几何体的体积为 B.②④ C.①④ D.②③

A. 12 3 【答案】B

B. 36 3

C. 27 3

D. 6

【解析】由三视图可知该几何体为正三棱柱,棱柱的高为 4,底面正三角形的高为 3 3 ,所以底面边长为

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6,所以几何体的体积为

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1 2 3 ?6 ? ? 4 ? 36 3 ,选 B. 2 2

8.【山东省青岛一中 2013 届高三 1 月调研考试数学文】已知某几何体的侧视图与其正视图相同,相关的 尺寸如下图所示,则这个几何体的体积是( )

A. 8? 【答案】D

B. 7?

C. 2?

`D.

7? 4

【解析】由三视图可知,该几何体是一个半径分别为 2 和

3 的同心圆柱,大圆柱内挖掉了小圆柱。两个圆 2 3 2 7? 柱的高均为 1.所以几何体的体积为 4? ?1 ? ? ( ) ?1 ? ,选 D. 2 4

9.【云南省昆明三中 2013 届高三高考适应性月考(三)文】如图 2,正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的主视图(又 称正视图)是边长为4的正方形,则此正三棱柱的侧视图(又称左视图)的面积为 (
C1 2 A1 C A B 图2 主视图 B1 4 2

)

A. 8 3 【答案】A

B. 4 3

C. 2 3

D.16

【解析】由主视图可知,三棱柱的高为 4,底面边长为 4,所以底面正三角形的高为 2 3 ,所以侧视图的 面积为 4 ? 2 3 ? 8 3 ,选 A. 10.【云南省昆明三中 2013 届高三高考适应性月考(三)文】若 ? , ? 是两个不同的平面,下列四个条件: ①存在一条直线 a , a ? ? , a ? ? ;②存在一个平面 ? , ? ? ? , ? ? ? ;③存在两条平行直线

a, b , a ? ? , b ? ? , a ∥ ? , b ∥ ? ;④存在两条异面直线 a , b , a ? ? , b ? ? , a ∥ ? , b ∥ ? .那么可
以是 ? ∥ ? 的充分 条件有 A.4 个
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( C.2 个



B.3 个

D.1 个
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【答案】C

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【解析】①可以;② ? , ? 也有可能相交,所以不正确;③ ? , ? 也有可能相交,所以不正确;④根据异面 直线的性质可知④可以,所以可以是 ? ∥ ? 的充分条件有 2 个,选 C. 11.【云南省昆明三中 2013 届高三高考适应性月考(三)文】若三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的 球面上, SA ⊥平面 ABC , SA ? 2 3, AB ? 1 , AC ? 2 , ?BAC ? 60? ,则球 O 的表面积为 ( ) A. 64? 【答案】B
2 2 ? 【解析】 因为 AB ? 1,AC ? 2 ,?BAC ? 60? , 所以 BC ? 1 ? 2 ? 2 ?1? 2cos 60 ? 3 , 所以 BC ? 3 。

B. 16?

C. 12?

D. 4?

所以 ?ABC ? 90 ,即 ?ABC 为直角三角形。因为三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,所以
?

斜边 AC 的中点是截面小圆的圆心 O ' ,即小圆的半径为 r ?

1 3 AC ? .,因为 OA, OS 是半径,所以三角 2 2 1 2 3 SA ? ? 3 ,所以半 2 2

形 AOS 为等腰三角形,过 O 作 OM ? SA ,则 M 为中点,所以 OO ' ? AM ? 径 OA ?

OO '2 ? r 2 ? ( 3) 2 ? 1 ? 4 ? 2 ,所以球的表面积为 4? R2 ? 16? ,选 B.

12.【贵州省遵义四中 2013 届高三第四月考文】 某 几何体的三视图如右图所示,则它的体积是(



(A) 8 ?

2? 3

(B) 8 ?

?
3
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(C) 8 ? 2? 【答案】A

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【解析】由三视图可知,该几何体是一个正四棱柱挖去一个圆锥,正四棱柱的体积为 2 ? 2 ? 2 ? 8 ,圆锥 的体积为 ? ? 2 ?

1 3

2? 2? ,所以该几何体的体积为 8 ? ,选 A. 3 3

13.【贵州省六校联盟 2013 届高三第一次联考 文】某几何体的三视图如图 2 所示,图中的四边形都是边

正视图

侧视图

俯视图
长为 2 的正方形,两条虚线互相垂直,则该几何体的体积是( ) 图2

A.

20 3

B.

16 3

C . 8?

?
6

D .8 ?

?
3

【答案】A 【解析】由三视图知,原几何体为一个正方体挖掉一个正四棱锥其中正方体的棱为 2,正四棱锥的底面边 长为正方体的上底面,高为 1. ∴原几何体的体积 为 V ? 2 ? ? 2 ? 2 ?1 ? 8 ?
3

1 3

4 20 ? ,选 A. 3 3

14.【北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学文】某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积是



) (A) 5 3 (B) 2 3

(C)

5 3 3

(D)

2 3 3

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【答案】C 【解析】由三视图可知,四棱锥的高为 2,底面为直角梯形 ABCD.其中 DC ? 2, AB ? 3, BC ? 3 ,所以四 棱锥的体积为 ?

1 (2 ? 3) ? 3 5 3 ,选 C. ?2 ? 3 2 3

15.【山东省潍坊一中 2013 届高三 12 月月考测试数学文】已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的高为 2 2 ,外接 球的体积是 【答案】

2? 3

32p ,则 A、B 两点的球面距离为____________. 3

【解析】因为正四棱柱外接球的体积为

32p 4 3 32p ,所以 p R = ,即外接球的半径为 R ? 2 ,所以正四棱 3 3 3
2 2

柱的体对角线为 2R ? 4 ,设底面边长为 x ,则 ( 2 x) ? (2 2)

?4 2 ,解得底面边长 x ? 2 。所以三角形

AOB 为正三角形,所以 ?AOB ?

?
3

,所以 A、B 两点的球面距离为

?
3

R?

2? . 3

16.【贵州省遵义四中 2013 届高三第四月考文】如右图, 设 A、B、C、D 为球 O 上四点,若 AB、AC、AD 两

两互相垂直,且 AB ? AC ? 6 , AD ? 2 ,则 A、D 两点间的球面距离 【答案】
2? 3



【解析】因为 AB、AC、AD 两两互相垂直,所以分别以 AB、AC、AD 为棱构造一个长方体,在长方体的体对
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角线为球的直径, 所以球的直径 2 R ?

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( 6) 2 ? ( 6) 2 ? 22 ? 16 ? 4 ,所以球半径为 R ? 2 ,在正三角形

AOD 中, ?AOD ?

?
3

,所以 A、D 两点间的球面距离为

?
3

R?

2? . 3

17.【贵州省六校联盟 2013 届高三第一次联考 文】正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 2 , MN 是它的 内切球的一条弦 (我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦) ,P 为正方体表面上的动点, 当弦 MN 的 长度最大时, PM ? PN 的最大值是 【答案】2 【解析】 因为 MN 是它的内切球的一条弦, 所以当弦 MN 经过球心时, 弦 MN 的长度最大, 此时 MN ? 2 . .

以 A ' 为原点建立空间直角坐标系如图.

根据直径的任意性, 不妨设 M , N 分

别是上下底面的中心,则两点的空间坐标为 M (1,1 , 2), N (1,1, 0) ,设坐标为 P( x, y, z ) ,则

???? ? ???? ???? ? ???? PM ? (1 ? x,1 ? y, 2 ? z ) , PN ? (1 ? x,1 ? y, ? z ) ,所以 PM ?PN ? (1 ? x)2 ? (1 ? y )2 ? z (2 ? z ) ,即 ???? ? ???? PM ?PN ? ( x ? 1)2 ? ( y ? 1) 2 ? ( z ? 1) 2 ? 1 .因为点 P 为正方体表面上的动点, ,所以根据 x, y, z 的对称性
可知, PM ?PN 的取值范围与点 P 在 哪个面上无关,不妨设,点 P 在底面 A ' B ' C ' D ' 内,此时有

???? ? ????

???? ? ???? 0 ? x ? 2,0 ? y ? 2, z ? 0 ,所以此时 PM ?PN ? ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? ( z ? 1)2 ? 1 ? ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ,,所
以当 x ? y ? 1 时, PM ?PN ? 0 ,此时 PM ?PN 最小,当但 P 位于正方形的四个顶点时, PM ?PN 最大,

???? ? ??? ?

???? ? ????

???? ? ????

此时有 PM ?PN ? ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2 ,所以 PM ?PN 的最大值为 2.
2 2

???? ? ????

???? ? ????

18.【云南省昆明三中 2013 届高三高考适应性月考(三)文】 (本小题满分 12 分)
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如图所示,正方形 AA1 D1 D 与矩形 ABCD 所在平面互相垂直, AB ? 2 AD ? 2 ,点 E 为 AB 的中点. (1)求证: BD1 // 平面A1 DE ; (2)求证: D1 E ? A1 D ; (3)求点 B 到 平面A1 DE 的距离.

【答案】解: (1) 四边形ADD1 A1为正方形,O是AD1的中点 , 点 E 为 AB 的中点,连接 OE

? EO为?ABD1 的中位线 ? EO // BD1 ……2 分
又? BD1 ? 平面A1 DE , OE ? 平面A1 DE

? BD1 // 平面A1 DE ………4 分

(2)正方形 ADD1 A1 中, A1 D ? AD1 , 由已知可得: AB ? 平面ADD1 A1 ,

A1 D ? 平面ADD1 A1

? AB ? A1D , AB ? AD1 ? A

? A1 D ? 平面A1DE, D1E ? 平面AD1E
(3)设点 B 到 平面A1 DE 的距离为 h .

? A1 D ? D1 E

…………8 分

1 3 1 1 ? S?A1DE ? ? 2 ? 2 ? sin 60? ? S?BDE ? ?1?1 ? 2 2 , 2 2,



VB ? A1DE ? VA1 ? BDE

1 1 S?A1DE ? h ? S?BDE ? AA1 3 ,即 3 ,

? h?

3 3 3 ,即点 B 到 平面A1 DE 的距离为 3

…………12 分

19.【山东省青岛一中 2013 届高三 1 月调研考试数学文】 (本小题满分 13 分)在如图所示的多面体 ABCDE 中,AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,
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且 AC=AD=CD=DE=2,AB=1.

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(1)请在 线段 CE 上找到点 F 的位置,使得恰有直线 (2)求多面体 ABCDE 的体积; (3)求直线 EC 与平面 ABED 所成角的正弦值.

BF∥平面 ACD,并证明这一事实 ;

【答案】如图, (1)由已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,∴AB//ED, 设 F 为线段 CE 的中点,H 是线段 CD 的中点,

// 1 ED ,∴ FH ? // AB , 连接 FH,则 FH ?

2

……………2 分

∴四边形 ABFH 是平行四边形,∴ BF // AH , 由 BF ? 平面 ACD 内, AH ? 平面 ACD,? BF // 平面 ACD;……………4 分 (2)取 AD 中点 G,连接 CG.. AB ? 平面 ACD, ∴CG ? AB 又 CG ? AD CG= 3 ∴ VC ? ABED = ∴CG ? 平面 ABED, 即 CG 为四棱锥的高, ……………7 分 B F ……………5 分 E

1 (1 ? 2) ? ? 2 ? 3 = 3 . ……………8 分 3 2

A

G H C

D

(3)连接 EG,由(2)有 CG ? 平面 ABED, ∴ ?CEG 即为直线 CE 与平面 ABED 所成的角,………10 分 设为 ? ,则在 Rt ?CEG 中, 有 sin ? ?

CG 3 6 ? ? . CE 2 2 4

……………13 分

20.【山东省师大附中 2013 届高三第四次模拟测试 1 月数学文】 (本小题满分 12 分) 在底面为平行四边 形的四棱锥 P ? ABCD 中, AB ? AC , PA ? 平面 ABCD ,点 E 是 PD 的中点.
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P

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E

A

B

D

C

(1)求证: PB // 平面 AEC ; (2)求证:平面 EAC ⊥平面 PAB . 【 答 案 】 解 :( 1 ) 连 接
P

BD



AC



F , 连 接

EF , ------------2



E

A

B

D

C

在三角形 DPB 中,EF 为中位线,

?EF//PB,
又 PB ? 平面EAC ,

--------4 分 F

EF ? 平面EAC

? PB // 平面 AEC ;--------6 分 w
(2)? PA ? 平面 ABCD , AC ? 平面ABCD

? PA ? AC ------------8 分
又 AB ? AC , PA ? AB ? A

? AC ? 平面 PAB ------------10 分 AC ? 平面EAC ? 平面EAC ? 平面PAB ------------12 分
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21.【贵州省六校联盟 2013 届高三第一次联考 文】 (本小题满分 12 分) 如图 5 ,如图,已知在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD , E 、 F 分别 是 AB 、 PD 的中点. (Ⅰ)求证: AF // 平面 PEC ; ( Ⅱ ) 若 PD 与 平 面 ABCD 所 成 角 为 60? , 且 AD ? 2, AB ? 4 , 求 点 A 到 平 面 PED 的 距

P F D C

A
离.

E
图5

B

【答案】解: 【法一】 (I)证明:如图,取 PC 的中点 O ,连接 OF , OE . 由已知得 OF / / DC 且 OF ?

1 DC , 2

又? E 是 AB 的中点,则 OF / / AE 且 OF ? AE ,

? AEOF 是平行四边形,
∴ AF / /OE

···························· 4?

又? OE ? 平面 PEC , AF ? 平面 PEC

? AF / / 平面 PEC ····························· 6?
(II)设 A 平面 PED 的距离为 d , 【法一】 :因 PA ? 平面 ABCD ,故 ?PDA 为 PD 与平 成角,所以 ?PDA ? 60 o , 所以 PA ? AD tan 60 ? 2 3 , PD ?
o

P F O C E B

面 ABCD 所

AD ? 4, cos 60 o
A

D G H





AB ? 4 , E 是 AB 的 中 点 所 以 AE ? 2 ,
PE ? PA 2 ? AE 2 ? 4 , DE ? DA 2 ? AE 2 ? 2 2 .
作 PH ? DE 于 H ,因 PD ? PE ? 4, DE ? 2 2 ,则

DH ? 2 , PH ? PD 2 ? DH 2 ? 14 ,………………………………………… 9?
则 S ?ADE ?

1 1 ? AD ? AE ? 2 , S ?PDE ? ? PH ? DE ? 2 7 2 2

因 VP ? AED ? V A? PDE
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所以 d ?

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PA ? S ?ADE 2 3 ? 2 2 21 ……………………………………………… 12? ? ? S ?PDE 7 2 7

【法二】因 PA ? 平面 ABCD ,故 ?PDA 为 PD 与平面 ABCD 所成角,所以 ?PDA ? 60 o , 所以 PA ? AD tan 60 ? 2 3 ,PD ?
o

AD ? 4 ,又因 AB ? 4 ,E 是 AB 的中点所以 AE ? 2 ? AD , cos 60 o

PE ? PA 2 ? AE 2 ? 4 , DE ? DA 2 ? AE 2 ? 2 2 .
作 PH ? DE 于 H ,连结 AH ,因 PD ? PE ? 4 ,则 H 为 DE 的中点,故 AH ? DE 所以 DE ? 平面 PAH ,所以平面 PDE ? 平面 PAH ,作 AG ? PH 于 G ,则 AG ? 平面 PDE ,所以线 段 AG 的长为 A 平面 PED 的距离. 又 DH ? 所以 AG ?

2 , PH ? PD 2 ? DH 2 ? 14 , AH ?

AD 2 ? DH 2 ? 2

PA ? AH 2 3 ? 2 2 21 ? ? …………………………………………… 12? PH 7 14

P F D A E B O C

22.【贵州省遵义四中 2013 届高三第四月考文】 (满分 12 分)如右图,在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AA1=AB, D 是 AC 的中点。 (Ⅰ)求证:B1C//平面 A1BD; (Ⅰ)求二面角 A—A1B—D 的余弦值。

【答案】解:(1)证明:连 AB1 交 A1 B 于点 E ,连 DE .
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则 E 是 AB1 的中点, ∵ D 是 AC 的中点,∴ DE // B1C

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∵ DE ? 平面 A1BD , B1C ? 平面 A1BD ,∴ B1C ∥平面 A1BD .…………………6 分 (2)法一:设 AA1 ? 2a ,∵ AA 1 ,且 AE ? 1 ? AB ,∴ AE ? BA 作 AF ? A1D ,连 EF ∵平面 A1BD ⊥平面 ACC1 A1 ,∴ AF ? 平面 A1BD , ∴ EF ? BA 1B ? D 的平面角, 1 ∴ ?AEF 就是二面角 A ? A 在 ?A1 AD 中, AF ?

2a ,

2 a, 5
4 6 AE 2 ? AF 2 ? 2a 2 ? a 2 ? a 5 5

在 ?AEF 中, EF ?

cos ?AEF ?

EF ? AE

6 a 5 ? 15 ,即二面角 A ? A B ? D 1 5 2a

的余弦

值是

15 .…………12 分 5

解法二:如图,建立空间直角坐标系. 则 D(0,0,0) , B(0, 3a, 0) , A(?a, 0, 0) , A1 (?a, 0, 2a) . ∴ AA1 ? (0, 0, 2a) ,AB ? (a, 3a, 0) ,DA1 ? ( ? a, 0, 2a ) , 设平面 A1BD 的法向量是 m ? ( x, y, z ) ,则 由?

????

??? ?

???? ?

??? ? DB ? (0, 3a, 0)

? ?m ? DA1 ? ? x ? 2 z ? 0 ? ?m ? DB ? 3 y ? 0

,取 m ? ( 2,0,1)

设平面 AA1B 的法向量是 n ? ( x, y, z ) ,则 由?

? ?n ? AB ? x ? 3 y ? 0 ? ?n ? AA1 ? 2 z ? 0

,取 n ? ( 3 ,?1,0)

?? ? m?n 2 3 15 ? 记二面角 A ? A1B ? D 的大小是 ? ,则 cos ? ? ?? ? ? , 5 | m || n | 2 5
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即二面角 A ? A1B ? D 的余弦值是

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15 .…………………………12 分 5

23.【北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学文】 (本小题满分 14 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? BC , AC ? BC ? CC1 ? 2 , M , N 分别 为 AC , B1C1 的中点. (Ⅰ)求线段 MN 的长; (Ⅱ)求证: MN // 平面 ABB1 A1 ; (Ⅲ) 线段 CC1 上是否存在点 Q , 使 A1B ? 平面 MNQ ?说明理由.

【答案】 (Ⅰ)证明:连接 CN . 因为 ABC ? A1B1C1 是直三棱柱, 所以 CC1 ? 平面 ABC , 所以 AC ? CC1 . 因为 AC ? BC , ………………1 分 ………………2 分 所以 AC ? 平面 BCC1 B1 .
2 2

………………3 分

因为 MC ? 1 , CN ? CC1 ? C1 N ? 5 , 所 以 …………

MN ? 6 .
……4 分 (Ⅱ)证明:取 AB 中点 D ,连接 DM , DB1 . 在△ ABC 中,因为 M 为 AC 中点,所以 DM // BC , DM ? ………………5 分

1 BC . 2 1 在矩形 B1 BCC1 中,因为 N 为 B1C1 中点,所以 B1 N // BC , B1 N ? BC . 2
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所以 DM // B1 N , DM ? B1 N .

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所以 四边形 MDB1 N 为平行四边形,所以 MN // DB1 . 因为 MN ? 平面 ABB1 A1 , DB1 ? 平面 ABB1 A1 , 所以 MN // 平面 ABB1 A1 . ……9 分

………………7 分 ………………8 分

(Ⅲ)解:线段 CC1 上存在点 Q ,且 Q 为 CC1 中点时,有 A1B ? 平面 MNQ . ………11 分 证明如下:连接 BC1 . 在正方形 BB1C1C 中易证 QN ? BC1 . 又 A1C1 ? 平面 BB1C1C ,所以 A1C1 ? QN ,从而 NQ ? 平面 A1BC1 .…12 分 所以 A1 B ? QN . 同理可得 A1 B ? MQ ,所以 A1B ? 平面 MNQ . 故线段 CC1 上存在点 Q ,使得 A1B ? 平面 MNQ . ………………14 分 ………………13 分

24.【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(四)文】 (本小题满分 12 分)如图 4,正三棱柱

ABC ? A1B1C1 中, E 是 AC 中点.

(1)求证:平面 BEC1 ⊥平面 ACC1 A1 ; (2)若 AA1 ?

2 , AB ? 2 ,求点 A 到平面 BEC1 的距离.

【答案】 (Ⅰ)证明:∵ ABC ? A1B1C1 是正三棱柱, ∴ AA1 ? 平面ABC, ∴ BE ? AA1 . ∵△ABC 是正三角形,E 是 AC 中点,
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∴ BE ? AC , ∴ BE ? 平面ACC1 A1 , 又∵ BE ? 平面BEC1 ,

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∴平面 BEC1 ? 平面ACC1 A1 .……………………………………………………………(6 分) (Ⅱ)解:如图 3,作 AM ? C1E 交 C1 E 延长线于 M, 由(Ⅰ)可证得 AM ? 平面BEC1 , ∴AM 的长就是点 A 到 平面BEC1 的距离, 由 Rt△CEC1 ∽ Rt△MEA ,可解得 AM= ∴点 A 到 平面BEC1 的距离为
6 , 3

图3

6 .………………………………………(12 分) 3

25.【山东省潍坊一中 2013 届高三 12 月月考测试数学文】 (本题 12 分)如图,四棱锥 P - ABCD 的底面 是边长为 1 的正方形,侧棱 PA ^ 底面 ABCD.且 PA = 2 ,E 是侧棱 PA 上的动点。 (1)求三棱锥 C-PBD 的体积; (2)如果 E 是 PA 的中点,求证 PC//平面 BDE; (3)是否不论点 E 在侧棱 PA 的任何位置,都有 BD ^ CE ?证明你的结论..

【答案】

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