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《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习:必修部分 开卷速查38 直接证明与间接证明


开卷速查(三十八)

直接证明与间接证明

A 级 基础巩固练 1.用反证法证明某命题时,对结论:“自然数 a,b,c 中恰有一 个偶数”正确的反设为( )

A.a,b,c 中至少有两个偶数 B.a,b,c 中至少有两个偶数或都是奇数 C.a,b,c 都是奇数 D.a,b,c 都是偶数 解析:“恰有一个偶数”的对立面是“没有偶数或至少有两个偶 数”. 答案:B 2.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设 a>b>c,且 a +b+c=0,求证 b2-ac< 3a”索的因应是( A.a-b>0 C.(a-b)(a-c)>0 解析: )

B.a-c>0 D.(a-b)(a-c)<0

b2-ac< 3a?b2-ac<3a2

?(a+c)2-ac<3a2 ?a2+2ac+c2-ac-3a2<0 ?-2a2+ac+c2<0 ?2a2-ac-c2>0 ?(a-c)(2a+c)>0 ?(a-c)(a-b)>0.

-1-

答案:C 3.若 P= a+ a+7,Q= a+3+ a+4(a≥0),则 P、Q 的大 小关系是( A.P>Q C.P<Q ) B.P=Q D.由 a 的取值确定

解析:∵要证 P<Q,只要证 P2<Q2, 只要证:2a+7+2 a?a+7?<2a+7+2· ?a+3??a+4?,

只要证:a2+7a<a2+7a+12, 只要证:0<12, ∵0<12 成立, ∴P<Q 成立. 答案:C 1 1 1 4.设 x,y,z∈(0,+∞),a=x+y ,b=y+ z ,c=z+x ,则 a,b, c 三数( ) B.都小于 2 D.都大于 2

A.至少有一个不大于 2 C.至少有一个不小于 2

1 1 1 解析:a+b+c=x+y +y+ z +z+x≥6, 因此 a,b,c 至少有一个不小于 2. 答案:C 3 3 3 5.要使 a- b< a-b成立,则 a,b 应满足( A.ab<0 且 a>b )

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B.ab>0 且 a>b C.ab<0 且 a<b D.ab>0 且 a>b 或 ab<0 且 a<b 3 3 3 解析:要使 a- b< a-b成立, 3 3 3 只要( a- b)3<( a-b)3 成立, 3 3 即 a-b-3 a2b+3 ab2<a-b 成立, 3 3 只要 ab2< a2b成立, 只要 ab2<a2b 成立, 即要 ab(b-a)<0 成立, 只要 ab>0 且 a>b 或 ab<0 且 a<b 成立. 答案:D a2+b2 6.已知 a>b>0,且 ab=1,若 0<c<1,p=logc 2 ,q= logc? 1 ?2 ? ,则 p、q 的大小关系是( ? a+ b?
?

)

A.p>q C.p=q a2+b2 解析:∵ 2 >ab=1, a2+b2 ∴p=logc 2 <0.

B.p<q D.p≥q

-3-

又 q=logc? ?

?

? ?2 ? a + b ? ?

1

1 =logc a+b+2 ab 1 1 >logc =logc4>0, 4 ab ∴q>p. 答案:B 7. 设 a= 3+2 2, b=2+ 7, 则 a, b 的大小关系为__________. 解析:a= 3+2 2,b=2+ 7两式的两边分别平方,可得 a2=11 +4 6,b2=11+4 7,显然, 6< 7. ∴a<b. 答案:a<b 8.用反证法证明命题“若实数 a,b,c,d 满足 a+b=c+d=1, ac+bd>1,则 a,b,c,d 中至少有一个是非负数”时,第一步要假 设结论的否定成立,那么结论的否定是__________. 解析:“至少有一个”的否定是“一个也没有”,故结论的否定 是“a,b,c,d 中没有一个是非负数,即 a,b,c,d 全是负数”. 答案:a,b,c,d 全是负数 9.设 a,b 是两个实数,给出下列条件: ①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1. 其 中 能 推 出 : “a , b 中 至 少 有 一 个 大 于 1” 的 条 件 是 __________.(填序号)

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1 2 解析:若 a=2,b=3,则 a+b>1, 但 a<1,b<1,故①推不出; 若 a=b=1,则 a+b=2,故②推不出; 若 a=-2,b=-3,则 a2+b2>2,故④推不出; 若 a=-2,b=-3,则 ab>1,故⑤推不出; 对于③,即 a+b>2,则 a,b 中至少有一个大于 1, 反证法:假设 a≤1 且 b≤1, 则 a+b≤2 与 a+b>2 矛盾, 因此假设不成立,故 a,b 中至少有一个大于 1. 答案:③ 10.设数列{an}是公比为 q 的等比数列,Sn 是它的前 n 项和. (1)求证:数列{Sn}不是等比数列; (2)数列{Sn}是等差数列吗?为什么?
2 解析:(1)证明:假设数列{Sn}是等比数列,则 S2 =S1S3, 2 即 a2 a1· (1+q+q2), 1(1+q) =a1·

因为 a1≠0,所以(1+q)2=1+q+q2, 即 q=0,这与公比 q≠0 矛盾, 所以数列{Sn}不是等比数列. (2)当 q=1 时,Sn=na1,故{Sn}是等差数列; 当 q≠1 时,{Sn}不是等差数列,否则 2S2=S1+S3,
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即 2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2), 得 q=0,这与公比 q≠0 矛盾. 综上,当 q=1 时,数列{Sn}是等差数列;当 q≠1 时,{Sn}不是等 差数列. B级 能力提升练

11.如果△A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2 的三个 内角的正弦值,那么( )

A.△A1B1C1 和△A2B2C2 都是锐角三角形 B.△A1B1C1 和△A2B2C2 都是钝角三角形 C.△A1B1C1 是钝角三角形,△A2B2C2 是锐角三角形 D.△A1B1C1 是锐角三角形,△A2B2C2 是钝角三角形 解析: 由条件知, △A1B1C1 的三个内角的余弦值均大于 0, 则 A1B1C1 是锐角三角形,假设△A2B2C2 是锐角三角形.

? ? ? ? ?π ? 由?sinB =cosB =sin?2-B ?, ? ? ?sinC =cosC =sin??π-C ??, ? ?2 ?
2 1 1 2 1 1

?π ? sinA2=cosA1=sin?2-A1?,

? ? π 得?B =2-B . ?C =π-C . ? 2
2 1 2 1

π A2=2-A1.

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π 那么 A2+B2+C2=2,这与三角形内角和为 180° 相矛盾. 所以假设不成立,又由已知可得△A2B2C2 不是直角三角形,所以△ A2B2C2 是钝角三角形. 答案:D
?a+b? ?1? ?,B=f( ab),C 12.已知函数 f(x)=?2?x,a,b∈R+,A=f? ? ? ? 2 ? ? 2ab ? =f?a+b?,则 A、B、C 的大小关系是( ? ?

)

A.A≤B≤C C.B≤C≤A

B.A≤C≤B D.C≤B≤A

a+b ?1? 2ab 解析: 2 ≥ ab≥ ,又函数 f(x)=?2?x 在(-∞,+∞)上是单 ? ? a+b 调递减函数, ∴f? ?
?a+b? ? 2ab ? ? ? ? ≤ f ( ab ) ≤ f ? ?a+b?. ? 2 ? ? ?

答案:A

13.[2015· 徐州模拟]如图,AB,CD 均为圆 O 的直径,CE⊥圆 O 所在的平面,BF∥CE,求证:
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(1)平面 BCEF⊥平面 ACE; (2)直线 DF∥平面 ACE. 证明:(1)因为 CE⊥圆 O 所在的平面,BC?圆 O 所在的平面,所 以 CE⊥BC. 因为 AB 为圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上, 所以 AC⊥BC. 因为 AC∩CE=C,AC,CE?平面 ACE, 所以 BC⊥平面 ACE. 因为 BC?平面 BCEF, 所以平面 BCEF⊥平面 ACE. (2)由(1)知 AC⊥BC,又因为 CD 为圆 O 的直径,所以 BD⊥BC. 因为 AC,BC,BD 在同一平面内,所以 AC∥BD. 因为 BD?平面 ACE,AC?平面 ACE, 所以 BD∥平面 ACE. 因为 BF∥CE,同理可证 BF∥平面 ACE, 因为 BD∩BF=B,BD,BF?平面 BDF, 所以平面 BDF∥平面 ACE. 因为 DF?平面 BDF,所以 DF∥平面 ACE. 14.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图像与 x 轴有两个不 同的交点.若 f(c)=0,且 0<x<c 时,f(x)>0.
-8-

1 (1)证明:a是函数 f(x)的一个零点; 1 (2)试比较a与 c 的大小. 解析:(1)证明:∵f(x)的图像与 x 轴有两个不同的交点, ∴f(x)=0 有两个不等实根 x1,x2. ∵f(c)=0,∴x1=c 是 f(x)=0 的根. c 1?1 ? 又 x1x2=a,∴x2=a?a≠c?,
? ?

1 ∴a是 f(x)=0 的一个根. 1 即a是函数 f(x)的一个零点. 1 (2)假设a<c, 1 ∵a>0,
?1? ∴由 0<x<c 时,f(x)>0,知 f?a?>0, ? ? ?1? 1 这与 f?a?=0 矛盾,∴a≥c. ? ?

1 1 又∵a≠c,∴a>c.

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