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上海市静安区2013届高三上学期期末教学质量调研数学文试题


静安区 2012 学年高三年级第一学期期末教学质量检测 数学试卷(文科)
(试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟) 2013.1
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.

1 2? sin( 2ax ? ) 的最小正周期为 4?

,则正实数 a = 2 7 1 1 2.等比数列 ?an ? ( n ? N * )中,若 a 2 ? , a 5 ? ,则 a12 ? 16 2
1.已知函数 f ( x) ?
1 2 3 n 3. (文)求和: 3Cn ? 9Cn ? 27Cn ? ? ? 3n Cn =

. .

.( n ? N * ) .

4. (文)两条直线 l1 : 3x ? 4 y ? 9 ? 0 和 l 2 : 5x ? 12y ? 3 ? 0 的夹角大小为

5. 文) x ,y 满足条件 ? ( 设

?1 ? x ? y ? 3, 则点 ( x, y ) 构成的平面区域面积等于 ?? 1 ? x ? y ? 1,

.

? x ? y ? 5, ?3x ? 2 y ? 12, ? 6. (文) x, y 满足约束条件 ? 设 使目标函数 z ? 6 x ? 5 y 的值最大的点 ( x, y ) 坐 0 ? x ? 3, ? ?0 ? y ? 4, ?
标是 .

7. (文)设圆过双曲线 线中心的距离是

x2 y2 ? ? 1 右支的顶点和焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲 9 16
.

8. (文)某旅游团要从 8 个风景点中选两个风景点作为当天上午的游览地,在甲和乙两个风 景点中至少需选一个,不考虑游览顺序,共有 种游览选择.
2 9. (文)已知 a ? 0 ,关于 x 的不等式 ax ? 2(a ? 1) x ? 4 ? 0 的解集是

.

10. (文)已知 ? 、 ? 为锐角,且 (1 ? tan

?
2

)(1 ? tan

?
2

) ? 2 ,则 tan ? tan ? =

.

11. (文)数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? 2n 2 ( n ? N * ) ,对任意正整数 n ,数列 ?bn ? 的 项都满足等式 an?1 ? 2an an?1bn ? an ? 0 ,则 bn =
2 2

.

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12. (文)机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”.如图所示, “海宝”从圆心 O

12 方向行走 13 米至点 A 处,再沿正南方向行走 14 13 米至点 B 处,最后沿正东方向行走至点 C 处,点 B 、 C 都在圆 O 上.则在以 圆心 O 为坐标原点,正东方向为 x 轴正方向,正北方向为 y 轴正方向的直角
出发,先沿北偏西 arcsin 坐标系中圆 O 的方程为 13. (文)设 P 是函数 y ? x ? .



N A O B S
南 文第 12 题

2 ( x ? 0 )的图像上任意一点,过点 P 分别 x

向 直 线 y ? x 和 y 轴 作 垂 线 , 垂 足 分 别 为 A 、 B , 则 PA? PB 的 值 是 .

C

14. (文)设复数 z ? (a ? cos? ) ? (2a ? sin ? )i ( i 为虚数单位) ,若对任意 实数 ? , z ? 2 ,则实数 a 的取值范围为 .

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. (文)某地区的绿化面积每年平均比上一年增长 10.4%,经过 x 年,绿化面积与原 绿化面积之比为 y, y=f(x)的图像大致为 则 ( )

16. (文)若复数 z1 z 2 ? 0 ,则 z1 z 2 ? z1 z 2 是 z 2 ? z1 成立的( (A) 充要条件 条件 (B) 既不充分又不必要条件 (C) 充分不必要条件

) (D) 必要不充分

17. (文)函数 f ( x) ?

x 2 ? 2x ? 4 ( x ? [1,3]) 的值域为 x
(C) [ ,3]





(A) [2,3]

(B) [2,5]

7 3

(D) [ , 4 ]

7 3

18. (文)已知向量 a 和 b 满足条件: a ? b 且 a ? b ? 0 .若对于任意实数 t ,恒有

a ? t b ? a ? b ,则在 a 、 b 、 a ? b 、 a ? b 这四个向量中,一定具有垂直关系的两
个向量是( )

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(A) a 与 a ? b

(B) b 与 a ? b

(C) a 与 a ? b

(D) b 与 a ? b

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤 . 19. (文) (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知数列 {an } 的递推公式为 ?a n ? 3a n ?1 ? 2n ? 3, (n ? 2, n ? N * )

? ?a1 ? 2.

(1)令 bn ? an ? n ,求证:数列 {bn } 为等比数列; (2)求数列 {an } 的前 n 项和.

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. ( 文 ) 已 知 a, b, c 分 别 为 △ ABC 三 个 内 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 长 , 且

3 a cos B ? b cos A ? c . 5 tan A (1)求: 的值; tan B
0 (2)若 A ? 60 , c ? 5 ,求 a 、 b .

21. (文) (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 某仓库为了保持库内的湿度和温度, 四周墙上均装有如图所示的自动通风设施. 该设施 的下部 ABCD 是正方形,其中 AB=2 米;上部 CDG 是等边三角形,固定点 E 为 AB 的中点.△ EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风) ,MN 是可以沿设施边框 上下滑动且始终保持和 AB 平行的伸缩横杆. (1)设 MN 与 AB 之间的距离为 x 米,试将△EMN 的面积 S(平方米)表示成关于 x 的函数; G (2)求△EMN 的面积 S(平方米)的最大值.
M D N C

A

E (文 21 题)

B

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22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 7 分. 已知椭圆

x2 y2 ? 2 ? 1 的两个焦点为 F1 (?c,0) 、 F2 (c,0) , c 2 是 a 2 与 b 2 的等差中项, 2 a b

其中 a 、 b 、 c 都是正数,过点 A(0,?b) 和 B(a,0) 的直线与原点的距离为 (1)求椭圆的方程; (2) (文)过点 A 作直线交椭圆于另一点 M ,求 AM 长度的最大值;

3 . 2

(3)已知定点 E (?1,0) ,直线 y ? kx ? t 与椭圆交于 C 、 D 相异两点.证明:对任意的

t ? 0 ,都存在实数 k ,使得以线段 CD 为直径的圆过 E 点.
23. (文) (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分, 第 3 小题满分 6 分. 已知 f ( x) ? log 1 x , 当点 M ( x, y ) 在 y ? f (x) 的图像上运动时, N ( x ? 2, ny) 在函 点
2

数 y ? g n (x) 的图像上运动( n ? N * ) . (1)求 y ? g n (x) 的表达式; (2)若方程 g1 ( x) ? g 2 ( x ? 2 ? a) 有实根,求实数 a 的取值范围; ( 3 ) 设 H n ( x) ? 2
5

gn ( x)

, 函 数 F ( x) ? H1 ( x) ? g1 ( x) ( 0 ? a ? x ? b ) 的 值 域 为

[lo g 2

4 2 2 ,l o g ] ,求实数 a , b 的值. 2 b?2 a?2

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高三年级
说明

文科数学试卷答案及评分标准

1.本解答列出试题的一种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准 的精神进行评分. 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅, 当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容 和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半, 如果有较严重的概念性错误,就不给分. 3.第 19 题至第 23 题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分 数. 4.给分或扣分均以 1 分为单位.

答案及评分标准 1 1. a ? ; 2.64; 4 33 4. (文) arccos 65 16 7. (文) 8. (文)13 3
10. (文理)1;

3. (文) 4 ? 1
n

5. (文)2

6. (文) (2,3)

9. (文) ( ,2)

2 a

11. (文) bn ?

4n 2 ? 1 ; 12. (文) x 2 ? y 2 ? 225 13. (文) 4n 2 ? 1

?1

14. (文) [?

5 5 , ]. 5 5

15. (文理)D; 16. (文)D; 17. (文理)A ;18. (文理)B 19 ( 文 ) 解 :

bn ? an ? n ? 3an?1 ? 2n ? 3 ? n ? 3an?1

1 ,n ? 2 ? 3n ? 3 ? 3(an?1 ? (n ? 1)) ? 3bn?1





又 b1 ? a1 ? 1 ? 1 ,所以 bn ? 0 ( n ? N * ) ,

bn ? 3(n ? 2) bn?1

所以,数列 {bn } 是以 1 为首项 3 为公比的等比数列. ····························· 分 ···························· 6 (2) bn ? 3n?1 , an ? bn ? n ················································· 分 ················································8 所以数列 {an } 的前 n 项和 S n ? (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? (1 ? 2 ? ? ? n) =

3n ? n 2 ? n ? 1 . 2

·········································································· 分 ········································································· 14 20(文)解: (1)由正弦定理 2分 又 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ,所以

a b c 3 ? ? 得 sin A cos B ? sin B cos A ? sin C , sin A sin B sin C 5

2 8 sin A cos B ? sin B cos A ,5 分 5 5

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tan A sin A cos B ? ? 4 . ···············································7 分 ··············································· tan B sin B cos A 1 3 3 0 (2)若 A ? 60 ,则 sin A ? , cos A ? , tan A ? 3 ,得 t anB ? ,可得 2 4 2 3 ? 19 4 19 , sin B ? . ··········································· 10 分 ··········································· cos B ? 19 19
可得

sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?
由正弦定理

5 3 ? 19 , 38

a b c ? ? 得 sin A sin B sin C c c a? ? sin A ? 19 , b ? ? sin B ? 2 ································14 分 ································ sin C sin C
G

21(文)解: (1) ① 如图 1 所示,当 MN 在正方形区域滑动, 即 0<x≤2 时, 1 △ EMN 的面积 S= ? 2 ? x = x ; ·················2 分 ················· 2 ② 如图 2 所示,当 MN 在三角形区域滑动, 即 2<x< 2 ? 3 时, 如图,连接 EG,交 CD 于点 F,交 MN 于点 H, ∵ 为 AB 中点, E ∴ 为 CD 中点,GF⊥ F CD,且 FG= 3 . 又∵ MN∥ CD, ∴ MNG∽△ △ DCG.

D M

C N

A

E

B

图1
G

2( 3 ? 2 ? x) ∴ MN ? GH ,即 MN ? . ··········· 分 ··········5
DC GF

M D

3

H F

N C

故△ EMN 的面积 S=

1 2( 3 ? 2 ? x) ? ?x 2 3
A E B

= ? 3 x 2 ? (1 ? 2 3 ) x ; ·························7 分 ························· 3 3 综合可得:

图2

? x, 0 ? x ? 2 ? S ?? 3 2 2 3 x ? (1 ? ) x,2 ? x ? 2 ? 3 ?? 3 ? 3

·································· 8 分 ··································

说明:讨论的分段点 x=2 写在下半段也可. (2)① MN 在正方形区域滑动时, S ? x ,所以有 0 ? S ? 2 ; ···················· 10 分 当 ···················· ② MN 在三角形区域滑动时,S= ? 当

3 2 2 3 x ? (1 ? )x . 3 3

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3 ,S ? 2 (米) 在 (2,2 ? 3) 上递减,无最大值, 0 ? S ? 2 . 2 所以当 x ? 2 时,S 有最大值,最大值为 2 平方米. ······························ 分 ····························· 14
因而,当 x ? 1 ? 22.解: (1)在椭圆中,由已知得 c ? a ? b ?
2 2 2

a2 ? b2 ························· 分 ························ 1 2

过点 A(0,?b) 和 B(a,0) 的直线方程为

x y ? ? 1 ,即 bx ? ay ? ab ? 0 ,该直线与原点的 a ?b

距离为

3 ab 3 ,由点到直线的距离公式得: ························· 3 分 ························· ? 2 2 a2 ? b2
2 2

解得: a ? 3, b ? 1 ;所以椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ······························4 分 ····························· 3 1
2

(2) (文)设 M ( x, y ) ,则 x 2 ? 3(1 ? y 2 ) , AM

? x 2 ? ( y ? 1) 2 ? ?2 y 2 ? 2 y ? 4 ,其

中 ? 1 ? y ? 1 ································································6 分 ································································ 当y?

1 9 3 2 2 时, AM 取得最大值 ,所以 AM 长度的最大值为 ················ 分 ···············9 2 2 2

(3)将 y ? kx ? t 代入椭圆方程,得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6ktx ? 3t 2 ? 3 ? 0 ,由直线与椭圆有两
2 2 2 个交点,所以 ? ? (6kt) ? 12(1 ? 3k )(t ? 1) ? 0 ,解得 k ?
2

t 2 ?1 ·············· 11 分 ·············· 3

6kt 3(t 2 ? 1) 设 C ( x1 , y1 ) 、 D( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? ? , x1 ? x 2 ? ,因为以 CD 为直径 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2
的圆过 E 点,所以 EC ? ED ? 0 ,即 ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? y1 y2 ? 0 , ················· 13 分 ················· 而 y1 y2 ? (kx1 ? t )(kx2 ? t ) = k 2 x1 x2 ? tk ( x1 ? x2 ) ? t 2 ,所以

(k 2 ? 1)

3(t 2 ? 1) 6kt 2t 2 ? 1 ? (tk ? 1) ? t 2 ? 1 ? 0 ,解得 k ? ················· 14 分 ················· 3t 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

t 2 ?1 如果 k ? 对任意的 t ? 0 都成立,则存在 k ,使得以线段 CD 为直径的圆过 E 点. 3
2

(

2t 2 ? 1 2 t 2 ? 1 (t 2 ? 1) 2 ? t 2 t 2 ?1 ) ? ? ? 0 , k2 ? 即 . 所以, 对任意的 t ? 0 , 都存在 k , 3t 3 3 9t 2

使得以线段 CD 为直径的圆过 E 点.··········································· 16 分 ···········································

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23 ( 文 ) 解 :( 1 ) 由 ?

? y ? f ( x ), 得 g n ( x ? 2) ? nf ( x) ? n log 1 x , 所 以 ?ny ? g n ( x ? 2) 2

( . ··········································· g n ( x) ? n log1 ( x ? 2) , x ? ?2 ) ···········································4 分
2

(2) log1 ( x ? 2) ? 2 log1 ( x ? a) ,即 x ? 2 ? x ? a ( x ? 2 ? 0 ) ···············6 分 ···············
2 2
2 令 所以 a ? ?t ? t ? 2 ? a ? ?x ? x ? 2 , t ? x ? 2 ? 0 ,

9 7 9 , x ? ? 时,a ? . 当 即 4 4 4

实数 a 的取值范围是 (?? , ] ·················································· 分 ················································· 10 (3)因为 H n ( x) ? 2
n log 1 ( x ? 2 )
2

9 4

?

1 1 ,所以 F ( x) ? ? log1 ( x ? 2) . n x?2 ( x ? 2) 2

F (x) 在 (?2,??) 上是减函数. ················································12 分 ···············································
4 ? 1 4 2 ? 2 ? log 1 (a ? 2) ? log2 ? ? F (a) ? log2 a?2 ?a ? 2, ? a ? 2 即 ?a ? 2 2 所以 ? ,所以 ? ······ 分 ····· 16 ? 5 5 1 2 2 ?b ? 3 ? ? F (b) ? log ? log 1 (b ? 2) ? log2 2 ? b?2 b ? 2 ?b ? 2 ? 2 ?

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