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湖北省黄冈中学2015届高三上学期期中考试数学文试题 Word版含答案


湖北省黄冈中学 2015 届高三(上)期中考试 数学(文)试题

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一个符合题目要求,请将正确选项的代号填入

答题卡的相应位置. ) 1. 函数 f ( x) ? 2 ? x ? lg( x ? 1) 的定义域是( A. (??, 2] B. (2, ??) ) C. (1, 2] ( D. (1, ??) )

2.已知 {an } 是等差数列, a1 ? a7 ? ?2, a3 ? 2 ,则 {an } 的公差 d ? A.- 1 B.- 2 C.- 3 D.- 4

3.在锐角△ ABC 中,角 A 、B、C 所对应的边分别为 a, b, c ,若 b ? 2a sin B ,则角 A 等 于( ) A. 30
o

B. 45

o

C.

60o

D.

75o
)

4.已知函数 f ( x) ? A. (0,1)

6 ? log 2 x ,在下列区间中,包含 f ( x) 的零点的区间是( x
B. (1, 2) C. (2, 4) D. (4, ??)

? x ?1 ? 5. 已知 x , y 满足 ? x ? y ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为( ?x ? 2 y ? 9 ?

)

12 A. B. 9 C. 6 D. 3 6.设 ? 、? 是两个不同的平面,l 、m 为两条不同的直线,命题 p :若平面 ? ∥ ? ,l ? ? , m ? ? ,则 l ∥ m ;命题 q : l ∥ ? , m ⊥ l , m ? ? ,则 ? ⊥ ? ,则下列命题为真命 题的是 ( ) A. p 或 q B. p 且 q C. ? p 或 q D. p 且 ? q
7.已知函数 f ( x) ? sin x ? ? cos x 的图象的一个对称中心是点 (

?
3

,0) ,则函数 g ( x) =

? sin x cos x ? sin 2 x 的图象的一条对称轴是直线 (
A. x ?
5? 6

)

B. x ?

4? 3

C. x ?

?
3


D. x ? ?

?
3

8.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 (

3

A.

(8 ? ? ) 3 6 (6 ? ? ) 3 6

B.

(8 ? 2? ) 3 6

1

正视图

2

2 侧视图

C.

D.

(9 ? 2? ) 3 6

9 , x ? (0, 4) , 9. 已知函数 f ( x) ? x ? 4 ? 当 x ? a 时, x ?1

俯视图

1 x ?b 的图像为( f ( x) 取得最小值 b ,则在直角坐标系下函数 g ( x ) ? ( ) a



A
2

B

C

D )

10.已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 1 ? a ln x 有两个极值点 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,则(

1 ? 2 ln 2 4 1 ? 2 ln 2 C. f ( x2 ) ? 4
A. f ( x2 ) ? ?

B. f ( x2 ) ?

1 ? 2 ln 2 4 1 ? 2 ln 2 D. f ( x2 ) ? 4

第Ⅱ 卷(非选择题 共 100 分)
二.填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在答题卡的相应位置.)
11.已知 sin 2?

? ? ? sin ? , ? ? ( , ? ) ,则 tan ? 的值是___ 2

_____. _____

12.已知向量 a ? ?1, 2 ? , b ? ? x, ?2 ? ,且 a ? a ? b ,则实数 x 等于__ 13.函数 f ( x) = 2 x - sin x 的零点个数为
a1 b1 a2 b2

?

?

个.
x 2 ?3 x x 1
1 x 3

14. 定义运算

? a1b2 ? a2b1,则函数 f ? x ? ?

的图象在点 ?1, ? 处的切线

? 1? ? 3?

方程是________________

、 B D 15 . 已 知 在 四 面 体 ABCD 中 , E、F 分 别 是 A C 的 中 点 , 若

CD ? 2 AB ? 4, EF ? AB ,则 EF 与 CD 所成的角为
16.数列 {an } 中相邻两项 an 与 an ?1 是方程 x2 ? 3nx ? bn ? 0 的两根,已知 a10 ? ?17 ,则 b51 等于______________

17.下列命题:①数列 ?an ?为递减的等差数列且 a1 ? a5 ? 0 ,设数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn , 则当 n ? 4 时, Sn 取得最大值;②设函数 f (x)=x2 +bx? c,则 x0 满足关于 x 的方程

2x ? b ? 0 的 充 要 条 件 是 对 任 意 x ? R 均 有 f ( x)?

f (0 x ; ) ③在长方体

A B CD
正弦值为

1

中, A B C D AB = BC = 2,AA1 = 1 ,直线 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的 1 1 1

10 ; ④ 定 义 在 R 上 的 函 数 y = f ( x) 满 足 f ( 5? x )? f ( ? x且 ) 5

(x -

5 / ) f ( x) > 0 ,已知 x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 是 x1 ? x2 ? 5 的充要条件. 2

其中正确命题的序号是

(把所有正确命题的序号都写上).

三、解答题:(本大题共 5 小题,共 65 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 18.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别是三内角 A 、 B 、 C 的对边,已知 b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc . (1)求角 A 的大小; (2)若 2sin 2

B C ? 2sin 2 ? 1 ,求角 B 的大小. 2 2

19. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 数 列 ?an ? 中 , a2 ? 1 是 a1 与 a3 的 等 差 中 项 , 设

x ? (1, 2), y ? (an , an?1 ) ,且满足 x / / y .
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 记数列 ?an ? 前 n 项的和为 S n , 若数列 ?bn ? 满足 bn ? an log2 (Sn ? 2) , 试求数列 ?bn ? 前

n 项的和 Tn .

20.(本小题满分 13 分)如图, C 、 D 是以 AB 为直径的圆上两点, AB ? 2 AD ? 2 3 ,

AC ? BC ,F 是 AB 上一点, 且 AF ?
的射影 E 在 BD 上,已知 CE ? 2 . (1)求证: AD ? 平面 BCE ; (2)求证: AD // 平面 CEF ; (3)求三棱锥 A ? CFD 的体积.

1 将圆沿直径 AB 折起, 使点 C 在平面 ABD AB , 3

21.(本小题满分 14 分) 据气象中心的观察和预测:发生于 M 地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速 度

(km / h) 与时间( t h) 的函数图像如图所示,过线段 OC 上一点 T (t , 0) 作横轴的垂线 l ,则 v
梯形 OABC 在直线 l 左侧部分的面积即为 t (h) 内沙尘暴所经过的路程 S (km) .

(1)当 t ? 4 时,求 S 的值; (2)将 S 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来; (3)若 N 城位于 M 地正南方向,且距 M 地为 650 km ,试判断这场沙尘暴是否会侵袭到 N 城.如果会,在沙尘暴发生多长时间后它将侵袭到 N 城;如果不会,请说明理由.

22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? ln

x ?1 x ?1

(Ⅰ)求函数的定义域,并证明 f ( x) ? ln

x ?1 在定义域上是奇函数; x ?1

(Ⅱ)对于 x ? [2, 6] , f ( x) ? ln
*

m 恒成立,求实数 m 的取值范围; ( x ? 1)(7 ? x)
2

(Ⅲ)当 n ? N 时,试比较 f (2) ? f (4) ? f (6) ? ... ? f (2n) 与 2n ? 2n 的大小关系.

教师版 湖北省黄冈中学 2015 届高三(上)期中考试 数学(文)试题
命题: 胡小琴 审题: 高三文科数学备课组

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第 I 卷(选择题 共 50 分)
一、 选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一个符合题目要求,请将正确选项的代号填入答题卡的相应位置. ) 1. 函数 f ( x) ? 2 ? x ? lg( x ? 1) 的定义域是 A. (??, 2] 【答案】 :C 2.已知 {an } 是等差数列, a1 ? a7 ? ?2, a3 ? 2 ,则 {an } 的公差 d ? A.- 1 【答案】 :C 3.在锐角△ ABC 中,角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c ,若 b ? 2 a sin B ,则角 A 等于 ( )
o A. 30
o B. 45

B. (2, ??)

C. (1, 2]

D. (1, ??)

(

)

B.- 2

C.- 3 又 a3 ? 2, d ? ?3

D.- 4

解析: a1 ? a7 ? 2a4 ? ?2 ? a4 ? ?1

C.

60o

D.

75o

【答案】 :A 4.已知函数 f ( x) ? A. (0,1) 【答案】 C

6 ? log 2 x ,在下列区间中,包含 f ( x) 的零点的区间是( x
B. (1, 2) C. (2, 4) D. (4, ??)

)

? x ?1 ? 5. 已知 x , y 满足 ? x ? y ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为( ?x ? 2 y ? 9 ?
A. 12 【答案】 :B B. 9 C. 6

)

D.

3

6.设 ? 、? 是两个不同的平面,l 、m 为两条不同的直线,命题 p :若平面 ? ∥ ? ,l ? ? ,

m ? ? ,则 l ∥ m ;命题 q : l ∥ ? , m ⊥ l , m ? ? ,则 ? ⊥ ? ,则下列命题为真命 题的是 ( ) A. p 或 q B. p 且 q C. ? p 或 q D. p 且 ? q 【答案】C
7.已知函数 f ( x) ? sin x ? ? cos x 的图象的一个对称中心是点 (

?

3

,0) ,则函数 g ( x) =

? sin x cos x ? sin 2 x 的图象的一条对称轴是直线 (
A. x ?
【答案】D 8.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 (

)

5? 6

B. x ?

4? 3

C. x ?

?
3

D. x ? ?

?
3



3

A.

(8 ? ? ) 3 6 (6 ? ? ) 3 6

B.

(8 ? 2? ) 3 6 (9 ? 2? ) 3 6

1

正视图

2

2 侧视图

C.

D.

俯视图

【答案】 :A 9.已知函数 f ( x) ? x ? 4 ?

9 , x ? (0, 4) ,当 x ? a 时, f ( x) 取得最小值 b ,则在直角 x ?1 1 a
x ?b

坐标系下函数 g ( x ) ? ( )

的图像为(



A 【答案】B

B

C

D

10.设函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 1 ? a ln x 有两个极值点 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,则(
2



1 ? 2 ln 2 4 1 ? 2 ln 2 C. f ( x2 ) ? 4
A. f ( x2 ) ? ? 【答案】D

1 ? 2 ln 2 4 1 ? 2 ln 2 D. f ( x2 ) ? 4
B. f ( x2 ) ?
2 x2 ? 2x ? a ,因为 f ( x) 有两个极值点 x1 , x2 , x

解析: f ( x) 的定义域为 ? 0, ?? ? ,求导得 f ' ( x) ?

1 所以 x1 , x2 是方程 2 x 2 ? 2 x ? a ? 0 的两根,又 x1 ? x2 ,且 x1 ? x2 ? 1 ,所以 ? x2 ? 1 2
2 2 又 a ? 2 x2 ? 2 x2 ,所以 f ? x2 ? ? ? x2 ?1? ? ? 2x2 ? 2x2 ? ln x2 , 2 2 ?1 ? 令 g (t ) ? ?t ?1? ? ? 2t ? 2t 2 ? ln t ? ? t ? 1? , g ' ?t ? ? 2 ?1 ? 2t ? ln t ? 0 ?2 ? 1 ? 2ln2 ?1 ? ? 1 ? 1 ? 2ln 2 所以 g (t ) 在 ? ,1? 上为增函数,所以 g ?t ? ? g ? ? ? ,所以 f ( x2 ) ? 4 4 ?2 ? ?2?

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、 填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在答题卡的相应位置.)

11.设 sin 2?

? ? ? sin ? , ? ? ( , ? ) ,则 tan ? 的值是________. 2

【答案】___ ? 3 ___
12.已知向量 a ?

?1, 2 ? , b ? ? x, ?2 ? ,且 a ? ? a ? b ? ,则实数 x 等于________

【答案】 9 解析: a ? b ? ?1 ? x, 4 ? ,由 a ? a ? b 得 1 ? x ? 8 ? 0 ,解得: x ? 9 13.函数 f ( x) = 2 x - sin x 的零点个数为 【答案】 1 【解析】 因为 f ' ? x ? ? 2 ? cos x ? 0 在 R 上恒成立,所以函数 f ? x ? ? 2x ? sin x 在 R 上 个.

?

?

单调递增.又因为 f ? 0? ? 0 ,所以函数 f ? x ? ? 2x ? sin x 只有一个零点 0. 14.定义运算
a1 b1 a2 b2

? a1b2 ? a2b1,则函数 f ? x ? ?

x 2 ?3 x 1 1x x 3

的图象在点 ?1, ? 处的切线方程是

? 1? ? 3?

________________ 【答案】: 6 x ? 3 y ? 5 ? 0 由定义可知 f ? x ? ?
x2 ?3 x x 1
1x 3

?

1 3 x ? x 2 ? x ,故 f ' ? x? ? x2 ? 2 x ?1 .则 f ' ?1? ? 2 .所以函 3 1 ? 2 ? x ? 1? ,化为一般式为 6 x ? 3 y ? 5 ? 0 , 3

数 f ? x ? 在点 ?1, ? 处的切线方程为 y ?

? 1? ? 3?

15.已知在四面体 ABCD 中, E、F 分别是 AC、BD 的中点,若 CD ? 2 AB ? 4, EF ? AB , 则 EF 与 CD 所成的角为______________

30 【答案】

取 AD 中点 G , 则取 AD 中点 G , 则E G /C DF ,G A /B

E F ? G?

9 ? 0



?FEG 为 EF 与 CD 所成的角。 EG ? 2, FG ? 1??FEG ? 30
16.数列 {an } 中相邻两项 an 与 an ?1 是方程 x2 ? 3nx ? bn ? 0 的两根, 已知 a10 ? ?17 , 则 b51 等于______________. 【答案】 5840 . 【解析】由韦达定理可知 an ? an?1 ? ?3n , an ? an?1 ? bn ,由 an ? an?1 ? ?3n ,有

an?1 ? an?2 ? ?3(n ? 1) ,故 an?2 ? an ? ?3 ,即 {a2 k } 为等差数列,公差为 d ? ?3 ,又 a10 ? ?17 ,故 a2 ? ?5 ,所以 a2k ? ?5 ? 3(k ? 1) ,故 a52 ? ?5 ? 3(26 ?1) ? ?80 , a51 ? ?3? 51 ? a52 ? 80 ?153 ? ?73 ,故 b51 ? a51 ? a52 ? ?73? (?80) ? 5840 .
17.下列命题:①数列 ?an ?为递减的等差数列, a1 ? a5 ? 0 ,设数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn , 则当 n ? 4 时, Sn 取得最大值;②设函数 f ( x)=x +bx? c则 x0 满足关于 x 的方程
2

2x ? b ? 0 的充要条件是任意 x 纬 R, f ( x)

f ( x0 ) ;③在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中,
10 ;④定义在 R 上 5

AB = BC = 2,AA1 = 1 , BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为

5 / 的 函 数 y = f ( x) 满 足 f ( 5 + x )= f ( x, ) ( x - ) f ( x) > 0 , 已 知 x1 ? x2 , 则 2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 是 x1 ? x2 ? 5 的充要条件.
其中正确命题的序号是 (把所有正确命题的序号都写上).

【答案】②③④ 对①,由 a1 ? a5 ? 2a3 ? 0 ,得 a3 ? 0 ,又数列 ?an ?单调递减,所以当 n ? 2 或 n ? 3 时,Sn 取得最大值,为假命题; 对③于连结 A1C1,设 A1C1
B1 D1 ? O ,连结 OB,由已知得 C1O ? 面 BB1D1D,∴ ?C1 BO 为

所求角,在 Rt△C1OB 中,得 sin ?C1 BO ?

10 . 5

三、解答题:(本大题共 5 小题,共 65 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 18、 (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别是三内角 A 、 B 、 C 的对边,已知 b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc . (1)求角 A 的大小;

(2)若 2sin 2

B C ? 2sin 2 ? 1 ,求角 B 的大小. 2 2 1 ? ,A? . 2 3

解: (1) b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2bc cos A ,又 b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc ,∴ cos A ?

B C ? 2sin 2 ? 1 ,∴ 1 ? cos B ? 1 ? cos C ? 1 2 2 2? ∴ cos B ? cos C ? 1, cos B ? cos( ? B) ? 1 , 3
(2)∵ 2sin 2 ∴ cos B ? cos ∴ sin( B ?

3 1 2? 2? sin B ? cos B ? 1 , cos B ? sin sin B ? 1 ,∴ 2 2 3 3

?
6

) ? 1 ,∵ 0 ? B ? ? ,∴ B ?

?
3

,C ?

?
3

18. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 数 列 ?an ? 中 , a2 ? 1 是 a1 与 a3 的 等 差 中 项 , 设

x ? (1, 2), y ? (an , an?1 ) ,且满足 x / / y .
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)记数列 ?an ? 前 n 项的和为 S n ,若数列 ?bn ? 满足 bn ? an log2 (Sn ? 2) ,试求数列 ?bn ? 前 n 项的和 Tn .

(1)

x // y

? an?1 ? 2an
2分

? 数列 {an } 是以公比为 2 的等比数列
又 an ? 1 是 a1 与 a3 的等差中项,? 2(a2 ? 1) ? a1 ? a3

? 2(2a1 ? 1) ? a1 ? 4a1
即 an ? 2 ? 2n?1 ? 2n (2) 由 an ? 2n

? a1 ? 2

4分 6分

? Sn ?

2? ( 1 ? n2 ) n ?1 ? 2 ?2 1? 2

7分

? Sn ? 2 ? 2n?1
?bn ? an log2 (Sn ? 2) ? 2n ? log2 2n?1 ? (n ? 1)2n
9分

Tn ? 2 ? 21 ? 3? 22 ? 2Tn ? 2 ? 22 ? 3? 23 ?

? n ? 2n?1 ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n ? (n ?1) ? 2n?1 ? 2n ? (n ? 1) ? 2n?1

??Tn ? 2 ? 21 ? 22 ? 23 ?

? 2 ? (21 ? 22 ?

? 2n ) ? (n ?1) ? 2n?1

2 ? (1 ? 2n ) ? 2? ? (n ? 1) ? 2n?1 ? ?n ? 2n ?1 1? 2

?Tn ? n ? 2n?1

12 分

19. (本题满分 13 分) 如图:C 、 D 是以 AB 为直径的圆上两点, AB ? 2 AD ? 2 3 , AC ? BC , F 是 AB 上 一点,且 AF ?

1 AB ,将圆沿直径 AB 折起,使点 C 在平面 ABD 的射影 E 在 BD 上,已 3

知 CE ? 2 . (1)求证: AD ? 平面 BCE ; (2)求证: AD // 平面 CEF ; (3) 求三棱锥 A ? CFD 的体积.

18 解: (1)证明:依题意: AD ? BD …………………………2 分 ∴ CE ? AD ……………2 分 ? CE ? 平面 ABD

? BD ? CE ? E ∴ AD ? 平面 BCE . ……………………………5 分 (2)证明: Rt?BCE 中, CE ? 2 , BC ? 6 ∴ BE ? 2 ………………………………6 分 Rt?ABD 中, AB ? 2 3 , AD ? 3 ∴ BD ? 3 . ……………………………………………………………………7 分 BF BE 2 ∴ . …………………………………………………………8 分 ? ? BA BD 3
∴ AD // EF ? AD 在平面 CEF 外 ∴ AD // 平面 CEF . …………………………………………………………10 分 (3)解:由(2)知 AD // EF , AD ? ED ,且 ED ? BD ? BE ? 1 ∴ F 到 AD 的距离等于 E 到 AD 的距离为 1.………………………………11 分 ∴ S ?FAD ?

1 3 . ……………………………………………………12 分 ? 3 ?1 ? 2 2

? CE ? 平面 ABD

∴ V A?CFD ? VC ? AFD ? 20.(本题满分 14 分)

1 1 3 6 . ……………14 ? S ?FAD ? CE ? ? ? 2? 3 3 2 6

据气象中心的观察和预测:发生于

M

地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速度 上一点

v (km / h)
梯形

与时间

t (h)
l

的函数图像如图所示,过线段

OC

T (t , 0)

作横轴的垂线 ,则

l

OABC

在直线 左侧部分的面积即为

t (h)

内沙尘暴所经过的路程

S (km)

.其中

t ?[0, 35]

(1)当 (2)将 (3)若

t?4 S N

时,求

S

的值;

随 变化的规律用数学关系式表示出来;

t

城位于

M

地正南方向,且距

M

地为

650km N

,试判断这场沙尘暴是否会侵袭到 城;如果不会,请说明理由.

N

城.如果会,在沙尘暴发生多长时间后它将侵袭到

解:(1)由图像可知,当 t=4 时,v=3×4=12, 1 所以 S=2×4×12=24 km. 1 3 (2)当 0≤t≤10 时,S=2·t·3t=2t2; 1 当 10<t≤20 时,S=2×10×30+30(t-10)=30t-150; 1 1 当 20<t≤35 时,S=2×10×30+10×30+(t-20)×30-2×(t-20)×2(t-20)=-t2+70t-550. 3 ? ?2t2,t∈[0,10], 综上可知,S=? 30t-150,t∈(10,20], ? ?-t2+70t-550,t∈(20,35]. 3 (3)因为当 t∈[0,10]时,Smax=2×102=150<650, 当 t∈(10,20]时,Smax=30×20-150=450<650,

所以当 t∈(20,35]时,令-t2+70t-550=650,解得 t1=30,t2=40.因为 20<t≤35,所以 t =30. 故沙尘暴发生 30 h 后将侵袭到 N 城. 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? ln

x ?1 x ?1 x ?1 在定义域上是奇函数; x ?1

(Ⅰ)求函数的定义域,并证明 f ( x ) ? ln

(Ⅱ)对于 x ? [2, 6] f ( x) ? ln

m 恒成立,求实数 m 的取值范围; ( x ? 1)(7 ? x)
2

(Ⅲ)当 n ? N 时,试比较 f (2) ? f (4) ? f (6) ? ... ? f (2n) 与 2n ? 2n 的大小关系.
*

21.解: (Ⅰ)由

x ?1 ? 0 ,解得 x ? ?1 或 x ? 1 , x ?1

∴ 函数的定义域为 (??, ?1) 当 x ? (??, ?1)

(1, ??)

…………………2 分

(1, ??) 时,

f (? x) ? ln

?x ?1 x ?1 x ? 1 ?1 x ?1 ? ln ? ln( ) ? ? ln ? ? f ( x) ?x ?1 x ?1 x ?1 x ?1
x ?1 在定义域上是奇函数。 x ?1
x ?1 m ? ln 恒成立, x ?1 ( x ? 1)(7 ? x)
…………….4 分

∴ f ( x ) ? ln

(Ⅱ)由 x ? [2,6] 时, f ( x) ? ln



x ?1 m ? ? 0, x ? [2, 6] x ? 1 ( x ? 1)(7 ? x)
………………………6 分

∴ 0 ? m ? ( x ? 1)(7 ? x) 在 x ? [2, 6] 成立
2

令 g ( x) ? ( x ? 1)(7 ? x) ? ?( x ? 3) ? 16 , x ? [2, 6] ,由二次函数的性质可知

x ? [2,3] 时函数单调递增, x ? [3, 6] 时函数单调递减,

x ? [2, 6] 时, g ( x)min ? g (6) ? 7
∴0 ? m ? 7 (Ⅲ) f (2) ? f (4) ? f (6) ? ??? ? f (2n) = ln ? ? ………………….8 分

3 5 7 2n ? 1 ????? ? ln(2n ? 1) 1 3 5 2n ? 1

………9 分

证法一:构造函数 h( x) ? ln(1 ? x) ? ( x ?

x2 1 ? x2 ? 2 x )( x ? 0) ,h?( x) ? ? x ?1 ? 2 x ?1 x ?1 x2 ) 在 (0, ??) 单调递减, 2
…………………11 分
2 ?l n ( 1 ? n2 ? ) n 2? n 2 …….12 分

当 x ? 0 时, h?( x) ? 0 ,∴ h( x) ? ln(1 ? x) ? ( x ?

? h( x) ? h(0) ? 0
当 x ? 2n ( n ? N )时, ln(1 ? 2n) ? (2n ? 2n2 ) ? 0
?

证法二:构造函数 h( x) ? ln x ? ( x ? 1)( x ? 1) ,证明: ln x ? x ? 1 在 x ? [1, ??) 成立,则当

x ? 2n ? 1(n ? N ? ) 时, ln(2n ? 1) ? 2n ? 2n2 ? 2n 成立.


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