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平面向量基本定理(教师版)


一.复习引入

⒈实数与向量的积:实数λ 与向量 a 的积是一个向量,记作:λ a

?

?

课堂练习:
? ?
1.已知矢量 a = e1-2e2,b =2e1+e2,其中 e1、e2 不共线,则 a+b 与 c =6e1-2e2 的关系 A.不共线 B.共线 C.相等 D.

无法确定

(1)|λ a |=|λ || a |; (2)λ >0 时λ a 与 a 方向相同;λ <0 时λ a 与 a 方向相反;λ =0 时

?

?

?

?

? λ a =0
2.运算定律 结合律:λ (μ a )=(λ μ ) a ;

2.已知向量 e1、e2 不共线,实数 x、y 满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则 x-y 的值等于( ) A.3 B.-3
???

C.0

D.2

?

?

? ? ? ? ? ? ? 分配律:(λ +μ ) a =λ a +μ a , λ ( a + b )=λ a +λ b
3.向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ ,使 b

3、点 C 在线段 AB 上,且 AC ? A、
2 3

B、

?

?

?

3 2
?

??? ??? 3 ??? AB , AC ? ? BC ,则 ? 等于( 5 2 3 A C、D、3 2


B

? =λ a .
? ? ??? ? 4.由题: 已知向量 e1 , e2 , 作出向量 OA ? 2 e1 ? 3 e2 与 ? ? ??? ? OB ? 2 e1 ? (?3 e2 ) ? ?

4、设两非零向量 e1 , e2 不共线,且 k e1 ? e2 与 e1 ? k e2 共线,则 k 的值为(
A.1 B. ? 1 C. ? 1 D. 0

?

?

?

?

?

) 。

?

e2

?

e1

5.如果向量 ? e1 ? e2 与 e1 ? ? e2 共线,求 ? . → → → 6.设 a、b 是不共线的两个非零向量,已知AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b.若 A、B、D 三点共线,则 p 的值为( )

? ?? ? ?

? ?

?? ?

引入 二.新课讲解 1.平面向量基本定理:

如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量 a ,有且 只有一对实数 a1 , a2 使 a ? a1 e1 ? a2 e2 .其中我们把不共线的向量 e1 , e2 叫做表示这一平 面所有向量的一组基底,记为 e1 ,e2 , a1 e1 ? a2 e2 叫做向量 a 关于基底 e1 ,e2 的分解式。

?

?

?

A.1 C.-2 [答案] D

B.2 D.-1

?

?

? ? 注:① e1 , e2 均非零向量; ? ? ② e1 , e2 不唯一(事先给定) ; ③ ?1 , ?2 唯一; ? ? ? ? ? ? ④ ?2 ? 0 时, a 与 e1 共线; ?1 ? 0 时, a 与 e2 共线; ?1 ? ?2 ? 0 时, a ? 0 . ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ⑤一个平面向量用一组基底 e1 , e2 表示成 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 的形式,称它为向量 a 的 ? ?? ?? ? 分解.当 e1 , e2 所在直线互相垂直时这种分解称为 a 的正交分解.

? ?

?

? ?

→ → → → [解析] BD=BC+CD=2a-b,AB=2a+pb,由 A、B、D 三点共线知,存在实数 λ ,使 2a+pb=2λ a-λ b,
? ?2λ =2 ∵a、b 不共线,∴? ?p=-λ ?

,∴p=-1.

7.已知平行四边形 OADB 的对角线交于点 C,且 BM ?

???? ?

???? ???? ? OB ? e2 ,试用基底 e1 ,e2 表示 OM , ON .

? ?

? ? 1 ??? ???? 1 ??? BC , CN ? CD .如果 OA ? e1 3 3

B M C O

D N A

8(1)如图, OA , OB 不共线, AP =t AB (t?R)用 OA , OB 表示 OP .

OB (2)设 OA、 不共线,点 P 在 O、A、B 所在的平面内,且
??? ? ??? ??? ? ? OP ? (1 ? t )OA ? tOB(t ? R) .求证:A、B、P 三点共线.

??? ?? ? ?


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