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全国中学生数学竞赛二试模拟训练题(30)


加试模拟训练题(30)
1、 设 ABCDEF 是凸六边形,满足 AB=BC=CD, DE=EF=FA,∠BCD=∠EFA=60?.设 G 和 H 是这六边形 内部的两点,使得∠AGB=∠DHE∠120? 试证:AG+GB+GH+DH+HE≥CF.

2. 设 a ? 0, n ? N , 求证

1 ? a 2 ? a 4 ?

? ? a 2n n ? 1 ? n a ? a 3 ? ? ? a 2 n ?1

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3、 设有两个完全相同的齿轮 A、B,B 被平放在一个水平面上,A 放在 B 上面并使两者完全 重合(从而两者在水平面上的投影完全重合), 然后任意去掉四对重合的齿. 如果两齿轮各有 14 个齿,试问:能否将齿轮 A 绕两齿轮的公共轴旋转一个适当的位置,使得两齿轮在水平 面上的投影合为一个完整齿轮的投影?如果两齿轮各原有 13 个齿,又是怎样呢?请证明你 的论断.

4.求出最小正整数 n,使其恰有 144 个不同的正因数,且其中有 10 个连续整数.

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加试模拟训练题(30)
1、 设 ABCDEF 是凸六边形,满足 AB=BC=CD, DE=EF=FA,∠BCD=∠EFA=60?.设 G 和 H 是这六边形内部的两点,使得∠AGB=∠ DHE∠120? 试证:AG+GB+GH+DH+HE≥CF. 【题说】 第三十六届(1995 年)国际数学奥林匹克题 5. 【证】 连 BD,AE.由于 BC=CD,∠BCD=60?,所以 BD=BC=AB.同样 AE=ED. 连 BE,则 A、D 关于 BE 对称.设 G、H 关于 BE 的对 称点分别为 G'、H'.则△BG'D 与△BGA 关于 BE 对称, 所以∠BG'D=∠BGA=120?,G'在正三角形 BCD 的外接圆上. 熟知 CG'=DG'+G'B=AG+GB 同理 HF=AH'+H'E=DH+HE 因此 AG+GB+GH+DH+HE=CG'+G'H'+H'F≥CF

1 ? a 2 ? a 4 ? ? ? a 2n n ? 1 2. 设 a ? 0, n ? N , 求证 ? n a ? a 3 ? ? ? a 2 n ?1

证明 设数列 {a n } 的通项公式为
an ? 1 ? a 2 ? a 4 ? ? ? a 2n 1 ?1? 3 2 n ?1 n a ? a ??? a

?

1 1 ? a ?1? . 2 n ?1 n a ? a ??? a
3

则 a n ?1 ? a n
?
?

1 1 1 1 ? a ?1? ? ? a ?1? 2 n ?1 2 n ?1 3 2 n ?1 n ?1 a ? a ??? a n a ? a ??? a ?a
3

? a 2 n ?1 1 ? 3 2 n ?1 2 n ?1 3 2 n ?1 n(n ? 1) (a ? a ? ? ? a ? a )( a ? a ? ? ? a )

由 a ? a 3 ? ? ? a 2 n ?1 ? a 2 n ?1 ? (n ? 1)n ?1 a ? a 3 ?? ? a 2 n ?1 ? (n ? 1)a n?1 .
a ? a 3 ? ? ? a 2 n ?1 ? nn a ? a 3 ?? ? a 2 n ?1 ? nan .



? a 2 n ?1 1 . ?? 3 2 n ?1 2 n ?1 3 2 n ?1 n(n ? 1) (a ? a ? ? ? a ? a )( a ? a ? ? ? a )

故 a n ?1 ? a n ? 0 .

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所以数列 {a n } 为单调递增数列,又 a1 ?

1? a2 (1 ? a) 2 ?2? ? 0. a a

所以 an ? 0. 即

1 ? a 2 ? a 4 ? ? ? a 2n n ? 1 . ? n a ? a 3 ? ? ? a 2 n ?1

3、 设有两个完全相同的齿轮 A、B,B 被平放在一个水平面上,A 放在 B 上面并使两者完全 重合(从而两者在水平面上的投影完全重合), 然后任意去掉四对重合的齿. 如果两齿轮各有 14 个齿,试问:能否将齿轮 A 绕两齿轮的公共轴旋转一个适当的位置,使得两齿轮在水平 面上的投影合为一个完整齿轮的投影?如果两齿轮各原有 13 个齿,又是怎样呢?请证明你 的论断. 【题说】第五届(1990 年)全国冬令营选拔赛题 5. 【解】将每个断齿赋值“0” ,好齿赋值“1” .对 A 齿轮的每个位置,作两轮对应位置齿值的 乘积之和, 初始位置除外的 13 个位置总和为 10×9=90<13×7, 故必有一个位置的和≤6. 此 时必定任二断齿不相重合. 当齿数为 13 时,将 A、B 重合时各对齿依顺时针记为 0,1,?,12.锯掉 0,1,5,11 四 对齿.0,1,5,11 两两之差恰取遍 1,2,?,12(mod 13).故对 A 的任一位置总有两个断 齿重合,始终得不到完整的投影. 4.求出最小正整数 n,使其恰有 144 个不同的正因数,且其中有 10 个连续整数. (第 26 届 IMO 预选题) 【解】根据题目要求,n 是 10 个连续整数积的倍数,因而必然能被 2,3,?,10 整数. 由于 8=23,9=32,10=2×5,故其标准分解式中,至少含有 23·32·5·7 的因式,因此,若 设

n ? 2?1 ? 3? 2 ? 5?3 ? 7? 4 ? 11?5 ?,

则 ?1 ? 3,? 2 ? 2,? 3 ? 1,? 4 ? 1. 由

(?1 ? 1)(? 2 ? 1)(? 3 ? 1)(? 4 ? 1) ? ? 144 , 而 (? 1 ? 1)(? 2 ? 1)(? 3 ? 1)(? 4 ? 1) ? 4 ? 3 ? 2 ? 2 ? 48, 故

最多还有一个 ? j ? 0( j ? 5), 且? j ? 2, 为使 n 最小,自然宜取 2 ? ? 5 ? 0. 由
(?1 ? 1)(? 2 ? 1)(?3 ? 1)(? 4 ? 1)(?5 ? 1) ? 144 (?5 ? 0时)或(?1 ? 1)(? 2 ? 1)(?3 ? 1)(? 4 ? 1) ? 144 (?5 ? 0时)

,



虑 144 的可能分解,并比较相应 n 的大小,可知合乎要求的(最小) ?1 ? 5,? 2 ? 2,

? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? 1, 故所求的 n ? 25 ? 32 ? 5 ? 7 ? 11 ? 110880 .

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