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高中数学 圆的方程知识点题型归纳


教师姓名

学生姓名

填写时间

2013.8.1 2013-08-1

年级

学科

数学

上课时间 08:00-10:00

1

第( 阶段 基础( ) 提高(√)强化( ) 课时计划 共



)次课 )次课

教学目标

重难点

课后作业: 完成课后作业

教师评语 及建议: 科组长签名:

第一讲
一、知识清单
(一)圆的定义及方程
定义

圆的方程

平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)

2

标准 方程 一般 方程

(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)

圆心:(a,b),半径:r D E? 圆心:? ?- 2 ,- 2 ?, 1 半径: D2+E2-4F 2

x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0)

1、圆的标准方程与一般方程的互化 (1) 将圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 展开并整理得 x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0, 取 D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,得 x2+y2+Dx+Ey+F=0. (2)将圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 通过配方后得到的方程为: D2+E2-4F D E (x+ )2+(y+ )2= 2 2 4 D E 1 ①当 D2+E2-4F>0 时,该方程表示以(- ,- )为圆心, D2+E2-4F为半径的圆; 2 2 2 D E D E ②当 D2+E2-4F=0 时, 方程只有实数解 x=- , y=- , 即只表示一个点(- , - ); 2 2 2 2 ③当 D2+E2-4F<0 时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形. 2、圆的一般方程的特征是:x2 和 y2 项的系数 都为 1 ,没有 xy 的二次项. 3、圆的一般方程中有三个待定的系数 D、E、F,因此只要求出这三个系数,圆的方程就确 定了.

(二)点与圆的位置关系
点 M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2 的位置关系: (1)若 M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)2+(y0-b)2>r2. (2)若 M(x0,y0)在圆上,则(x0-a)2+(y0-b)2=r2. (3)若 M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)2<r2.

(三)温馨提示
1、方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的条件是: (1)B=0; (2)A=C≠0; (3)D2+E2-4AF>0. 2、求圆的方程时,要注意应用圆的几何性质简化运算. (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上. (2)圆心在任一弦的中垂线上. (3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.
3

3、中点坐标公式:已知平面直角坐标系中的两点 A(x1,y1),B(x2,y2),点 M(x,y)是线段 AB 的中点,则 x=

x1 ? x2 y ? y2 ,y= 1 . 2 2

二、典例归纳
考点一:有关圆的标准方程的求法
2 【例 1】 圆 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? m ? m ? 0 ? 的圆心是 2 2

,半径是

.

【例 2】 点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4 内,则实数 a 的取值范围是( A.(-1,1) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(0,1) D.(1,+∞)

)

【例 3】 圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为( A.x2+(y-2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 B.x2+(y+2)2=1 D.x2+(y-3)2=1

)

【例 4】 圆(x+2)2+y2=5 关于原点 P(0,0)对称的圆的方程为( A.(x-2) +y =5 C.(x+2)2+(y+2)2=5
2 2

)

B.x +(y-2) =5 D.x2+(y+2)2=5

2

2

【变式 1】已知圆的方程为 ? x ? 1?? x ? 2? ? ? y ? 2?? y ? 4? ? 0 ,则圆心坐标为

2 【变式 2】已知圆 C 与圆 ? x ? 1? ? y ? 1 关于直线 y ? ? x 对称,则圆 C 的方程为 2

【变式 3】 若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3y=0 和 x 轴都相切,则该 圆的标准方程是( ) B.(x-2)2+(y-1)2=1 3 x- ?2+(y-1)2=1 D.? ? 2?

7 y- ?2=1 A.(x-3)2+? ? 3? C.(x-1)2+(y-3)2=1

【变式 4】已知 ?ABC 的顶点坐标分别是 A ? ?1,5? , B ? 5,5? , C ? 6, ?2 ? ,求 ?ABC 外接
4

圆的方程.

方法总结: 1.利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于 a,b,r 的方程组. 2.利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程,体现了数形 结合思想的运用.

考点二、有关圆的一般方程的求法
【例 1】 若方程 x2+y2+4mx-2y+5m=0 表示圆,则 m 的取值范围是( 1 A . <m<1 4 1 B.m< 或 m>1 4 1 C.m< 4 )

D.m>1

【例 2】 将圆 x2+y2-2x-4y+1=0 平分的直线是( A.x+y-1=0 B.x+y+3=0

) D.x-y+3=0

C.x-y+1=0

【例 3】 圆 x2-2x+y2-3=0 的圆心到直线 x+ 3y-3=0 的距离为________.

【变式 1】 已知点 P 是圆 C : x2 ? y 2 ? 4 x ? ay ? 5 ? 0 上任意一点,P 点关于直线

2 x ? y ? 1 ? 0 的对称点也在圆 C 上,则实数 a =

【变式 2】 已知一个圆经过点 A ? 3,1? 、 B ? ?1,3? ,且圆心在 3x ? y ? 2 ? 0 上,求圆的方 程.

【变式 3】 平面直角坐标系中有 A? 0,1? , B ? 2,1? , C ?3,4? , D ? ?1,2? 四点,这四点能否在同 一个圆上?为什么?

【变式 4】 如果三角形三个顶点分别是 O(0,0),A(0,15),B(-8,0),则它的内切圆方程为
5

________________.

方法总结: 1.利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于 D,E,F 的方程组. 2.熟练掌握圆的一般方程向标准方程的转化

考点三、与圆有关的轨迹问题
【例 1】动点 P 到点 A(8,0)的距离是到点 B(2,0)的距离的 2 倍, 则动点 P 的轨迹方程为( A.x +y =32 C.(x-1)2+y2=16
2 2

)

B.x +y =16 D.x2+(y-1)2=16

2

2

【例 2】 方程 y ? ? 25 ? x2 表示的曲线是( A. 一条射线 B. 一个圆

) D. 半个圆

C. 两条射线

【例 3】 在 ?ABC 中,若点 B, C 的坐标分别是(-2,0)和(2,0) ,中线 AD 的长度是 3,则 点 A 的轨迹方程是( ) A. x2 ? y 2 ? 3 C. x ? y ? 9 ? y ? 0?
2 2

B. x ? y ? 4
2 2

D. x ? y ? 9 ? x ? 0?
2 2

1 【例 4】 已知一曲线是与两个定点 O(0,0),A(3,0)距离的比为 的点的轨迹.求这个曲线的 2 方程,并画出曲线.

【变式 1】 方程 x ? 1 ? 1 ? ? y ? 1? 所表示的曲线是(
2

) D. 两个半圆

A. 一个圆

B. 两个圆

C. 一个半圆

【变式 2】 动点 P 到点 A(8,0)的距离是到点 B(2,0)的距离的 2 倍,则动点 P 的轨迹方程为 ( ) A.x2+y2=32 C.(x-1)2+y2=16
6

B.x2+y2=16 D.x2+(y-1)2=16

【变式 3】 如右图,过点 M(-6,0)作圆 C:x2+y2-6x-4y+9=0 的割线,交圆 C 于 A、B 两点,求线段 AB 的中点 P 的轨迹.

【变式 4】 如图,已知点 A(-1,0)与点 B(1,0),C 是圆 x2+y2=1 上的动点,连接 BC 并延 长至 D,使得|CD|=|BC|,求 AC 与 OD 的交点 P 的轨迹方程.

方法总结:求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法: (1)直接法:根据题目条件,建立坐标系,设出动点坐标,找出动点满足的条件,然后化 简. (2)定义法:根据直线、圆等定义列方程. (3)几何法:利用圆与圆的几何性质列方程. (4)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等.

考点四:与圆有关的最值问题
【例 1】 已知圆 x2+y2+2x-4y+a=0 关于直线 y=2x+b 成轴对称,则 a-b 的取值范围 是________

y-2 【例 2】 已知 x,y 满足 x2+y2=1,则 的最小值为________. x-1
7

【例 3】已知点 M 是直线 3x+4y-2=0 上的动点, 点 N 为圆(x+1)2+(y+1)2=1 上的动点, 则|MN|的最小值是( 9 A. 5 B.1 ) 4 C. 5 13 D. 5

【例 4】已知实数 x,y 满足(x-2)2+(y+1)2=1 则 2x-y 的最大值为________,最小值为 ________. 【变式 1】 P(x,y)在圆 C:(x-1)2+(y-1)2=1 上移动,则 x2+y2 的最小值为________. 【变式 2】 由直线 y=x+2 上的点 P 向圆 C:(x-4)2+(y+2)2=1 引切线 PT(T 为切点),当 |PT|最小时,点 P 的坐标是( A.(-1,1) B.(0,2) ) C.(-2,0) D.(1,3)

【变式 3】 已知两点 A(-2,0),B(0,2),点 C 是圆 x2+y2-2x=0 上任意一点,则△ABC 面 积的最小值是________.

【变式 4】已知圆 M 过两点 C(1,-1),D(-1,1),且圆心 M 在 x+y-2=0 上. (1)求圆 M 的方程; (2)设 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点,PA、PB 是圆 M 的两条切线,A,B 为切点, 求四边形 PAMB 面积的最小值.

方法总结:解决与圆有关的最值问题的常用方法 y-b (1)形如 u= 的最值问题,可转化为定点(a,b)与圆上的动点(x,y)的斜率的最值问题 x-a (2) 形如 t=ax+by 的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题; (3)形如(x-a)2+(y-b)2 的最值问题,可转化为动点到定点的距离的最值问题. (4)一条直线与圆相离,在圆上找一点到直线的最大(小)值: d ? r (其中 d 为圆心到 直线的距离)
8


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