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2019届高二上学期期中考试试卷含答案解析(理科数学)


2019 届高二上学期期中考试

6.执行如图所示的程序框图,若输入的 x ? ?5 ,则输出的 y ? ( A. 2 C. 10 B. 4 D. 28



理科数学

本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。考试结束后,请将答题卡上交。满分 150 分,考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的学校、姓名、班级、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。 3.非选择题的作答:用黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸 上无效。 4.考生务必保持答题卡的整洁。

7.已知函数

f ( x) 在 (??, ? ?) 单调递减,且为奇函数。若 f (1) ? ?1 ,
) D. [1 , 3] )

则满足 ? 1 ? f ( x ? 2) ? 1 的 x 的取值范围是(

2] A. [?2,

1] B. [ ?1,

C. [0, 4]

8.函数 f ? x ? ? 2 x ? tan x在 ? ?

? ? ?? , ? 上的图象大致为( ? 2 2?

第I卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 ) 1.已知集合 A ? {x | x 2 ? 4 x ? 3 ? 0}, B ? { y | y ? x 2,x ? R},则 A ? B ? ( A. ? 2.若 a
3 = 32 , b
5 = 32

9.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3,则正视图中 x 的值为( ) A.



9 2

B. 3

C. 2

D.

3 2

B. [0,1) ? (3, ??) , c = log0.5 3 ,则( B. b < a < c )

C. (1,3)

D. (0,3)

10.已知两个不同的平面 ? 、 ? 和两个不重合的直线 m 、 n , 有下列四个命题: ①若 m ∥ n , m ? ? ,则 n ? ? ;
x

A. c < a < b

C. b < c < a )

D. a < b < c

②若 m ? ? ,m ? ? ,则 ? ∥ ? ; ③若 m ? ? ,m ∥ n , n ? ? ,则 ? ? ? ;

2 正视图

1

1

侧视图

3.下列函数中,既是偶函数,又在区间 (0, ??) 上单调递减的是( A. y ? ? x2 ? 1 B. y ? lg x C. y ?

1 x

D. y ? e x ? e? x ) D. ? 2 )

④若 m ∥? , ? ? ? ? n ,则 m ∥ n , 其中正确命题的个数是( A. 3 B. 2 ) C. 1

俯视图

1 4.已知直线 ax ? y ? 1 ? a ? 0 与直线 x ? y ? 0 平行,则 a 的值是( 2
A. 1 B. ? 1 C. 2

(第 9 题图)

D. 0

5.在等比数列 ?an ?中, a1 ? a3 ? a5 ? 21, a2 ? a4 ? a6 ? 42 ,则数列 ?an ? 的前 9 项的和 S9 ? ( A. 255 B. 256 C. 511 D. 512

理科数学试卷·第 1 页(共 6 页 )

理科数学试卷·第 2 页(共 6 页)

11.设方程 x ? 2
3

2? x

的解为 x0 ,则 x0 所在的区间是( B. (1,2)

) D. (3,4)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。 17.(本小题满分 10 分) 已知数列 ?an ? 是等比数列,且满足 a1 ? 3 , a4 ? 24 ,数列 ?bn ? 是等差数列,且满足 b2 ? 4 ,

A. (0,1)

C. (2,3)

0) , B( 3, 3) , C(2 3, 0) ,平面 ABC 内的动点 P , M 满足 AP ? 1 , PM ? MC , 12.已知 A(0,
则 A.

BM

2

b4 ? a3 .
(Ⅰ)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ? an ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 S n .

的最大值是( B.



37 ? 2 33 4

37 ? 6 33 4

C.

43 4

D.

49 4

第 II 卷(非选择题

共 90 分)
18.(本小题满分 12 分) 某同学用“五点作图法”画函数 f ( x) ? A sin(?x ? ?) 在某一个周期的图象时,列表并填入的部 分数据如下表:

注意事项:用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上作答,答案无效. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在答题卡相应位置。

?x ? 0 ? 13.已知实数 x, y 满足不等式组 ? y ? ?2 ,则 2 x ? y 的最大值是___________. ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?

x
??? ? ??? ? ??? ? 14. 已知向量 OA ? (1, ?3) , 若 A, B, C 三点共线, 则实数 k 的值 OB ? (2, ?1) , OC ? (k , k ? 2) ,
.

2? 3
0 0

x1

?x ? ?
A sin(?x ? ? )

?a x , x ? 0 f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x ) ? 15.已知函数 满足对任意 x1 ? x2 ,都有 ? 0 成立,则 a 的取 ? x1 ? x2 ?(a ? 3) x ? 4a, x ? 0
值范围是 .

? 2
2

8? 3

x2
3? 2
?2

x3
2? 0

?
0

(Ⅰ)求 x1 , x2 , x3 的值及函数 f ( x) 的表达式; (Ⅱ)将函数 f ( x) 的图象向左平移 ? 个单位,可得到函数 g ( x) 的图象,求函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在 区间 (0,

, 4) , 则 a ? b 最小值为___________. 16.已知直线 ax ? by ? 2ab ? 0(a ? 0,b ? 0) 过点 (1

5? ) 上的最小值.菁优网版权所有 3

19.(本小题满分 12 分)
理科数学试卷·第 3 页(共 6 页 ) 理科数学试卷·第 4 页(共 6 页)

已 知 ?A B C 中 , 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 且 C ?

?
3

, 设 向 量 m ? (a, b) , 21.(本小题满分 12 分) 已知圆 C 过两点 M (?3,3) , N (1,?5) ,圆心 C 在直线 2 x ? y ? 2 ? 0 上. (Ⅰ)求圆 C 的标准方程; (Ⅱ)直线 l 过点 (?2,5) 且与圆 C 有两个不同的交点 A , B ,若直线 l 的斜率 k 大于 0 ,求 k 的取值 范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否存在直线 l 使得弦 AB 的垂直平分线过点 P(3,?1) ,若存在,求出直线

n ? (sin B, sin A) , p ? (b ? 2, a ? 2) .
(Ⅰ)若 m ∥ n ,求 B ; (Ⅱ)若 m ? p , S ?ABC ? 3 ,求边长 c .

l 的方程;若不存在,请说明理由.

20.(本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? AB , PA ? BC , AB ? BC , PA ? AB ? BC ? 2 , D 为线 段 AC 的中点, E 为线段 PC 上一点. (Ⅰ)求证: 平面BDE ? 平面PAC ; (Ⅱ)若 PA∥ 平面BDE ,求三棱锥 E ? BCD 的体积

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?

2x ,数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an?1 ? f (an ) . 3x ? 2

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? an an?1 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n ,若 S n ? 求最小的正整数 m 的值.

m ? 2016 对一切正整数 n 都成立, 2

理科数学试卷·第 5 页(共 6 页 )

理科数学试卷·第 6 页(共 6 页)

S n ? (3 ? 6 ? ? ? 3 ? 2n ?1 ) ? [0 ? 4 ? 8 ? ? ? (4n ? 4)]

2019 届高二上学期期中考试

理科数学参考答案
第 I 卷(选择题)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 ) 题号 答案 1 C 2 A 3 A 4 D 5 C 6 B 7 D 8 C 9 B 10 A 11 B 12 D

1 ? 2 n n(4n ? 4) ? 1? 2 2 n ? 3 ? (2 ? 1) ? n(2n ? 2) ? 3? ? 3 ? 2 n ? 3 ? 2n 2 ? 2n
18.(本小题满分 12 分)网版权所有权所有

??10 分

? 2? ? ?? ? 0 ? ? 3 解: (1)由 ? ? 8? ? ? ? ? ? ? ?3


解得: ? ?

1 ? ,? ? ? , 2 3

第 II 卷(非选择题
13. 6 15. 14. 3 16.

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在答题卡相应位置。

1 (0, ] 4

9 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。 17.(本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)设等比数列 ?an ?的公比为 q ,由题意,得 q ?
3

a4 24 ? ? 8 ,解得: q ? 2 . a1 3

∴ an ? a1qn?1 ? 3? 2n?1

∴ a3 ? 12 ∴d ? 4, ??6 分
n?1

设等差数列 ?an ?的公差为 d ,∵ b2 ? 4,b4 ? b2 ? 2d ? 12 ∴ bn ? b2 ? (n ? 2)d ? 4 ? (n ? 2) ? 4 ? 4n ? 4 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? 3 ? 2 从而数列 ?cn ?的前 n 项和
n?1

1 ? ? 1 ? 3? 1 ? x1 ? ? , x2 ? ? , x3 ? ? 2? 可得: 2 3 2 2 3 2 2 3 5? 11? 14? x1 ? , x2 ? , x3 ? , 3 3 3 1 5? ? ? ) ? 2 ,∴ A ? 2 . 又∵ A sin( ? 2 3 3 1 ? ∴ f ( x ) ? 2 sin( x ? ) ??6 分 2 3 1 ? 1 1 ? 1 ? (2)由题意得: g ( x) ? 2 sin[ ( x ? ? ) ? ] ? 2 sin( x ? ? ? ) ? 2 cos( x ? ) 2 3 2 2 3 2 3 1 ? 1 ? 2? ) ∴ y ? f ( x) ? g ( x) ? 2 ? 2 sin( x ? ) cos( x ? ) ? 2 sin( x ? 2 3 2 3 3 5? 2? 2? ? (? ,? ) ∵ x ? (0, ) 时, x ? 3 3 3 2? ? ? ? ? 时,即 x ? 时, ymin ? ?2 ∴当 x ? ?? 12 分 3 2 6
20.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)∵ m ∥ n
2

∴ a sin A ? b sin B
2

, bn ? 4n ? 4 ,因此 cn ? an ? bn ? 3? 2

? (4n ? 4) .

由正弦定理得: a ? b 又∵ c ?

即a ? b

?
3

∴ ?ABC 为等边三角形 ∴ m? p ? 0

B?

?
3

??6 分

(Ⅱ)∵ m ? p ∴ a ? b ? ab 又 S ?ABC ?
理科数学试卷·第 7 页(共 6 页 )

即 a(b ? 2) ? b(a ? 2) ? 0

1 ab sin C ? 3 2

C?

?
3
理科数学试卷·第 8 页(共 6 页)

2 3 ∴ ab ? ?4 sin C
2 2

a?b ? 4
2 2 2 2

由题意: d ? 5 即: 8k 2 ? 15k ? 0 , ∴ k ? 0 或 k ? 又∵ k ? 0 , ∴ k 的取值范围是 (

15 , 8
??8 分

由余弦定理得: c ? a ? b ? 2abcosC ? a ? b ? ab ? (a ? b) ? 3ab ? 4 , ∴c ? 2 20.(本小题满分 12 分) 解及证: (Ⅰ) ∵ PA ? AB ,PA ? BC 又∵ BD ? 平面ABC ∴ PA ? 平面ABC ??12 分

15 , ? ?) ; 8

(Ⅲ)假设符合条件的直线 l 存在,则 AB 的垂直平分线方程为: y ? 1 ? ? 即: x ? ky ? k ? 3 ? 0 ,

1 ( x ? 3) k

∴ PA ? BD ∴ BD ? AC

, 0) ,∴ k ? 2 ? 0 ,即 k ? 2 . ∵弦的垂直平分线过圆心 (1
∵k ? 2 ?

∵ AB ? BC , D 为 AC 中点 又∵ PA ? AC ? A 又∵ BD ? 平面BDE

∴ BD ? 平面PAC ∴ 平面BDE ? 平面PAC ∴ PA ∥ DE ??6 分

15 , 8
??12 分

故符合条件的直线存在, l 的方程为: x ? 2 y ? 1 ? 0 . 22.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题可知: an ?1 ? f (an ) ?

(Ⅱ)∵ PA∥ 平面BDE , 平面PAC ? 平面BDE ? DE ∵ D 为 AC 中点 ∴ DE ?

1 PA ? 1 , BD ? DC ? 2 2

2an 3an ? 2

由(Ⅰ)知 PA ? 平面ABC ,所以 DE ? 平面ABC 所以三棱锥 E ? BCD 的体积 V ? 22.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由 M (?3,3) , N (1,?5) ,得 MN 的垂直平分线方程为: x ? 2 y ? 1 ? 0 , 联立 ?

两边取倒数,可得 ??12 分 又

1 3 1 ? ? , an ?1 2 an

1 1 1 ? S ?BCD ? ED ? BD ? DC ? DE ? 3 6 3

1 ?1? 3 ? 1 ,所以 ? ? 是以 1 为首项, 为公差的等差数列 a1 2 ? an ? 1 1 3 3n ? 1 ? ? (n ? 1) ? an a1 2 2
即 an ?

所以

?x ? 2 y ?1 ? 0 , 0) ,解得圆心坐标为 C (1 ?2 x ? y ? 2 ? 0
2

2 3n ? 1

??6 分

(Ⅱ)因为 bn ? an an ?1 ?

2 2 4 1 1 ? ? ( ? ) 3n ? 1 3n ? 2 3 3n ? 1 3n ? 2

2 又 R ? CM

? (?3 ? 1) 2 ? (3 ? 0) 2 ? 25 .
??4 分

所以 ?bn ?的前 n 项和为

∴圆 C 的标准方程为: ( x ?1) 2 ? y 2 ? 25;

(Ⅱ)由题可设直线 l 的方程为: y ? 5 ? k ( x ? 2) 即 kx ? y ? 2k ? 5 ? 0 , 则d ?

4 1 1 1 1 1 1 4 1 1 2 S n ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? ( ? )? 3 2 5 5 8 3n ? 1 3n ? 2 3 2 3n ? 2 3 2 m ? 2016 1 令 ? ,解 m ? 2017 3 2 3
又 m ? N * ,最小的正整数 m 的值为 2018 ??12 分

设 C 到直线 l 的距离为 d ,

3k ? 5 k ?1
2



理科数学试卷·第 9 页(共 6 页 )

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