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面面平行的判定定理FF


一、复习回顾
1.证明直线与平面平行的方法:
(1)利用定义: 直线与平面没有公共点 (2)利用判定定理. 线线平行 关键:找平行线 面内 条件: 面外 线面平行

a

平行

?

b

1.证明直线与平面平行的方法:

(1)利用定义:
(2)利用判定定理. 线线平行

线面平行

符号语言 a ??? ? b ? ? ? ? a // ? ? a // b ?

a

?

b

二、两个平面平行的判定
判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行 于另一个平面,那么这两个平面平行. 图形语言:

?

A

b

a

?
a, b ? ? ,

线不在多,重在相交

? 符号语言: ? a b ? A ? ? ? // ? a // ? , b // ? ? ?

简述为:线面平行?面面平行

直线与平面平行的判定定理的推论 推论 如果一个平 面内有两条相交直 线分别平行于另一 个平面内的两条直 线,那么这两个平 面平行.
a α b

β

【例1】如图,在长方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中, 求证:平面 C ' DB // 平面 AB ' D ' .
?// DC ?// D ' C ' 证明: AB ? ? ? ABC ' D ' 是平行四边形
D' C' B'

? BC '// AD '

A'



BC ' ? 平面 AB ' D ' AD ' ? 平面 AB ' D '
? BC '// 平面 AB ' D '
A

D B

C

同理: C ' D // 平面 AB ' D '
BC ' C ' D ? C '

线线平行 线面平行 面面平行

? 平面 C ' DB // 平面 AB ' D '

第一步:在一个平面内找出两条相交直线; 第二步:证明两条相交直线分别平行于另一个平 面。 第三步:利用判定定理得出结论。

变式1.如图,在正方体ABCD——A1B1C1D1 中,E、F、G分别是棱BC、C1D1、 B1C1的 中点。求证:面EFG//平面BDD1B1.
分析:由FG∥B1D1 易得FG∥平面BDD1B1 同理GE ∥平面BDD1B1 ∵FG∩GE=G 故得面EFG//平面BDD1B1
A D E B C A1 B1 D1 F C1

G

变式2 正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为 棱A1B1、A1D1的中点,请试着在该正方体 中作出与平面AMN平行的截面。
D1 A1 N M D
G

C1 B1

H

C B

A

三.课堂过关:变式3

分析:连结EF, 证明B1 E // FC,AF // DE

进而证明B1E // 平面ACF,

DE // 平面ACF,
从而平面DEB1 // 平面ACF,

判断下列命题是否正确,并说明理由. (1)若平面 ? 内的两条直线分别与平面? 平行,则? 与 ? 平行; × (2)若平面? 内有无数条直线分别与平面? 平行,则 ?与 ? 平行;× (3)平行于同一直线的两个平面平行; × (4)两个平面分别经过两条平行直线,这两个平面平 行; × (5)过已知平面外一条直线,必能作出与已知平面平 行的平面.×

尝试训练
2.平面 α 与平面 (A) 平行的条件可以是( β )

α

内有无数条直线都与 β平行

(B)直线a∥?,且a∥?

? (C)直线 a ? ,直线 b ?? ,且a∥?,b∥?
(D)? 内的任何直线都与? 平行

例2、点P是△ABC所在平面外一点,
A’,B’,C’分别是△PBC 、 △PCA、 △PAB的重心. 求证:平面A’B’C’//平面ABC
P
B’
A’

A

C’

C
E

F
B

D

例3.

线线平行

线面平行

面面平行

求证:FG//面PAB

证明: ? E、F分别为PC、PD的中点, ? EF为?PCD的中位线

? EF // CD 又 ? AB // CD ? EF // AB 而EF ? 平面PAB,AB ? 平面PAB ? EF // 平面PAB
线线平行 同理可证EG // 平面PAB 线面平行 又? EF ? 平面EFG,EG ? 平面EFG面面平行 线面平行 且EF ? EG ? E

?平面PAB // 平面EFG

又? FG ? 面EFG, ? FG // 面PAB

课堂练习1

温故而知新

如图.M,N分别是AB,PC的中点,底面 P ABCD是平行四边形
求证:MN//面PAD
思路一:在平面PAD内找MN 平行线。 H

A
M

N G

D

线线平行? 线面平行

B

C

思路二:先证面MNG//面PAD,得到MN//面PAD

课堂练习1

2.已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和 ABEF不 在同一个平面内,P,Q分别是对角线AE,BD的中点

D

求证:PQ∥平面BCE。

Q A P R

C

B

F
思路1:在平面BCE内找PQ平行线。 思路2:过PQ构造与平面BCE平行的平面。

E

题型二

平面与平面平行的判定

【例 2】 如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 D,E 分别是 BC 与 B1C1 的中点.求证:平面 A1EB∥平面 ADC1.

[思路探索] 要证平面 A1EB∥平面 ADC1,只需证平面 A1EB 内 有两条相交直线平行于平面 ADC1 即可.

线面平行与面面平行的小结: 1、证明线面平行时,注意有三个条件 2、证明面面平行时,有5个条件,缺一不可. 3、证明面面平行时,注意条件是线面平行,

而不是线线平行
4、证明面面平行时,转化成证明线面平行, 而证明线面平行,又转化成证明线线平行

知识小结
1.证明平面与平面平行的方法:
(1)利用定义 平面与平面没有公共点 (2)利用判定定理 2.数学思想方法: 转化的思想:
直线与直线平行

? 直线与平面平行

平面与平面平行

小结:
1.平面与平面平行的判定: (1)运用定义; (2)运用判定定理: 线线平行?线面平行? 面面平行 2.应用判定定理判定面面平行时应注意:

两条相交直线 3.应用判定定理判定面面平行的关键是找平行线
方法一:三角形的中位线定理;

方法二:平行四边形的平行关系。

练习、已知正方体ABCD-A1B1C1D1,P,Q, R, 分别为A1A,AB,AD的中点 。 求证:平面PQR∥平面CB1D1. 分析:连结A1B, PQ∥ A1B A1B ∥CD1 故PQ∥CD1 同理可得,…… P R Q

例2 在三棱锥B-ACD中,点 M、N、G分别△ABC、 △ABD、 △BCD的重心, 求证:平面MNG//平面ACD
证明:连接AN,交BD于点E 由已知得点E是边BD的中点 连接CE,则CE必经过点G ∵点N、G分别是△ABD和 △BCD的重心, ∴NE:NA=1:2 GE:GC=1:2 ∴NG//AC

E

又NG ? 平面ACD AC 平面ACD ∴NG//平面ACD 同理MG//平面ACD 又NG ? MG=G, NG 平面MNG, MG 平面MNG, ∴平面MNG//平面ACD.

?

? ?

PD PEP-ABC, PF 1、如图:三棱锥 D,E,F分别是棱 P ? ? PA PB PC PA,PB, PC中点,

求证:平面DEF∥平面ABC。

D A

F

E
B

C

2、如图,B为△ACD所在平面外一点,M, N,G分别为△ABC,△ABD, △BCD的重 心,求证:平面MNG∥平面ACD。 B 引申:求S△ MNG :S△ ACD
N· M· · G

A C

D

课堂小结



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