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全国高中数学竞赛专题-三角函数


三角恒等式与三角不等式
一、基础知识 定义 1 角:一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是任意的。 若旋转方向为逆时针方向,则角为正角,若旋转方向为顺时针方向,则角为负角,若不旋转则为零角。 定义 2 角度制:把一周角 360 等分,每一等分为一度。 弧度制:把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360 度=2π 弧度。 若圆心角的弧长为 L,则其弧度

数的绝对值|α |=

L ,其中 r 是圆的半径。 r y x ,余弦函数 cosα = , r r

定义 3 三角函数:在直角坐标平面内,把角α 的顶点放在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,在角的终边上任意取 一个不同于原点的点 P, 设它的坐标为 (x,y) , 到原点的距离为 r,则正弦函数 sinα = 正切函数 tanα =

y r x r ,余切函数 cotα = ,正割函数 secα = ,余割函数 cscα = . x x y y 1 1 1 定理 1 同角三角函数的基本关系式,倒数关系:tanα = ,sinα = ,cosα = ; cot ? csc ? sec ? sin ? cos ? , cot ? ? 商数关系:tanα = ; cos ? sin ?
乘积关系:tanα ×cosα =sinα ,cotα ×sinα =cosα ; 平方关系:sin2α +cos2α =1, tan2α +1=sec2α , cot2α +1=csc2α . 定理 2 诱导公式(Ⅰ)sin(α +π)=-sinα , cos(π+α )=-cosα , tan(π+α )=tanα , cot(π+α )=cotα ; (Ⅱ)sin(-α )=-sinα , cos(-α )=cosα , tan(-α )=-tanα , cot(-α )=cotα ; (Ⅲ)sin(π-α )=sinα , cos(π-α )=-cosα , tan=(π-α )=-tanα , cot(π-α )=-cotα ; (Ⅳ)sin ?

?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? =cosα , cos ? ? ? ? =sinα , tan ? ? ? ? =cotα (奇变偶不变,符号看象限)。 ?2 ? ?2 ? ?2 ? ? ?

定理 3 正弦函数的性质,根据图象可得 y=sinx(x∈R)的性质如下。 单调区间:在区间 ?2k? ? 最小正周期:2 ? .

?
2

,2k? ?

??

? 3 ? ? 上为增函数,在区间 ?2k? ? ,2k? ? ? ? 上为减函数, ? 2 2 ? 2? ?
奇偶性:奇函数

有界性:当且仅当 x=2kx+ 对称性:直线 x=k ? +

? 均为其对称轴,点(k ? , 0)均为其对称中心。这里 k∈Z. 2

? ? 时,y 取最大值 1,当且仅当 x=3k ? - 时, y 取最小值-1,值域为[-1,1]。 2 2

定理 4 余弦函数的性质,根据图象可得 y=cosx(x∈R)的性质。 单调区间:在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减,在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。 最小正周期:2π。 奇偶性:偶函数。 有界性:当且仅当 x=2kπ 时,y 取最大值 1;当且仅当 x=2kπ-π 时,y 取最小值-1。值域为[-1,1]。

? ,0 ? 均为其对称中心。这里 k∈Z. 2 ? ? ? ? 定理 5 正切函数的性质:由图象知奇函数 y=tanx(x ? kπ+ )在开区间(kπ- , kπ+ )上为增函数, 2 2 2 ? 最小正周期为 π,值域为(-∞,+∞),点(kπ,0),(kπ+ ,0)均为其对称中心。 2 定理 6 两角和与差的基本关系式:cos(α ? β )=cosα cosβ ? sinα sinβ , sin(α ? β )=sinα cosβ ? cosα sinβ ; (tan? ? tan ? ) . tan(α ? β )= (1 ? tan? tan ? ) 2 2 2 2 两角和与差的变式: sin ? ? sin ? ? cos ? ? cos ? ? sin(? ? ? )sin(? ? ? )
对称性:直线 x=kπ 均为其对称轴,点 ? k? ?
1

? ?

?

cos2 ? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? cos(? ? ? )cos(? ? ? )
三角和的正切公式: tan(? ? ? ? ? ) ? 定理 7 和差化积与积化和差公式:

tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan ? tan ? tan ? 1 ? tan ? tan ? ? tan ? tan ? ? tan ? tan ?

?? ? ? ? ?? ? ? ? ? cos ? ?, ? 2 ? ? 2 ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? cosα +cosβ =2cos ? ? cos ? ?, ? 2 ? ? 2 ? 1 sinα cosβ = [sin(α +β )+sin(α -β )], 2 1 cosα cosβ = [cos(α +β )+cos(α -β )], 2
sinα +sinβ =2sin ?

?? ? ? ? ?? ? ? ? ? cos ? ?, ? 2 ? ? 2 ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? cosα -cosβ =-2sin ? ? sin ? ?, ? 2 ? ? 2 ? 1 cosα sinβ = [sin(α +β )-sin(α -β )], 2 1 sinα sinβ =- [cos(α +β )-cos(α -β )]. 2
sinα -sinβ =2sin ?

定理 8 二倍角公式:sin2α =2sinα cosα , cos2α =cos2α -sin2α =2cos2α -1=1-2sin2α , tan2α = 三倍角公式及变式: sin 3? ? 3sin ? ? 4sin ? , cos3? ? 4cos ? ? 3cos ?
3 3
? sin(6 ? 0?

2 tan? . (1 ? tan2 ? )

定理 9 半角公式:

1 1 s? i ? n( ?6 0 ? ) ? s i n 3 ? ? ? ) cos ? cos(60? ? ? ) ? cos 3? , cos(60 4 4 ? ? (1 ? cos? ) (1 ? cos? ) sin = ? , cos = ? , 2 2 2 2 )? sin

? sin ? (1 ? cos? ) (1 ? cos? ) ? . =? = 2 sin ? (1 ? cos? ) (1 ? cos? ) ?? ? ?? ? ?? ? 1 ? tan2 ? ? 2 tan? ? 2 tan? ? ? 2 ? , tan? ? ?2? . ? 2 ? , cos? ? 定理 10 万能公式: sin ? ? ?? ? ?? ? ?? ? 1 ? tan2 ? ? 1 ? tan2 ? ? 1 ? tan2 ? ? ?2? ?2? ?2? 2 2 定理 11 辅助角公式:如果 a, b 是实数且 a +b ? 0,则取始边在 x 轴正半轴,终边经过点(a, b)的一个角为β , b a 2 2
tan

a2 ? b2 a b c ? ? ? 2R , 定理 12 正弦定理:在任意△ABC 中有 sin A sin B sin C

则 sinβ =

a2 ? b2

,cosβ =

,对任意的角α .asinα +bcosα = ( a ? b ) sin(α +β ).

其中 a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,R 为△ABC 外接圆半径。 定理 13 余弦定理:在任意△ABC 中有 a2=b2+c2-2bcosA,其中 a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边。 定理 14 射影定理:在任意△ABC 中有 a ? b cos C ? c cos B , b ? a cos C ? c cos A , c ? a cos B ? b cos A 定理 15 欧拉定理:在任意△ABC 中, OI ? R ? 2Rr ,其中 O,I 分别为△ABC 的外心和内心。
2 2

定理 16 面积公式:在任意△ABC 中,外接圆半径为 R,内切圆半径为 r,半周长 p ? 则S ?

a?b?c 2

1 1 abc aha ? ab sin C ? ? rp ? 2 R 2 sin A sin B sin C ? rR(sin A ? sin B ? sin C ) 2 2 4R 1 2 ? p( p ? a) ( p? b )( p ? c) ? 2 ( a c o tA ?2 b c o ? t B c c oC t ) 4

定理 17 与△ABC 三个内角有关的公式: (1) sin A ? sin B ? sin C ? 4 cos

A B C cos cos ; 2 2 2
2

定理 18 图象之间的关系:y=sinx 的图象经上下平移得 y=sinx+k 的图象;经左右平移得 y=sin(x+ ? )的图象(相位 变换);纵坐标不变,横坐标变为原来的

A B C sin sin ; 2 2 2 (3) tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C; A B B C C A (4) tan tan ? tan tan ? tan tan ? 1; 2 2 2 2 2 2 (5) cot A cot B ? cot B cot C ? cot C cot A ? 1; (6) sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2C ? 4sin A sin B sin C.
(2) cos A ? cos B ? cos C ? 1 ? 4sin

1

纵坐标变为原来的 A 倍,得到 y=Asinx 的图象(振幅变换);y=Asin( ? x+ ? )( ? >0)的图象(周期变换); 横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍,得到 y=Asinx 的图象(振幅变换);y=Asin( ? x+ ? )( ? , ? >0)(|A|

?

,得到 y=sin ?x ( ? ? 0 )的图象(周期变换);横坐标不变,

定义 4

? 个单位得到 y=Asin ? x 的图象。 ? ? ? ? ? ?? 函数 y=sinx ? ? x ? ?? 2 , 2 ? ? ? 的反函数叫反正弦函数,记作 y=arcsinx(x∈[-1, 1]), ? ?? ?
叫作振幅)的图象向右平移 函数 y=cosx(x∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数,记作 y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数 y=tanx ? ? x ? ??

? ?

? ? ? ?? , ? ? 的反函数叫反正切函数。记作 y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). ? 2 2? ??

函数 y=cotx(x∈[0, π])的反函数称为反余切函数,记作 y=arccotx(x∈[-∞, +∞]). 定理 19 三角方程的解集,如果 a∈(-1,1),方程 sinx=a 的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina, n∈Z}。 方程 cosx=a 的解集是{x|x=2kx ? arccosa, k∈Z}. 如果 a∈R,方程 tanx=a 的解集是{x|x=kπ+arctana, k∈Z}。 恒等式:arcsina+arccosa= 定理 20 若干有用的不等式:

? ? ;arctana+arccota= . 2 2

? ?? ? ,则 sinx<x<tanx. ? 2? sin x tan x ? (2)函数 y ? 在 (0, ? ) 上为减函数;函数 y ? 在 (0, ) 上为增函数。 x x 2
(1)若 x ? ? 0, (3)嵌入不等式:设 A+B+C=π ,则对任意的 x,y,z∈R, 有 x ? y ? z ? 2 yz cos A ? 2xz cos B ? 2xy cos C 等号成立当且仅当 yzsinA=zxsinB=xysinC.
2 2 2

二、方法与例题 1.结合图象解题。 例 1 求方程 sinx=lg|x|的解的个数。 【解】在同一坐标系内画出函数 y=sinx 与 y=lg|x|的图象,由图象可知两者有 6 个交点,故方程有 6 个解。 2.三角函数性质的应用。 例 2 设 x∈(0, π), 试比较 cos(sinx)与 sin(cosx)的大小。 【解】 若 x ? ?

?? ? ? ? ? , ? ? ,则-1<cosx≤0,所以 cos x ? ? ? ,0? , ? 2 ? ?2 ?

所以 sin(cosx) ≤0,又 0<sinx≤1, 所以 cos(sinx)>0,所以 cos(sinx)>sin(cosx). 若 x ? ? 0,

? ? ? ? ? ?? ,则因为 sinx+cosx= 2 sin(x+ )≤ 2 < ,所以 0<sinx< -cosx< , ? 4 2 2 2 ? 2?
3

所以 cos(sinx)>cos(

? -cosx)=sin(cosx). 2

综上,当 x∈(0,π)时,总有 cos(sinx)<sin(cosx). 3.最小正周期的确定。 例 3 求函数 y=sin(2cos|x|)的最小正周期。 【解】 因为 cos(-x)=cosx,所以 cos|x|=cosx, 所以 T=2π 是函数的周期; 4.三角最值问题。 例 4 已知函数 y=sinx+ 1 ? cos2 x ,求函数的最大值与最小值。 【解法一】 令 sinx= 2 cos? , 1 ? cos2 x ?

3 ? ?? 2 sin ? ? ? 0 ? ? ? , 4 ? ?4 ? 则有 y= 2 cos ? ? 2 sin ? ? 2 sin(? ? ). 4 ? 3 ? ? ? 因为 ? 0 ? ? ,所以 ? ? ? ? ? ,所以 0 ? sin(? ? ) ≤1, 4 4 2 4 4 3 ? ? ? 所以当 ? ? ? ,即 x=2kπ- (k∈Z)时,ymin=0,当 ? ? ,即 x=2kπ+ (k∈Z)时,ymax=2. 4 4 2 2
2

【解法二】 因为 y=sinx+ 1 ? cos x ?

2(sin 2 x ? 1 ? cos2 x) =2(因为(a+b)2≤2(a2+b2)),

且|sinx|≤1≤ 1 ? cos2 x ,所以 0≤sinx+ 1 ? cos2 x ≤2, 所以当 1 ? cos2 x =sinx,即 x=2kπ+ 当 1 ? cos2 x =-sinx,即 x=2kπ5.换元法的使用。

? (k∈Z)时, ymin=0。 2

? (k∈Z)时, ymax=2, 2

sin x cos x 的值域。 1 ? sin x ? cos x ? 2 ? 2 ? ? ? 2 sin(x ? ). sin x ? cos x 【解】 设 t=sinx+cosx= 2 ? ? 2 ? 2 4 ? ?
例5 求y? 因为 ? 1 ? sin( x ?

?
4

) ? 1, 所以 ? 2 ? t ? 2.
2

x2 ?1 t ?1 2 ? t ? 1 ,所以 ? 2 ? 1 ? y ? 2 ? 1 . 又因为 t2=1+2sinxcosx,所以 sinxcosx= ,所以 y ? 1? t 2 2 2 2 ? t ?1 2 ?1 ? ? 2 ? 1? ? ? 1, ? ?1 ,所以 y ? -1.所以函数值域为 y ? ?? ,?1? ? 因为 t ? -1,所以 ?. ? ? 2 2 2 ? ? ? ? 6.图象变换:y=sinx(x∈R)与 y=Asin( ? x+ ? )(A, ? , ? >0).
例 6 已知 f(x)=sin( ? x+ ? )( ? >0, 0≤ ? ≤π)是 R 上的偶函数,其图象关于点 M ? 是单调函数,求 ? 和 ? 的值。 【解】 由 f(x)是偶函数,所以 f(-x)=f(x),所以 sin( ? x+ ? )=sin(- ? x+ ? ), 所以 cos ? sinx=0,对任意 x∈R 成立。又 0≤ ? ≤π,解得 ? = 因为 f(x)图象关于 M ?

? 3? ? ? ?? ,0 ? 对称,且在区间 ?0, ? 上 ? 4 ? ? 2?

? , 2

3 3 ? 3? ? ,0 ? 对称,所以 f ( ? ? x) ? f ( ? ? x) =0。 4 4 ? 4 ?

4

3? ? 2 ?? ? 3? ? ? ? ? 0. 所以 ? ? k? ? (k∈Z),即 ? = (2k+1) (k∈Z). 4 2 3 2? ? 4 ? ? 又 ? >0,取 k=0 时,此时 f(x)=sin(2x+ )在[0, ]上是减函数; 2 2 ? ? 取 k=1 时, ? =2,此时 f(x)=sin(2x+ )在[0, ]上是减函数; 2 2 10 ? ? 取 k=2 时, ? ≥ ,此时 f(x)=sin( ? x+ )在[0, ]上不是单调函数, 3 2 2 2 综上, ? = 或 2。 3
取 x=0,得 f ( ? ) =0,所以 sin ?

3 4

7.三角公式的应用。 例 7 已知 sin(α-β)= 【解】

5 5 ?? ? ? 3? ? ,sin(α+β)=,且 α-β∈ ? , ? ? ,α+β∈ ? ,2? ? ,求 sin2α,cos2β 的值。 13 13 ?2 ? ? 2 ? 12 ?? ? 2 因为 α-β∈ ? , ? ? ,所以 cos(α-β)=- 1 ? sin (? ? ? ) ? ? . 13 ?2 ? 12 ? 3? ? 又因为 α+β∈ ? ,2? ? ,所以 cos(α+β)= 1 ? sin 2 (? ? ? ) ? . 13 ? 2 ? 120 所以 sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)= , 169
cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1.

例 8 已知△ ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,且 【解】 因为 A=1200-C,所以 cos

A?C =cos(600-C), 2 1 1 1 1 cos(1200 ? C ) ? cosC 又由于 ? ? ? ? cos A cosC cos(1200 ? C ) cosC cosC cos(1200 ? C )
=

A?C 1 1 2 ,试求 cos 的值。 ? ?? 2 cos A cosC cos B

? ?2 2 , 1 1 0 0 0 [cos120 ? cos(120 ? 2C )] cos(120 ? 2C ) ? 2 2 A?C A?C 3 2 A?C 2 2 A?C ? 2 cos ? 3 2 =0。解得 cos 所以 4 2 cos 或 cos 。 ?? ? 2 2 2 8 2 2 A?C A?C 2 又 cos >0,所以 cos 。 ? 2 2 2 ? ? 例 9 求证:tan20 +4cos70 = 3 sin 20? sin 20? ? 4 sin 20? cos 20? sin 20? ? 2 sin 40? ? ? ? ? ? 【解】 tan20 +4cos70 = +4 sin 20 cos20? cos 20? cos 20? sin 20? ? sin 40? ? sin 40? 2 sin 30? cos10? ? sin 40? ? ? cos 20? cos 20? sin 80? ? sin 40? 2 sin 60? cos 20? ? ? ? 3. cos 20? cos 20?

2 cos600 cos(600 ? C )

?

2 cos(600 ? C )

例 10 证明: cos 7 x ? 7cos5x ? 21cos3x ? 35cos x ? 64cos x
7

5

分析:等号左边涉及角 7x、5x、3x、x 右边仅涉及角 x,可将左边各项逐步转化为 sin x 、 cos x 的表达式,但相对较繁. 观察到右边的次数较高,可尝试降次. 证明:因为 cos3x ? 4 cos3 x ? 3 cos x, 所以4 cos3 x ? cos3x ? 3 cos x, 从而有 16cos6 x ? cos2 3x ? 6 cos3x cos x ? 9 cos2 x

?

1 ? cos 6 x 9 ? 3(cos 4 x ? cos 2 x) ? (1 ? cos 2 x) 2 2

32cos6 x ? 1 ? cos6 x ? 6 cos4 x ? 6 cos2 x ? 9 ? 9 cos2 x, 64cos7 x ? 2 cos6 x cos x ? 12cos4 x cos x ? 30cos2 x cos x ? 20cos x
? cos7 x ? cos5 x ? 6 cos5 x ? 6 cos3x ? 15cos3x ? 15cos x ? 20 cos x ? cos7 x ? 7 cos5 x ? 21cos3x ? 35cos x.
评述:本题看似“化简为繁”,实质上抓住了降次这一关键,很是简捷. 另本题也可利用复数求解. 令

1 1 z ? cos ? ? i sin ? , 则2 cos ? ? z ? , 从而,128 cos 7 ? ? ( z ? ) 7 ,展开即可. z z
2013 北约

已知 1 ? tan ? ? 2001, 求证 : sec 2? ? tan 2? ? 2001 . 1 ? tan ? 例11

6

1 ? cos( ? 2? ) 1 ? tan? ? 2 证明: sec 2? ? tan 2? ? 1 ? sin 2? ? ? tan( ? ? ) ? 1 ? tan? ? 2001 . ? cos 2? 4 1 ? tan? sin( ? 2? ) 2

?

?

1 ? tan?

? 2001 .

例12 证明:对任一自然数 n 及任意实数 x ?

m ? (k ? 0,1,2, ? , n, m 为任一整数), 2k



1 1 1 ? ??? ? cot x ? cot 2 n x. sin 2 x sin 4 x sin 2 n x

思路分析:本题左边为 n 项的和,右边为 2 项之差,故尝试将左边各项“裂”成两项之差,并希冀能消去其中许多 中间项. 1 2 cos2 x ? cos 2 x 2 cos2 x cos2 x 证明: ? ? ? ? cot x ? cot 2 x, sin 2 x sin 2 x 2 sin x cos x sin 2 x

1 1 ? cot 2 n ?1 x ? cot 2 n x ?? ? cot 2 x ? cot 4 x n sin 2 x sin 4 x 评述:①本题裂项技巧也可通过数学归纳法获得. ②“裂项相消”在解题中具有一定的普遍性,类似可证下列各题:
同理

tan ? tan 2? ? tan 2? tan 3? ? ? ? tan( n ? 1)? tan n? ?

tan n? ?n. tan ?

tan? ? 2 tan2? ? 2 2 tan2 2 ? ? ? ? 2 n tan2 n ? ? cot? ? 2 n?1 cot 2 n?1? . 1 1 1 ? ??? ? cos1? cot1? ? ? ? ? ? cos0 cos1 cos1 cos 2 cos88 cos89?
提示: cot ? ? 2n ?1 cot 2n ?1

sin[(n ? 1)0 ? n0 ] ? tan(n ? 1)0 ? tan n0 cos n0 cos(n ? 1)0
例 13 设 ?ABC 的内角 A,B,C 所对的边 a, b, c 成等比数列,则 A. (0, ??) B. (0,

sin A cot C ? cos A 的取值范围是( sin B cot C ? cos B



5 ?1 5 ?1 5 ?1 D. ( , ) , ??) 2 2 2 sin A cot C ? cos A sin A cos C ? cos A sin C [解] 设 a, b, c 的公比为 q ,则 b ? aq, c ? aq2 ,而 ? sin B cot C ? cos B sin B cos C ? cos B sin C
C. (

5 ?1 ) 2

?

sin( A ? C ) sin(? ? B) sin B b ? ? ? ?q. sin( B ? C ) sin(? ? A) sin A a

因此,只需求 q 的取值范围. 因 a, b, c 成等比数列,最大边只能是 a 或 c ,因此 a, b, c 要构成三角形的三边,必需且只需 a ? b ? c 且

b ? c ? a .即有不等式组

7

?1 ? 5 5 ?1 ?q? , ? ?a ? aq ? aq , ? ?q ? q ? 1 ? 0, ? ? 2 2 即? 2 解得 ? ? 2 aq ? aq ? a q ? q ? 1 ? 0. ? ? ? ? ?q ? 5 ? 1 或q ? ? 5 ? 1 . ? ? 2 2
2 2

从而 例 14 C1, 则

5 ?1 5 ?1 5 ?1 5 ?1 ,因此所求的取值范围是 ( ?q? , ) .故选 C 2 2 2 2
△ABC 内接于单位圆,三个内角 A、B、C 的平分线延长后分别交此圆于 A1、B1、

AA1 ? cos
A.2

A B C ? BB1 ? cos ? CC1 ? cos 2 2 2 的值为( sin A ? sin B ? sin C
B.4 C.6

) D.8

A A? B?C B C B C ? ? ) ? 2 cos( ? ) 解:如图,连 BA1,则 AA1=2sin(B+ ) ? 2 sin( 2 2 2 2 2 2 A B C A A? B?C A?C ? B ? ? AA1 cos ? 2 cos( ? ) cos ? cos ? cos ? cos( ? C ) 2 2 2 2 2 2 2 ? cos(

?

2

? B) ? sin C ? sin B, 同理 BB1 cos B ? sin A ? sin C , CC1 cos C ? sin A ? sin B, A B C 2(sin A ? sin B ? sin C ) ? BB1 cos ? CC1 cos ? 2(sin A ? sin B ? sin C ), 原式= ? 2. 选 A. 2 2 2 sin A ? sin B ? sin C
).

2

2

? AA1 cos

k k k 例 15 若对所有实数 x ,均有 sin x ? sin kx ? cos x ? cos kx ? cos 2 x ,则 k ? (

A 、6 ;
解:记 f

B 、5 ;
k ? x? ? s i n

C 、4 ;

D 、3 .

x? s i n kx ? ck o sx ?

co ks ? x

k

, 则 由 条 件 , f ? x? 恒 为 0 , 取 x ? cos x 2

?
2

,得

k? ?? k ? s i n ? ? ? ?1 ,则 k 为奇数,设 k ? 2n ? 1 ,上式成为 sin? n? ? ? ? ? 1,因此 n 为偶数,令 n ? 2 m ,则 2 2? ?
k ? 4m ? 1 ,故选择支中只有 k ? 3 满足题意.故选 D
2 2 2 2 2 例 16 已知 f ? x ? ? x ? a ? b ? 1 x ? a ? 2ab ? b 是偶函数,则函数图象与 y 轴交点的纵坐标的最大值是

?

?

A. 2

B. 2
2 2

C. 2 2

D. 4
2 2

解:由已知条件可知, a ? b ? 1 ? 0 ,函数图象与 y 轴交点的纵坐标为 a ? 2ab ? b 。令 a ? cos ? , b ? sin ? , 则 a ? 2ab ? b ? cos
2 2 2

? ? 2sin ? cos? ? sin 2 ? ? cos 2? ? sin 2? ? 2 。因此 选 A。
x y x y ? ? 1与 ? ?1 sin ? ? sin ? sin ? ? cos ? cos ? ? sin ? cos ? ? cos ?


例 17

已知 ? , ? ? R ,直线

的交点在直线 y ? ? x 上,则 sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ? ?

解:由已知可知,可设两直线的交点为 ( x0 , ? x0 ) ,且 sin ? , cos ? 为方程
8

x0 ? x0 ? ? 1, t ? sin ? t ? cos ?

的两个根,即为方程 t 2 ? (cos ? ? sin ? )t ? sin ? cos ? ? x0 (cos ? ? sin ? ) ? 0 的两个根。 因此 sin ? ? cos ? ? ?(sin ? ? cos ? ) ,即 sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ? ? 0。

1、 cos( 1 ?

x 2 ? 5 x ? 7 ? x 2 ? 5 x ? 6) =



2、已知函数 f ( x) ?

sin(πx) ? cos(πx) ? 2 1 5 ( ? x ? ) ,则 f(x)的最小值为_____。 4 4 x
__.

3、已知

sin(? ? 2 ? ) 1 ? tan( ? ? ?) ? 3 ,且 ? ? k? , ? ? ? ? n? ? (n, k ? Z ) 。则 的值是_ sin ? 2 2 tan ?

4、设函数 f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数 a、b、c 使得 af(x)+bf(x? c)=1 对任意实数 x 恒成立,则 5、设 0< ? <π,求 sin

?
2

b cos c = a

(1 ? cos ? ) 的最大值。

6、求证: 3 tan18? ? tan18? tan12? ? 3 tan12? ? 1. 7、已知 a0=1, an=

1 ? an ?12 ? 1 ? (n∈N+),求证:an> n ? 2 . an ?1 2

sin ? . cos ? ? A 9、若 A,B,C 为△ABC 三个内角,试求 sinA+sinB+sinC 的最大值。
8、已知 sin ? ? A sin(? ? ? ),| A |? 1, 求证 : tan( ? ? ?) ? 10、证明: sin ? ? sin(? ? ? ) ? sin(? ? 2 ? ) ? ? ? sin(? ? n? ) ?

sin(? ?

n n ?1 ? ) sin ? 2 2 . sin

?

2
x

? cos ? ? ? cos ? ? ? 11、已知α ,β 为锐角,且 x·(α +β - )>0,求证: ? ? sin ? ? ? ? ? sin ? ? ? 2. 2 ? ? ? ?
12、求证:① cos 6 ? cos 42 ? cos 66 ? cos 78 ? ?

x

1 16

②sin1°sin2°sin3°?sin89°= ( )

1 4

45

? 6 10 .

全国高中数学竞赛专题-三角恒等式与三角不等式 实战演练答案
1、解:根据题意要求, x ? 5 x ? 6 ? 0 , 0 ? x ? 5 x ? 7 ? 1。于是有 x ? 5 x ? 7 ? 1 。因此
2 2 2

cos( 1 ? x 2 ? 5 x ? 7 ? x 2 ? 5 x ? 6) ? cos 0 ? 1 。因此答案为 1。
π 2 sin( πx ? ) ? 2 1 5 π 1 5 4 ( ? x ? ) ,设 g ( x) ? 2 sin( πx ? )( ? x ? ) ,则 g(x)≥0,g(x) 2、解:实际上 f ( x ) ? 4 4 4 4 4 x 1 3 3 5 3 1 3 在 [ , ] 上是增函数,在 [ , ] 上是减函数,且 y=g(x)的图像关于直线 x ? 对称,则对任意 x1 ? [ , ] ,存在 4 4 4 4 4 4 4
9

3 5 3 5 g ( x1 ) ? 2 g ( x2 ) ? 2 g ( x2 ) ? 2 x2 ? [ , ] ,使 g(x2)=g(x1)。于是 f ( x1 ) ? ? ? ? f ( x2 ) ,而 f(x)在 [ , ] 上是减 4 4 4 4 x1 x1 x2 1 5 4 5 4 5 ,即 f(x)在 [ , ] 上的最小值是 。 4 4 5 5 sin(? ? 2? ) 1 ?1 [sin(? ? 2? ) ? sin ? ] tan( ? ? ? ) sin(? ? ? ) ? cos ? 2 3 ?1 sin ? 3、解: ? ? ? ? ? 2. 1 sin(? ? 2? ) tan ? cos(a ? b) ? sin ? 3 ?1 [sin(? ? 2? ) ? sin ? ] ?1 2 sin ? 1 4、 解: 令 c=π , 则对任意的 x∈R, 都有 f(x)+f(x? c)=2, 于是取 a ? b ? , c=π , 则对任意的 x∈R, af(x)+bf(x? c)=1, 2 b cos c ? ?1 。 由此得 a π 2 一般地,由题设可得 f ( x) ? 13 sin(x ? ? ) ? 1, f ( x ? c) ? 13 sin(x ? ? ? c) ? 1,其中 0 ? ? ? 且 tan ? ? , 2 3 于是 af(x)+bf(x? c)=1 可化为 13a sin(x ? ? ) ? 13b sin(x ? ? ? c) ? a ? b ? 1 ,即
函数,所以 f ( x) ? f ( ) ?

5 4

13a sin(x ? ? ) ? 13b sin(x ? ? ) cosc ? 13b sin c cos(x ? ? ) ? (a ? b ?1) ? 0 ,
所以 13(a ? b cosc) sin(x ? ? ) ? 13b sin c cos(x ? ? ) ? (a ? b ?1) ? 0 。

?a ? b cosc ? 0 (1) ? ( 2) , 由已知条件,上式对任意 x∈R 恒成立,故必有 ? b sin c ? 0 ? a ? b ? 1 ? 0 (3) ?
若 b=0,则由(1)知 a=0,显然不满足(3)式,故 b≠0。所以,由(2)知 sinc=0,故 c=2kπ +π 或 c=2kπ (k∈Z)。当

c=2kπ 时, cosc=1, 则(1)、 (3)两式矛盾。 故 c=2kπ +π (k∈Z), cosc=? 1。 由(1)、 (3)知 a ? b ?
5、【解】因为 0< ? <π,所以 0 ?

? ? >0, cos >0. 2 2 2 2 ? ? ? ? ? 2 ? 所以 sin (1+cos ? )=2sin ·cos2 = 2 ? 2 sin ? cos2 ? cos2 2 2 2 2 2 2
?
,所以 sin
3

?

?

b cos c 1 ? ?1 。 , 所以 2 a

? ?? ? 2 ? ? cos2 ? cos2 ? ? 2 sin 2 2 2 ? = 16 ? 4 3 . ≤ 2?? 27 9 3 ? ? ? ? ? ?
当且仅当 2sin2

? ? ? ? 2 2 4 3 =cos2 , 即 tan = , ? =2arctan 时,sin (1+cos ? )取得最大值 。 2 2 2 2 2 2 9
? ? ? ?

6、思路分析:等式左边同时出现 tan18 tan12 、 tan18 ? tan12 ,联想到公式 tan( ? ? ?) ? 证明: 3 tan18? ? tan18? tan12? ? 3 tan12?

tan? ? tan ? . 1 ? tan? tan ?

? 3 ? tan( 18? ? 18 ? 12 )(1 ? tan18 tan12 ) ? tan18 tan12 ? 1 ? 3 (tan18? ? tan12? ) ? tan18? tan12? ? 3 ? tan( ? 3 ? tan( 18? ? 12? )(1 ? tan18? tan12? )? ?1tan18? tan12?
? ? ? ? ? ?

? 3 (tan18 ? tan12 ) ? tan18 tan12
? ? ?

? 3 (tan18? ? t

?

?1 评述:本题方法具有一定的普遍性 . 仿此可证 (1 ? tan1 )(1 ? tan2 )?(1 ? tan43 ) (1 ? tan44 ) ? 2 等.
? ? ? ? 22

10

7、【证明】 由题设知 an>0,令 an=tanan, an∈ ? 0,

? ?? ?, ? 2?

则 an= 因为

1 ? tan2 a n ?1 ? 1 tan a n ?1

?

sec a n ?1 ? 1 1 ? cos a n ?1 a ? ? tan n ?1 ? tan a n . 2 tan a n ?1 sin a n ?1
n

a n ?1 1 ? ?? ?1? ,an∈ ? 0, ? ,所以 an= a n ?1 ,所以 an= ? ? a0 . 2 2 ? 2? ?2?
n

? ? ?1? ,所以 a n ? ? ? · 。 4 4 ?2? ? ? ? 又因为当 0<x< 时,tanx>x,所以 a n ? tan n ? 2 ? n ? 2 . 2 2 2
又因为 a0=tana1=1,所以 a0= 注:换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。另外当 x∈ ? 0, 知的结论,暂时不证明,学完导数后,证明是很容易的。 8、分析:条件涉及到角 ? 、? ? ? ,而结论涉及到角 ? ? ? , ? .故可利用 ? ? (? ? ? ) ? ?或? ? (? ? ? ) ? ? 消除条 件与结论间角的差异,当然亦可从式中的“A”入手. 证法 1: ? sin ? ? A sin(? ? ? ), ? sin(? ? ? ? ? ) ? A sin(? ? ? ),

? ?? ? 时,有 tanx>x>sinx,这是个熟 ? 2?

sin(? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? ) sin ? ? A sin(? ? ? ), ?| A |? 1, ? cos ? ? A ? 0, sin(? ? ? )(cos? ? A) ? sin ? cos(? ? ? ), 从而 cos(? ? ? ) ? 0, ?| A |? 1, ?| A |? 1, sin ? ? cos ? ? A ? 0, tan( ? ? ?) ? . ?| A |? 1, ? cos ? ? A ? 0, 从而 cos(? ? ? ) ? 0, cos ? ? A sin(? ? ? ) sin ? ? cos ? ? 从而 A?0 , ?? ? ? ) ? 0, sin(? ? ? ) sinsin cos( ? sin ? sin ? ? 证法 2: ? ? tan( cos ? sin(? ? ? ) ? sin[(? ? ? ) ? ? ] ? ? ?) ? . cos(? ? ? ) ? sin 0, ? sincos sin从而 ??A ) ? sin ? ? ? sin(? ? ?cos ? ? A sin( ? ? ? ) sin ? cos ? ? tan( ? sin( ? ?? )? ? ?) . sin( ? ? ? ) sin ? ? sin ? cos ? ? A ?sin[(? ? ? ) ? ? ] cos ? sin(? ? ? ) ? tan( ? ? ?) ? . cos(? ? ? ) sin ? cos ? ? A sin(? ? ? ) sin ? sin(? ? ? ) sin ? ? ? ? tan( ? ? ? ). cos ? sin(? ? ? ) ? sin[(? ? ? ) ? ? ] cos(? ? ? ) sin ? sin(? ? ? ) sin ? ? tan( ? ? ? ). ? inB=2sin A ? B cos A ? B ? 2 sin A ? B , ① 9、【解】 因为 sinA+s cos(? ? ? ) 2sin ? 2 2 ? tan( ? ? ? ). ? ? ? C? C? C? ? 3 cos 3 ? 2 sin 3, ② sinC+sin ? 2 sin 3 2 2 2
又因为 sin

4 4 ? ? 由①,②,③得 sinA+sinB+sinC+sin ≤4sin , 3 3 ? 3 3 ? 3 3 所以 sinA+sinB+sinC≤3sin = ,当 A=B=C= 时,(sinA+sinB+sinC)max= . 3 3 2 2

A? B ? sin 2

C? 2

?

3 ? 2 sin

A? B ?C ?

?

3 cos

A? B ?C ?

?

3 ? 2 sin ? ,③ 3

注:三角函数的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调 性等是解三角最值的常用手段。 10、证明: sin ? sin

?

1 ? ? ? ? [cos( ? ? ) ? cos( ? ? )], 2 2 2 2
11

类似地sin(? ? ? ) sin

1 3 ? ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? )], 2 2 2 2 ? 1 5 3 sin(? ? 2 ? ) sin ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )], 2 2 2 2 ?? sin(? ? n? ) sin

?

?

? ? [cos( ?? ? ) ? cos(? ? )] 2 2 2 1 2n ? 1 ? n n ? 1 ? ? [cos( ?? ? ) ? cos(? ? )] ? sin(? ? ? ) sin ?. 2 2 2 2 2 n n ?1 ? sin(? ? ? ) sin ?. n n ?1 sin(? ? ? ) sin ? 2 2 2 2 所以, sin ? ? sin(? ? ? ) ? ? ? sin(? ? n? ) ? . ? sin 2

各项相加得, sin

?
2

1 2n ? 1 2n ? 1 ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )], 2 2 2 2

[sin ? ? sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? 1 ? 2 ? ) ?2 n? 1sin(? ? n? )] ?

评述:①类似地,有 cos? ? cos(? ? ? ) ? ? ? cos(? ? n? ) ?

sin

n ?1 n ? cos(? ? ? ) 2 2 . sin

?

2

7 7 2 ? 3 5 7 1 ? 3 5 1 cos ? cos ? ? cos ? ? . cos ? cos ? ? cos ? ? cos ? ? 等. 9 9 9 9 2 9 7 7 2 ? 3 5 7 1 ? ? cos ? ? 等. ? cos? cos ? ? cos ? ? cos ? 11、【证明】 若α +β >9 ,则 9 x>0,由α 9 > -β >09 得 cos2 α <cos( -β )=sinβ ,所以 0< <1, 2 2 2 sin ? ? cos ? 又 sinα >sin( -β )=cosβ , 所以 0< <1, 2 sin ?

n n ?1 sin ? cos ? 2 2 ②利用上述公式可快速证明下列各式: cos? ? cos 2? ? cos3? ? ? ? cos n? ? ? ? 3 5 1 sin 2 cos ? cos ? ? cos ? ? .

9

? cos ? ? ? cos ? ? ? cos ? ? ? cos ? ? 所以 ? ? sin ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? sin ? ? ? 2. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? cos? 若α +β < ,则 x<0,由 0<α < -β < 得 cosα >cos( -β )=sinβ >0,所以 >1。 2 2 2 2 sin ? ? cos ? 又 0<sinα <sin( -β )=cosβ ,所以 >1, 2 sin ? ? cos ? ? ? cos ? ? ? cos ? ? ? cos ? ? 所以 ? ? sin ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? sin ? ? ? 2 ,得证。 ? ? ? ? ? ? ? ?
注:以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式,值得注意的是角的讨论。 12、证明:①cos6°cos42°cos66°cos78°=cos6°cos54°cos66° ?
x x 0 0

x

x

0

0

cos 42? cos78? cos54?

12

cos18? cos 42? cos78? 4 cos54? ? ? ? cos18 cos 42 cos 178 ? cos(3 ? 18? ) ? 4 cos54 4 ? 1 4 cos54? ? cos( 3 ? 18 ) ? ? ? cos18 cos 42 cos78 1 ? ? 4 ? . 4 cos54? 4 cos54? 16 1 1 ? ②sin1°sin2°sin3°?sin89° cos(3 ? 18 ) ? . 4 °)?(sin29°sin31 16 ? sin62 =(sin1°sin59°sin61°)(sin2°sin58° °sin89°)sin30°sin60° ? 4 cos54 1 29 3 ? 1. ? ? ? = ( ) sin 3 sin 6 ?sin 87 ? 16 4 4 ?
1 ? ( ) 30 3 (sin 3 ? sin 57 ? sin 63 ? )(sin 6 ? sin 54 ? sin 66 ? ) ? (sin 27 ? sin 33 ? sin 87 ? ) sin 30 ? sin 60 ? 4

1 40 ? ? (1 )40 ? 3 sin 9?? ? sin 18?? ?sin 81 ? 1 42 3 2 4 ?( ) ? sin 18? sin 36? sin 54? sin 72? ? ( ) ? 3 sin 9 ? sin 18 ?sin 81 4 4 2 1 42 3? 2 1 40 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (?? sin ) 63 ? ? )(sin sin 18 sin 36 54 sin 72? ? (1 ) ? 3 ? (sin 9 sin 18 )(sin 18 sin 72 )(sin 27 36 sin 54 ) ? sin 45 1 40 ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ? ? 1 3 2 42 ? ? ? ? 42 ? 4 2 5436 ? 9 sin 1836 )(sin 18 27 sin 63 )(sin sin 54 ) ?18 sin 45 ? (sin ) 72 ?)(sin2 cos cos cos 36 cos ?( ( 4) ) ? ? 3 ? (sin sin 18 sin sin 54 sin 72 1 72 4 42 3 2 ? ? 4 2 4 42 3 22 1 3 1 ? ( ) 42 ? sin 18 sin 36 sin 54? sin 72? ? ? (4 ) ? 2 2 cos72? cos54? cos36? cos18? ? ( 1 ) ? 3 sin 18? sin 36? sin 54?1sin 723 ? 42 4 ? cos 2 ? 2 2 cos72? cos54? cos ? (36 )?42cos ? 18?2 cos cos54? ? (4 1) 42 ? 3 2 1 18 3 36 cos72 ? ? ? ? 42 ? ? ? ? 4 2 4 2 ? (1 )42 ? 3 sin 18 sin 36 sin 54 sin ? ? ? 72 ?? ( 1) 42 ? 3 2 cos 72 ? cos54 ? cos36 ? cos18 ? ? ( ) ? 2 cos 18 cos 36 cos 72 cos 54 ? (1 cos 18 4) ? 32 2 cos72 cos54 cos36 2 1 ?42 3 ? 4 4 18? cos 2 36? sin 18? cos54? ? (72 ) ?cos ? 54 ?2 cos ? (4 ) 42 ?2 2 cos18? ?cos36? ?cos 1 3 1 3 42 42 ? ? ? ? 4 2 4 2 ? (1 )42 ? 3 2 cos72 cos54 cos36 cos18 ? ?? ( 1) 42 ? 3 2 cos18 ? cos36 ? cos 72? cos54? ? ( ) ? 2 cos 18 cos 36 sin 18 cos 54 4) ? 3 2 2 cos18? cos36? cos72 ? (1 cos 54 4 2 1 43 3 ? 4 72? cos 2 54? ? (4 ) 42 ?2 2 cos18?? cos36?? sin ? 18 ( ? ) ?cos ? 54 ?2 sin 1 3 42 1 3 42 ? ? ? ? 4 ) ?2 4 ? cos 2 ? (1 cos36 cos72 54 3 2 cos18 42 ? ? ? ? ( 1) 43 ? 3 2 cos18 ? cos36 ? sin 18 cos54 ? ( ) ? 2 sin 72 cos 54 4 2 ? ( 1 ) 43 ? 3 2 cos18? cos36? sin 18 4 ? 2 1 cos54 3 4 18 sin 2 36? ? (4 ) 42 ? 2 2 sin 72 ?cos54 ? ? ( )?43 ? ? 2 cos 1 3 1 3 43 4 2 4 cos2 ? (1 )43 ? 3 2 cos18 cos36 sin 18 54 ? ( 1) 43 ? 3 2 sin 72??cos54?? 1 ? 4) 43 ? 3 2 2 sin 72? ? (4 ) ? 2 2 cos18 sin 36 ? (1 ? cos36? ? cos72? ? cos36 ? (1 cos 54 1 ? ? ? 2 4 2 4 4 ?( ?? 2 2 cos 36 又 (cos 18 sin ) 18 ? ? sin (1 ? cos 36 ? )(1 ? cos 72 ? ) 1 1) 43 3 36 ? 3 4 43 ? ? 4 ? (1 )43 ? 2 2 sin 72 cos 54 1 1 sin 36 ?( ) ? 2 cos18 3 ? ? ? ?? cos (1 ? cos 36? cos ? (1 ? cos36? ? cos72? 36 cos 72 ) 72 ) ? ( 4) ? 2 2 cos18? sin 36? 4 2 4 4 4 2 1 3 ? ( ) 43 ? 2 cos18? 1 sin 36? 5 1 ? (1 ? cos36? ? cos72? ? cos36? cos72? ) ? (1 ? cos36? cos72? ) ? 4 2 16 4 4 1 5 ? . (1 ? cos36? cos72? ) ? 即 cos18? sin 36? ? 5 16 4 4 5 ? 16 1 ? ? 所以 sin 1 sin 2 ?sin 89 ? ? ( ) 45 ? 6 10 . 4

13


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