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陕西省西藏民族学院附属中学2016届高三上学期期末考试(理)数学试题


西藏民族学院附中 2015-2016 学年上学期期末考试 高三数学(理科)试卷 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的. 1.若 p:x>1, q :

1 ? 1 ,则 p 是 q 的() x
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件



A.充分不必要条件 C.充要条件

2 2.已知集合 A ? ?0, b? , B ? x ? Z x ? 3 x ? 0 ,若 A ? B ? ? ,则 b 等于()

?

?

A.1

B.2

C.3

D.1 或 2

3.已知角 ? 的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边在直线 y ? A. ?

1 x 上,则 cos 2? ? () 2

4 5

B.

4 5

C. ?

3 5

D.

3 5

4.已知在各项为正的等比数列 ?an ?中, 则 4a3 ? a7 取最小值时首项 a1 a2 与 a8 的等比中项为 8, 等于() A.8 B.4 C.2 D.1

5.已知正数 x,y 满足 ? A.1 B.

? 2x ? y ? 0 ?x 1 y ,则 x ? 4 ( ) 的最小值为() 2 ?x ? 3 y ? 5 ? 0
C.

13 2 4

1 16

D.

1 32

6.已知非零向量 a 、 b 满足 a ? b ? a ? b ? A.

2 3 a ,则 a ? b 与 a ? b 的夹角为() 3
D.

5? 6

B.
10

? 6

C.

2? 3
2

? 3
10

7.已知 (1 ? x) ? a0 ? a1 (1 ? x) ? a2 (1 ? x) ? ? ? ? ? a10 (1 ? x) ,则 a8 等于() A.-5 B.5 C.90 D.180

8.已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形,如图所示,则该几何体的体积等于() A. 12 3 B. 16 3 C. 20 3 D. 32 3

9.有一个函数的图象如图所示,则这个函数可能是下列哪个函数() A. y ? 2 ? x ? 1
x 2

2 x sin x B. y ? x 2 ?1
D. y ?

C. y ? ( x ? 2 x)e
2

x

x ln x

10.已知函数 y=f(x-1)的图象关于直线 x=1 对称, y ? f ?( x) 是 y=f(x)的导函数,且当

x ? (??,0) 时, f ( x) ? xf ?( x) ? 0 成立,已知 a ? 20.2 f (20.2 ) , b ? ln 2 f (ln 2) ,

1 1 c ? (log1 ) f (log1 ) ,则 a,b,c 的大小关系是() 2 4 2 4
A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.a>c>b

x 3 x 11.设函数 f ( x) ? e ( x ? 3x ? 3) ? ae ? x( x ? ?2) ,若不等式 f ( x) ? 0 有解,则实数 a 的最

小值为() A.

2 ?1 e

B. 2 ?

2 e

C. 1 ?

2 e

D. 1 ? 2e

2

12.设双曲线

x2 y2 a2 ? ? 1 x ? 的两条渐近线与直线 分别交于 A,B 两点,F 为该双曲线的右 a2 b2 c

焦点,若 60°<∠AFB<90°,则该双曲线的离心率的取值范围是() A. (1, 2 ) B. ( 2 ,2) C.(1,2) D. ( 2 ,??)

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.已知复数 z 满足(3+4i)z=1(i 为虚数单位) ,则 z ? _________.

14.已知函数 f ( x) ? 2 sin(? ? x) sin( x ?

?
3

? ? ) 的图象关于原点对称,其中 ? ? (0, ? ) ,则

? ? ______.
15.已知曲线 f ( x) ?

2 3 x ? x 2 ? ax ? 1 存在两条斜率为 3 的切线,且切点的横坐标都大于零, 3

则实数 a 的取值范围是_______. 16.已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 4 ,直线 l:x+y-4=0,A 为直线 l 上一点,若圆 O 上存在两点 B,C, 使得∠BAC=60°,则点 A 的横坐标的取值范围是_______. 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ?满足递推式 an ? 2an?1 ? 1(n ? 2) ,其中 a4 ? 15 . (1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)已知数列 ?bn ?满足 bn ? 18.(本小题满分 12 分) 某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动,活动规则如下:消费额每慢 100 圆可转动如图所 示的转盘一次,并获得相应金额的返券.(假定指针等可能地停在任一位置,指针落在区域的 边界时,重新转一次)指针所在的区域及对应的返券金额见下表.例如:消费 218 元,可转动 转盘 2 次,所获得的返金券额是两次金额之和.

n ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Sn . an ? 1

(2)顾客乙消费 280 元,并按规则参与了活动,他获得返券的金额记为η (元).求随机变量 η 的分布列和数学期望.

19.(本小题满分 12 分) 如图,在菱形 ABCD 中,AB=2,∠BAD=60°,沿对角线 BD 将△ABD 折起,使 A,C 之间的距离 为 6 ,若 P,Q 分别为线段 BD,CA 上的动点. (1)求线段 PQ 长度的最小值; (2)当线段 PQ 长度最小时,求直线 PQ 与平面 ACD 所成角的正弦值.

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F,右顶点为 A,上顶点为 B,O 为坐标原点,M a 2 b2

为椭圆上任意一点,过 F,B,A 三点的圆的圆心为(p,q). (1)当 p ? q ? 0 时,求椭圆的离心率的取值范围; (2)若 D(b+1,0),在(1)的条件下,当椭圆的离心率最小时, (MF ? OD) ? MO 的最小值 为

7 ,求椭圆的方程. 2

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? ln x, a ? R .
2

(1)若函数 f(x)在上是减函数,求实数 a 的取值范围; (2)令 g ( x) ? f ( x) ? x ,是否存在实数 a,当 x ? (0, e] (e 是自然常数)时,函数 g(x)的
2

最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由. (3)当 x ? (0, e] 时,证明: e x ?
2 2

5 x ? ( x ? 1) ln x . 2

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知△ABC 中,AB=AC,D 为△ABC 外接圆劣弧 AC 上的点(不与点 A、C 重合) ,延长 BD 至 E, 延长 AD 交 BC 的延长线于 F. (1)求证:∠CDF=∠EDF;

(2)求证: AB ? AC ? DF ? AD ? FC ? FB .

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,曲线 C 的方程为 ? ?
2

3 ? ,点 R(2 2 , ) ,以极点为原点,极轴为 x 2 1 ? 2 cos ? 4

轴的正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位. (1)求曲线 C 的直角坐标方程及点 R 的直角坐标; (2)设 P 为曲线 C 上一动点,以 PR 为对角线的矩形 PQRS 的一边垂直于极轴,求矩形 PQRS 周长的的最小值及此时点 P 的直角坐标. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设实数 a,b 满足 2a+b=9. (1)若 a ? 9 ? b ? 3 ,求 a 的取值范围; (2)求 3a ? b ? a ? 2b 的最小值.

高三理科数学答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.A 6.D 7.D 8.C 9.A 10.B 11.B

12.C 13.

1 5

16.

? 6

15.

16. (3, ) ........2

7 2

17.解: (1)∵ an ? 2an?1 ? 1(n ? 2) ,∴ an ? 1 ? 2(an?1 ? 1) ,且 a1 ? 1 ? 2 , 分 ∴数列 ?an ? 1?是公比为 2 的等比数列,

..................................4 分

∴ an ? 1 ? (a1 ? 1) ? 2n?1 ? 2 ? 2n?1 ? 2n ,∴ an ? 2n ? 1 , 即数列 ?an ?的通项公式为 an ? 2n ? 1 . (2)由(1)知 an ? 2n ? 1 ,∴ bn ? ∴ Sn ? .........................6 分

n n ? n, an ? 1 2

1 2 3 n ?1 n ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ?1 ? n ,① 2 2 2 2 2 1 1 2 3 n ?1 n S n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ? n ?1 ,② 2 2 2 2 2 2 1 1 [1 ? ( ) n ] 1 2 ? n ,整理得 S ? 2 ? n ? 2 . ①-②得, S n ? 2 n 1 2n 2 2 n ?1 1? 2

........12 分

(2)设指针落在 A,B,C 区域分别记为事件 A,B,C,则 P ( A) ? 由题意得,该顾客可转动转盘 2 次, 随机变量η 的可能值为 0,30,60,90,120.

1 1 1 , P ( B) ? , P (C ) ? , 6 3 2

..............................6 分

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? , P (η ? 30) ? ? ? 2 ? , P (η ? 90) ? ? ? 2 ? , 2 2 4 2 3 3 3 6 9 1 1 1 1 5 1 1 1 P(η ? 60) ? ? ? 2 ? ? ? , P(η ? 120 ) ? ? ? . ....................8 2 6 3 3 18 6 6 36 P(η ? 0) ?
分 所以随机变量η 的分布列为:

其数学期望 Eη ? 0 ? 分

1 1 5 1 1 ? 30 ? ? 60 ? ? 90 ? ? 120 ? ? 40 . 4 3 18 9 36

................12

19.解: (1)设 P(0,0,0), CQ ? ?CA ? (0,? 3?, 3? ) , 则 PQ ? PC ? CQ ? (?a, 3,0) ? (0,? 3?, 3?) ? (?a, 3 ? 3?, 3?) ,

1 3 PQ ? a 2 ? ( 3 ? 3? ) 2 ? 3?2 ? a 2 ? 6?2 ? 6? ? 3 ? a 2 ? 6(? ? ) 2 ? , .....5 分 2 2
当 a=0, ? ?

1 6 时,PQ 长度最小值为 . 2 2

..................6 分

(2)由(1)知 PQ ? (0,

3 3 , ), 2 2

设平面 ACD 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) , 由 n ? DA , n ? DC 得 ?

? ? x ? 3z ? 0 ? n ? DA ? 0 ,化简得 ? ,取 n ? ( 3,?1,?1) , ? ?x ? 3 y ? 0 ?n ? DC ? 0

设 PQ 与平面 ACD 所成角为 ? ,则 sin ? ? cos ? PQ, n ? ?

? 3 6 ?5 2

?

10 , 5

故直线 PQ 与平面 ACD 所成角的正弦值为

10 . 5

......................12 分

20.解: (1)设半焦距为 c,

a?c b a a , y ? ? (x ? ) , 2 2 b 2 a ? c a?c ? ? x? ? x? 2 ? a ? c b 2 ? ac 2 ( , ), 联立 ? ,解得 ? ,于是圆心坐标为 2 b a a 2 2b ? y ? ? (x ? ) ? y ? b ? ac 2 b 2 ? 2b ?
由题意 AF、AB 的中垂线方程为 x ? 由 p?q ?

a ? c b 2 ? ac ? ? 0 ,整理得 ab ? bc ? b 2 ? ac ? 0 , 2 2b
2 2 2 2 2 2

即 (a ? b)(b ? c) ? 0 ,∴ b ? c ,于是 b ? c ,即 a ? b ? c ? 2c , ∴e ?
2

c2 1 2 ? ,即 ? e ? 1. 2 a 2 2 1 2 x 2 ? ax ? 1 ? ? 0 在上恒成立, x x
...............3 分

21.解: (1) f ?( x) ? 2 x ? a ?

令 h( x) ? 2x 2 ? ax ?1 ,有 ?

? ? h(1) ? 0 7 ? a ? ?1 7 ,得 a ? ? . ,得 ? a ? ? 2 ?h(2) ? 0 ? 2 ?

(2)假设存在实数 a,使 g ( x) ? ax ? ln x( x ? (0, e]) 有最小值 3,

g ?( x) ? a ?

1 ax ? 1 ? , x x
4 (舍去) , e

①当 a ? 0 时,g(x)在(0,e]上单调递减, g ( x) min ? g (e) ? ae ? 1 ? 3 , a ? ②当 0 ?

1 1 1 ? e 时,g(x)在 (0, ) 上单调递减,在 ( , e] 上单调递增, a a a 1 2 ∴ g ( x) min ? g ( ) ? 1 ? ln a ? 3 , a ? e ,满足条件. a 1 4 ③当 ? e 时,g(x)在(0,e]上单调递减, g ( x) min ? g (e) ? ae ? 1 ? 3 , a ? (舍去) , a e
综上,存在实数 a ? e ,使得当 x ? (0, e] 时 g(x)有最小值 3.
2

8分

(3)令 F ( x) ? e x ? ln x ,由(2)知, F ( x) min ? 3 .
2

令 ? ( x) ?

ln x 5 1 ? ln x ? , ? ?( x) ? , x 2 x2 1 5 1 5 ? ? ? ? 3, e 2 2 2

? ?( x) ? 0 , 当 0 ? x ? e 时, h(x)在(0,e]上单调递增, ∴ ? ( x) min ? ? (e) ?
∴ e x ? ln x ?
2

ln x 5 5 ? ,即 e 2 x 2 ? x ? ( x ? 1) ln x . x 2 2

.............12 分

22.(1)证明:∵A,B,C,D 四点共圆,∴∠CDF=∠ABC. ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,且∠ADB=∠ACB,

∠EDF=∠ADB=∠ACB=∠ABC,∴∠CDF=∠EDF.

................5 分

(2)由(1)得∠ADB=∠ABF,又∵∠BAD=∠FAB, ∴△BAD 与△FAB 相似,∴

AB AD 2 ? ,∴ AB ? AD ? AF , AF AB

又∵AB=AC,∴ AB ? AC ? AD ? AF ,∴ AB ? AC ? DF ? AD ? AF ? DF , 根据割线定理得 DF ? AF ? FC ? FB , AB ? AC ? DF ? AD ? FC ? FB . 分 23.解: (1)由 x ? ? cos? , y ? ? sin ? , .............10

∴曲线 C 的直角坐标方程为

x2 y2 ? ? 1 ,点 R 的直角坐标为(2,2). 1 3

..........4 分

(2)曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? cos? , (? 为参数, ? ? [0,2? ) ) ? y ? sin ?

∴设 P(cos? , 3 sin ? ) ,如图,依题意可得:

PQ ? 2 ? cos? , QR ? 2 ? 3 sin ? ,

.......................6 分

∴矩形周长 ? 2 PQ ? 2 QR ? 4 ? 2 cos ? ? 4 ? 2 3 sin ? ? 8 ? 4 sin(? ? ∴当 ? ?

?
6

) , .....8 分

?
3

时,周长的最小值为 4,此时,点 P 的坐标为 ( , ) .

1 3 2 2

.............10 分

24.解: (1)由 2a+b=9 得 9-b=2a,即 9 ? b ? 2 a , 所以 9 ? b ? a ? 3 可化为 3 a ? 3 ,即 a ? 1, 解得-1<a<1,所以 a 的取值范围是(-1,1). ..................5 分

(2)b=9-2a 代入 3a ? b ? a ? 2b ? 5a ? 9 ? 5a ?18 ? 9 , 当且仅当 9 ? 5a ? 18 ,

9 18 9 27 ? a ? 时,等号成立(或 ? b ? ) , 5 5 5 5
...........................10 分.

∴ 3a ? b ? a ? 2b 的最小值为 9.


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