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三维设计江苏专用2017届高三数学一轮总复习第七章不等式第一节不等关系与不等式课时跟踪检测理


课时跟踪检测(三十六)
?一抓基础,多练小题做到眼疾手快

不等关系与不等式

1.设 a,b∈[0,+∞),A= a+ b,B= a+b,则 A,B 的大小关系是________. 解析:由题意得,B -A =-2 ab≤0, 且 A≥0,B≥0,可得 A≥B. 答案:A≥B 2.设 a=2- 5,b= 5-2,c=5-2 5,则 a,b,c 之间的大小关系为________. 解析:a=2- 5= 4- 5<0,所以 b>0.c=5-2 5= 25- 20>0.b-c=3 5-7= 45- 49<0.所以 c>b>a. 答案:c>b>a 3.(2016·西安八校联考)“x1>3 且 x2>3”是“x1+x2>6 且 x1x2>9”的________条件(填 “充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”). 1 解析:x1>3,x2>3? x1+x2>6,x1x2>9;反之不成立,例如 x1= ,x2=20. 2 答案:充分不必要 3? ? 2 2 2 4.现给出三个不等式:①a +1>2a;②a +b >2?a-b- ?; 2? ? ③ 7+ 10> 3+ 14.其中恒成立的不等式共有________个.
2 2 2 2 2 2

解析:因为 a -2a+1=(a-1) ≥0,所以①不恒成立;对于②,a +b -2a+2b+3= (a-1) +(b+1) +1>0,所以②恒成立;对于③,因为( 7+ 10) -( 3+ 14) =2 70- 2 42>0,且 7+ 10>0, 3+ 14>0,所以 7+ 10> 3+ 14,即③恒成立. 答案:2 β ? π? ? π? 5.设 α ∈?0, ?,β ∈?0, ?,那么 2α - 的取值范围是________. 2 2 3 ? ? ? ? β π π β π β 解析:由题设得 0<2α <π ,0≤ ≤ ,所以- ≤- ≤0,所以- <2α - <π . 3 6 6 3 6 3
2 2 2 2

? π ? 答案:?- ,π ? ? 6 ?
?二保高考,全练题型做到高考达标 1.若 a1<a2,b1<b2,则 a1b1+a2b2 与 a1b2+a2b1 的大小关系是________. 解析:(a1b1+a2b2)-(a1b2+a2b1)=(a1-a2)(b1-b2)>0. 答案:a1b1+a2b2>a1b2+a2b1 2.设 a=lg e,b=(lg e) ,c=lg
2

e,则三者大小关系是________.
1

解析:0<lg e<1,即 0<a<1;b=(lg e) =a <a;c=lg 1 2 e) <lg 10·lg e= lg e=c,因此 a>c>b. 2 答案:a>c>b

2

2

1 1 e= lg e= a<a,又 b=(lg 2 2

π 3.若角 α ,β 满足- <α <β <π ,则 α -β 的取值范围是________. 2 π π π 解析:∵- <α <π ,- <β <π ,∴-π <-β < , 2 2 2 3π 3π ∴- <α -β < . 2 2 3π 又∵α <β ,∴α -β <0,从而- <α -β <0. 2

? 3π ? 答案:?- ,0? 2 ? ?
1 1 4.(2016·南京名校联考)设 a,b 是实数,则“a>b>1”是“a+ >b+ ”的________

a

b

条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”). 1 ? 1? ?a-b??ab-1? 1 ? 1? 解析:因为 a + - ?b+ ? = ,若 a>b>1 ,显然 a + - ?b+ ? =

a

?

b?

ab

a

?

b?

?a-b??ab-1? 1 2 1 1 >0,则充分性成立,当 a= ,b= 时,显然不等式 a+ >b+ 成立,但 ab 2 3 a b

a>b>1 不成立,所以必要性不成立.
答案:充分不必要 5.某高速公路对行驶的各种车辆的速度 v 的最大值限速为 120 km/h,行驶过程中,同 一车道上的车间距 d 不得小于 10 m,用不等式表示为________. 解析:最大值即为小于或等于, 不小于即为大于或等于. 故用不等式表示为?
?v≤120, ? ? ?d≥10 ? ?v≤120, ?d≥10. ?

答案:?

6.用一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长 18 m,要求菜园的面 积不小于 216 m ,靠墙的一边长为 x m,其中的不等关系可用不等式(组)表示为________. 30-x 解析:矩形靠墙的一边长为 x m,则另一边长为 m, 2
2

2

0<x≤18, ? ? x? ? 即?15- ?m,根据题意知? ? x? 2? ? x?15- ?≥216. ? 2? ? ? 0<x≤18, ? ? 答案:? ? x? x?15- ?≥216 ? 2? ? ? 7.已知存在实数 a 满足 ab >a>ab,则实数 b 的取值范围是__________. 解析:∵ab >a>ab,∴a≠0, 当 a>0 时,b >1>b,
?b >1, ? 即? ?b<1, ?
2 2 2 2

解得 b<-1;
2

当 a<0 时,b <1<b,
? ?b <1, 即? ?b>1, ?
2

此式无解.

综上可得实数 b 的取值范围为(-∞,-1). 答案:(-∞,-1)

a b 1 1 8.已知 a+b>0,则 2+ 2与 + 的大小关系是________. b a a b
1 1 ? ?a+b??a-b?2 a b ?1 1? a-b b-a ? + 解析: 2+ 2-? . ?= b2 + a2 =(a-b)·?b2-a2?= b a ?a b? a2b2 ? ? ∵a+b>0,(a-b) ≥0, ∴ ?a+b??a-b?
2 2

a2b2 b a a b a

≥0.

a b 1 1 ∴ 2+ 2≥ + . a b 1 1 答案: 2+ 2≥ + b a b e e
9.若 a>b>0,c<d<0,e<0.求证: 2> 2. ?a-c? ?b-d? 证明:∵c<d<0,∴-c>-d>0. 又∵a>b>0,∴a-c>b-d>0.∴(a-c) >(b-d) >0. 1 1 e e ∴0< 2< 2.又∵e<0,∴ 2> 2. ?a-c? ?b-d? ?a-c? ?b-d? 1 1 1 10.(2016·南京学情调研)(1)设 x≥1,y≥1,证明:x+y+ ≤ + +xy;
2 2

xy x y

(2)设 1<a≤b≤c,证明:logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac.

3

证明:(1)由于 x≥1,y≥1, 1 1 1 2 所以 x+y+ ≤ + +xy?xy(x+y)+1≤y+x+(xy) .

xy x y

将上式中的右式减左式, 得[y+x+(xy) ]-[xy(x+y)+1] =[(xy) -1]-[xy(x+y)-(x+y)] =(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1) =(xy-1)(xy-x-y+1) =(xy-1)(x-1)(y-1). 因为 x≥1,y≥1,所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0, 从而所要证明的不等式成立. 1 1 (2)设 logab=x,logbc=y,x≥1,y≥1,由对数的换底公式得 logca= ,logba= ,
2 2

xy

x

1 logcb= ,logac=xy.

y

1 1 1 于是,所要证明的不等式即为 x+y+ ≤ + +xy.

xy x y

由(1)知所要证明的不等式成立.

?三上台阶,自主选做志在冲刺名校 1.若 1<α <3,-4<β <2,则 α -|β |的取值范围是________. 解析:∵-4<β <2,∴0≤|β |<4.∴-4<-|β |≤0. ∴-3<α -|β |<3. 答案:(-3,3) 2.(2016·合肥质检)已知△ABC 的三边长分别为 a,b,c,且满足 b+c≤3a,则 的取 值范围为________.

c a

a<b+c≤3a, ? ? 解析:由已知及三角形三边关系得?a+b>c, ? ?a+c>b,

? ? bc ∴?1+ > , a a c b ? ?1+a>a,
b c a a

1< + ≤3,

b c 1< + ≤3, ? ? a a ∴? c b -1< - <1, ? ? a a

4

两式相加得,0<2× <4,∴ 的取值范围为(0,2). 答案:(0,2) 3.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说:“如果领队买一张全票, 其余人可享受 7.5 折优惠.”乙车队说:“你们属团体票,按原价的 8 折优惠.”这两个车 队的原价、车型都是一样的,试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠. 解:设该单位职工有 n 人(n∈N ),全票价为 x 元,坐甲车需花 y1 元,坐乙车需花 y2 元, 3 1 3 4 则 y1=x+ x·(n-1)= x+ xn,y2= nx. 4 4 4 5 1 3 4 所以 y1-y2= x+ xn- nx 4 4 5 1 1 = x- nx 4 20 1 ? n? = x?1- ?. 4 ? 5? 当 n=5 时,y1=y2; 当 n>5 时,y1<y2; 当 n<5 时,y1>y2. 因此当单位去的人数为 5 人时,两车队收费相同; 多于 5 人时,甲车队更优惠; 少于 5 人时,乙车队更优惠.
*

c a

c a

5



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