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汕头市2013届高三4月模拟考试数学(文科)


汕头市 2013 届高三 4 月模拟考试 文科数学
本试卷共 21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。

第Ⅰ卷
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的, 请将答案填在答题卡上。) 1.
A.
2 B 已知全集 U ? R , 集合 A ? x ?2 ? x ? 2 , ? x x ? 2 x ? 0 , A ? B ? 则

?

?

?

?

( )

? 0, 2 ?

B.

? 0, 2?

C.

?0, 2?

D.

?0, 2?

2.
A.

下列函数中既是奇函数,又在区间 ?0,??? 上单调递增的是

y ? sin x

B.

y ? ?x 2

C.

y ? e|x|

D.

y ? x3

3.

sin 515? ? cos35? ? cos 25? ? cos 235? 的值为
A.

-

3 2

B.

3 2

C.

1 2
(

D.



1 2

4.
A.

在 ? ABC 中,

? 3

sin A cos B ? ,则 ? B = a b
B.

)
D.

? 4

C.

? 2

? 6

5.
A.

在等比数列 ?an ? 中,前 n 项和为 S n ,若 S3 ? 7, S 6 ? 63 ,则公比 q 的值是 ( )

2

B.

?2

C.

3

D.

?3

6.

已知双曲线的中心在坐标原点,离心率 e ? 2 ,且它的一个顶点与抛物线 y 2 ? ?8x 的焦 点重合,则此双曲线的方程为 ( )
C.

A.

y2 x ? ?1 3
2

B.

x2 ? y2 ? 1 3

x2 y2 ? ?1 12 4
3

D.

x2 y2 ? ?1 4 12

7.
A.

若实数 a, b, c, d 成等比数列, 且曲线 y ? 3x ? x 的极大值点坐标为 (b, c ) , ad 为 则 ( )

2

B.

1

C.

?1

D.

?2

8.

已知正方体外接球的体积是

32 ? ,那么正方体的棱长等于 ( ) 3
C.

A.

2 2

B.

2 3 3

4 2 3

D.

4 3 3

1

9.

已知 m , n 是两条不重合的直线, ? , ? , ? 是三个两两不重合的平面.给出下列的 四个命题: ①若 m ? ? , m ? ? ,则 ? // ? ; ②若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? ; ③若 m ? ? , n ? ? , m // n ,则 ? // ? ; ④若 m , n 是异面直线, m ? ? , m // ? , n ? ? , n // ? ,则 ? // ? , 其中真命题是 ( )
B.

A.

①和②

①和③

C.

③和④

D.

① ④

10. 已知定义在 R 上的函数 f (x) 是偶函数, x ? R都 有f (2 ? x) ? f (2 ? x),当f (?3) ? ?2 对

) 时, f (2007 的值为
A.

( )

2

B.

?2

C.

4

D.

?4

第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共 5 小题,考生做答 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) (一)必做题(11~13 题) 11. 若焦点在 x 轴的椭圆

1 x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 ,则 m 的值为___ 2 2 m

_

2 12. 已知函数 f ( x) ? 6ln x( x ? 0)和g (x ) ? ax ? 8x ? 3( a 为常数)的图象在 x ? 3 处有

公共切线.则 a =___

_

13. 一个数列的前 n 项和 Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ?? (?1)n?1 n ,则 S17 ? S33 ? S50 ? (二)选做题(14~15 题考生只能从中选作一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)极坐标系内的曲线 ? ? 2sin ? 的中心 O 与点 D ?1, ? ? 的 距离为 。

15. (几何证明选讲选做题)如图, AB 是半圆 O 的直径,点 C 在 半圆上, CD ? AB 于点 D ,且 AD ? 4 DB ,设 ?COD ? ? , 则 cos 2? = .

2

三.解答题(本大题共有 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 16.(本小题满分 12 分) 如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形. (Ⅰ)画出这个几何体的直观图; (Ⅱ)若等腰直角三角形的直角边的长为 a ,求这个几何体的体积.

正视图

侧视图

俯视图

17.(本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (1,cos ? x) , n ? (sin ? x, 3) ( ? ? 0 ) ,函数 f ( x) ? m ? n 且 f ( x ) 图像上 一个最高点的坐标为 (

??

?

?
12

,2) ,与之相邻的一个最低点的坐标为 (

7? , ?2) . 12

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式。 (Ⅱ)在 ? ABC 中,a、b、c 是角 A、B、C 所对的边,且满足 a ? c ? b ? ac ,求角 B
2 2 2

的大小以及 f ( A) 取值范围。

3

18.(本小题满分 14 分)

1 2 ax ? 2 x ? ln x 2 (Ⅰ)当 a ? 0 时,求 f (x) 的极值. (Ⅱ)当 a ? 0 时,若 f (x) 是减函数,求 a 的取值范围;
已知函数 f ( x) ?

19.(本小题满分 14 分) 如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, E 、 F 分别为 DD1 、 DB 的中点. 1 (Ⅰ)求证: EF //平面 ABC1D1 ; (Ⅱ)求证: EF ? B1C ; (Ⅲ)求三棱锥 B1 ? EFC 的体积.
A1 E D1 B1

C1

D F A B

C

4

20.(本小题满分 14 分)

3 x2 y 2 椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 两焦点分别为 F ? F2 , M ( x0 , y0 ) 是椭圆 C 点 1 5 a b
上一点,且 ?F1F2 M 的周长为 16 ,设线段 MO ( O 为坐标原点)与圆 O ? x2 ? y 2 ? r 2 交于 点 N ,且线段 MN 长度的最小值为 (Ⅰ)求椭圆 C 以及圆 O 的方程; (Ⅱ)当点 M ( x0 , y0 ) 在椭圆 C 上运动时,判断直线 l : x0 x ? y0 y ? 1 与圆 O 的位置关系.
y

15 . 4

M N O x

21.(本小题满分 14 分) 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 为 和 Sn , 点 ( n,

Sn 1 11 ) 在 直 线 y ? x ? 上 . 数 列 {bn } 满 足 2 2 n

bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0 (n ? N * ),且b3 ? 11,前 9 项和为 153.
(Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ?

k 3 ,数列{cn}的前 n 和为 Tn ,求使不等式 Tn ? 对一切 57 (2an ? 11)(2bn ? 1)

n ? N * 都成立的最大正整数 k 的值.

5

参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 1 C 2 D 3 B 4 B 5 A 6 D 7 A 8 D 9 D 10 B

二、填空题: 本大题共 5 小题,考生做答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分, 11.

3 2

12. a ? ?1

13.1

14. 2

15. ?

7 25

三、解答题:本大题共有 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.解: (Ⅰ)这个几何体是一个底面与两个侧面都是等腰直角三角形的三棱锥,………………2 分 直观图如左图.…………………………………………6 分 ( Ⅱ ) 由 三 视 图 可 得 PA?AB , PA?AC. 又 AB∩AC=A , ∴PA? 面 ABC . …………………………8 分 ?ABC 是 等 腰 直 角 三 角 形 , 且 AB=AC=a , A C P

∴ S ?ABC ?

1 2 a .………………………………10 分 2
B

∴ V P ? ABC ?

1 1 PA ? S ?ABC ? a 3 . …………………………………………………………12 分 3 6

17.解: (Ⅰ)

f ( x) ? m ? n ? sin ?x ? 3 cos?x …………………………………………………………1 分

? 1 3 ? 2( sin ?x ? cos?x) ? 2 sin(?x ? ) ……………………………3 分 3 2 2
∵ f ( x) 图 像 上 一 个 最 高 点 的 坐 标 为 (

?
12

, 2) , 与 之 相 邻 的 一 个 最 低 点 的 坐 标 为

(

7? , ?2) . 12


T 7? ? ? 2? ? ? ? ,所以 T ? ? ,于是 ? ? ? 2 ………………………………5 分 2 12 12 2 T

∴ 可知f ( x) ? 2sin(2x ?

?

3

) ………………………………………………………6 分

6

(Ⅱ)∵ a ? c ? b ? ac ,∴ cos B ?
2 2 2

a 2 ? c 2 ? b2 1 ? , …………………………7 分 2ac 2

又 0 ? B ? ? ,∴ B ?

?
3

…………………………………………………8 分

? ? 2? f ( A) ? 2sin(2A ? ) , ∵ B ? ,∴ 0 ? A ? , 3 3 3 ? ? 5? 可知 ? 2 A ? ? …………………10 分 3 3 3
? sin( 2 A ?

?

3

) ? ?? 1,1? ? f ( A) ? ?? 2,2?………………………………12 分

18.解: (1)∵ f ( x) ?

1 2 ax ? 2 x ? ln x 2 1 ………………………………2 分 x

当 a=0 时, f ( x) ? 2 x ? ln x ,则 f ' ( x ) ? 2 ? ∴ x, f ' ( x), f ( x) 的变化情况如下表 x (0, -

1 ) 2

1 2
0 极小值

(

1 ,+∞) 2
+

f ' ( x)
f (x)

……………………………………………………………5 分

1 时, f (x) 的极小值为 1+ln2,函数无极大值. ………………………7 分 2 1 2 (2)由已知,得 f ( x) ? ax ? 2 x ? ln x, 且x ? 0,则 2
∴当 x ?

f ' ( x) ? ax ? 2 ?

1 ax2 ? 2 x ? 1 ? ……………………………………………9 分 x x

∵函数 f (x) 是减函数
2 ∴ f ' ( x) ? 0 对 x>0 恒成立,即不等式 ax ? 2 x ? 1 ? 0 对 x ? 0 恒成立………11 分

得 ?

?a ? 0 …………………………………………………………………13 分 ?? ? 4 ? 4a ? 0

,即a 的取值范围是 (??,?1] ……………………………………14 分 解得 a ? ?1

7

19.证明: (Ⅰ)连结 BD1 ,在 ?DD1 B 中, E 、 F 分别为 D1D , DB 的中点,…………………1 分 则 EF // D1B , ……………………………………………………………………2 分 又 D1B ? 平面ABC1D1 , EF ? 平面ABC1D1 …………………………………3 分 所以 EF // 平面ABC1D1 …………………………………………………………4 分 (Ⅱ)连结 BC1 ,由于 AB ? 平面B1BCC1 ,所以 B1C ? AB ……………………5 分 由于 面B1BCC1 为正方形,所以 B1C ? BC1 …………………………………6 分 由于 AB, B1C ? 平面ABC1D1 , AB ? BC1 ? B ………………………………7 分 所以 B1C ? 平面ABC1D1 …………………………………………………8 分 又 BD1 ? 平面ABC1D1 ,所以 B1C ? BD1 ………………………………………9 分 又 EF // BD1 ,所以 EF ? B1C ……………………………………………10 分
D1 A1 E B1 C1

D F

C B

(Ⅲ)?CF ? 平面BDD1B1 ,

A

?CF ? 平面EFB1 且 CF ? BF ? 2 ………………11 分
? EF ? 1 BD1 ? 3 , B1 F ? BF 2 ? BB12 ? ( 2)2 ? 22 ? 6 ,………12 分 2

B1 E ? B1 D12 ? D1 E 2 ? 12 ? (2 2)2 ? 3
∴ EF ? B1F ? B1E ,即 ?EFB1 ? 90? ,………………………………13 分
2 2 2

1 1 1 ?VB1 ? EFC ? VC ? B1EF ? ? S ?B1EF ? CF = ? ? EF ? B1 F ? CF = 1 ? 1 ? 3 ? 6 ? 2 ? 1 3 3 2 3 2
……………14 分 20.解: (1)设椭圆 C 的半焦距为 c ,则

c 3 3 ? ,即 c ? a ① ………………………1 分 a 5 5
8

又 | MF | ? | MF2 | ? | F F2 |? 2a ? 2c ? 16 1 1

② ………………………2 分

联立①②,解得 a ? 5 , c ? 3 ,所以 b ? a2 ? c2 ? 4 ……………………………… 4 分

x2 y 2 ? ? 1 ……………………………………………………5 分 所以椭圆 C 的方程为 25 16
而椭圆 C 上点 M ( x0 , y0 ) 与椭圆中心 O 的距离为
2 2 2 MO ? x0 ? y0 ? x0 ? 16 ?

16 2 9 2 x0 ? x0 ? 16 ? 4 ,等号在 x0 ? 0 时成立,…6 分 25 25
1 , 4

而 MN ? MO ? r ,则 MN 的最小值为 4 ? r ,从而 r ? 则圆 O 的方程为 x ? y ?
2 2

1 …………………………………………………………7 分 16
2 2 x0 y0 ? ?1 25 16

(2)因为点 M ( x0 , y0 ) 在椭圆 C 上运动,所以 即 y0 ? 16 ?
2

16 2 x0 ………………………………………………………………8 分 25

圆心 O 到直线 l ? x0 x ? y0 y ? 1 的距离 d ?

1
2 2 x0 ? y0

?
9 25

1 x0 2 ? 16

……………10 分

当 x0 ? 0 , y0 ? ?4 , d ? 当 x0 ? 0 时, d ?

1 1 ? ? r ,则直线 l 与圆 O 相切.………………… 12 分 16 4

1 1 ? ? r ,则直线 l 与圆 O 相交. …………………14 分 16 4

本题第 1 问直接指出点 M 为椭圆短轴端点时 MN 最小者要扣 1 分.

21.解: (Ⅰ )由题意,得

Sn 1 11 1 11 ? n ? ,即S n ? n 2 ? n. ………………………………1 分 n 2 2 2 2
1 2 11 1 11 n) ? [ (n ? 1) 2 ? (n ? 1)] ? n ? 5. 2 2 2
………………2 分

2 故当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? ( n ?

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 6 ,而当 n ? 1 时,n + 5 = 6,…………………………………3 分 所以, an ? n ? 5(n ? N * ). ……………………………………………………………4 分 又 bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0,即bn?2 ? bn?1 ? bn?1 ? bn (n ? N ) , 所 以 {bn} 为 等 差 数
*

列, ……5 分
9

于是

9(b3 ? b7 ) 23 ? 11 ? 3. ……………………7 分 ? 153. 而 b3 ? 11, 故b7 ? 23, d ? 7?3 2

因此, bn ? b3 ? 3(n ? 3) ? 3n ? 2,即bn ? 3n ? 2(n ? N * ). ………………………8 分 (Ⅱ cn ? )

3 3 ? (2a n ? 11)(2bn ? 1) [2(n ? 5) ? 11][2(3n ? 2) ? 1]
1 ………………………………………………………9 分 (2n ? 1)(2n ? 1)

?
?

1 1 1 ( ? ). ………………………………………………10 分 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? )] 所以, Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 2 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 1 1 n ? (1 ? )? . …………………………………………………11 分 2 2n ? 1 2n ? 1
由于 Tn ?1 ? Tn ?

n ?1 n 1 ? ? ? 0 ,…………………12 分 2n ? 3 2n ? 1 (2n ? 3)(2n ? 1)
1 . ………………………………………13 分 3

因此 Tn 单调递增,故 (Tn ) min ? 令

1 k ? , 得k ? 19, 所以Kmax ? 18. ………………………………………14 分 3 57

10


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