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高三联考文科数学试卷


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高三联考文科数学试卷
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.)

1、cos600°= 1 A. ? 2

( B.
1 2



C. ?

3 2

D.

3 2

2、已知函数 f ( x) ? lg

1? x , 若f (a) ? b, 则f (?a) = 1? x
C.





A.b
2

B.-b

1 b

D.-

1 b
( )

3、函数 f ( x) ? x ? 2( x ? 0) 的反函数的图象大致是

4、一元二次方程 ax2 ? 2x ? 1 ? 0(a ? 0) 有一个正实数根和一个负实数根的 充分不必要条件是 A. ( B. a ? 0 C. a ? ?1 D. a ? 1 )

a ?1

5、一所中学有高一、高二、高三学生共 1600 名,其中高三学生 400 名.如 果通过分层抽样的方法从全体高中学生中抽取一个 160 人的样本,那么 应当从高三年级的学生中抽取的人数是 ( ) A.20 B.40 C.60 D.80 6. 若 P (2, ? 1) 为圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 25的弦 AB 的中点, 则直线 AB 的方程是 ( ) A. 2 x ? y ? 3 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 3 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0 ? 7、若把函数 y ? f ( x) 的图象按向量 a ? ( ? , ? 2) 平移后,得到函数 3

y ? cos x 的图象,则原图象的函数解析式可以为





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A. y ? cos( x ?

?
3

)?2

B. y ? cos( x ?

?
3

)?2

C. y ? cos( x ?

?
3

)?2

D. y ? cos( x ?

?
3

)?2

8、已知抛物线的顶点为原点, 焦点在 y 轴上, 抛物线上点 (m, ? 2) 到焦点的 距离为 4, 则 m 的值为 A.4 B.-2 ( C.4 或-4 ) D.2 或-2

9、已知奇函数 f ( x ) 的定义域为 (??,0) ? (0,??) ,且对任意正实数

x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,恒有
A. f (3) ? f (?5) C. f (?5) ? f (3) 10、若双曲线

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,则一定有( x1 ? x2
B. f (?3) ? f (?5) D. f (?3) ? f (?5)



x2 a2

?

y2 b2

? 1 和椭圆

x2 m2

?

y2 b2

? 1(a ? 0, m ? b ? 0) 的离心率互为

倒数,那么以 a,b,m 为边长的三角形是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 11、已知平面上直线 l 的方向向量 e = (? , ) ,点 O(0,0)和 A(1,-2) 在 l 上的射影分别是 O1 和 A1 ,则 O 1A 1 ? ? e ,其中λ = ( A.
11 5

4 3 5 5



B.-

11 5

C.2

D. -2

x2 y2 5 ?1 12、离心率为黄金比 的椭圆称为“优美椭圆”. 设 2 ? 2 ? 1 2 a b
(a ? b ? 0) 是优美椭圆,F、A 分别是它的左焦点和右顶点,B 是它的短 轴的一个端点,则 ?ABF 等于 ( )

A. 60°

B. 75°
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C. 90°
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D. 120°

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二、 填空题:(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。将正确答案填入答题卡中 。) ........... 13、若曲线 f ( x) ? x ? x 在点 P 处的切线平行于直线 3x ? y ? 0 , 则点 P 的坐标为 . 3 ? ? 14、 sin ? cos ? ? , 且 ? ? ? , 则 cos ? ? sin ? 的值是 . 8 4 2
4

15、若双曲线 2x 2 ? y 2 ? k (k ? 0) 的焦点到相应于该焦点的准线的距离是 2,

则 k=

.

16、 给出平面区域如图所示, 目标函数为: t ? ax ? y 若
2 4 , y ? 时, 目标函数 t 取最小值, 则 3 5 实数 a 的取值范围是 . 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 74 分。)

当且仅当 x ?

17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) 在定义域(-1,1)上是减函数,且

f (a ? 1) ? f (1 ? a 2 ).
(Ⅰ)求 a 的取值范围; (Ⅱ)解不等式 log a ( a ? 1) ? log a 1.
x

18. (本小题满分 12 分)已知等差数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,且公差 d>0,第二 项、第五项、第十四项分别是等比数列 {bn } 的第二项、第三项、第四项. (1)求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式; (2)设数列 {cn } 对任意自然数 n 均有
c c1 c2 ? ? ?? ? n ? an?1 成立,求 b1 b2 bn

a1c1 ? a2 c2 ? ?? ? an cn 的值.
19.(本小题满分 12 分)已知△ABC 内接于单位圆,且(1+tanA)(1+tanB)= 2, (1) 求证:内角 C 为定值; (2) 求△ABC 面积的最大值.
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20.(本小题满分 12 分)已知 A(a, a 2 ) 为抛物线 y ? x 2 上任意一点, 直线 l 为 过点 A 的切线, 设直线 l 交 y 轴于点 B. P ? l , 且 AP ? 2 PB .

(1) 当 A 点运动时, 求点 P 的轨迹方程; 1 ) 到动直线 l 的最短距离, 并求此时 l 的方程. (2) 求点 C (0, 12 21.(本小题满分 12 分)已知 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 是定义在实数集 R 上的 函数,其图象与 x 轴相交于 A,B,C 三点,若 B 点坐标为(2,0) ,且 f ( x) 在[-1,0]和[4,5]上有相同的单调性,在[0,2]和[4,5]上有相反的单调性. (Ⅰ)求 c 的值,写出极值点横坐标的取值范围(不需要证明) ;
( Ⅱ ) 在 函 数 f ( x) 的 图 象 上 是 否 存 在 一 点 M ( x0 , y0 ) ,使曲线

求出点 M 的坐标; y ? ax3 ?bx2 ? cx ? d 在点 M 处的切线斜率为 3b?若存在, 若不存在,说明理由.
x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的左右 a 2 b2

22. (本小题满分 14 分)如图, F1 , F2 分别是椭圆 焦点,M 为椭圆上一点, MF2 垂直于 x 轴,且

OM 与椭圆长轴和短轴端点的连线 AB 平行,
(Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)若 G 为椭圆上不同于长轴端点任一点, 求 ?F1GF2 取值范围; (Ⅲ)过 F2 且与 OM 垂直的直线交椭圆于 P,

Q. 若 S ?PF1Q ? 20 3 ,求椭圆的方程.

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参考答案:
一、 选择题:ABCC BCAC DBDC 二、 填空题: 13、

(1, 0)

; 14、-

1 ; 15、 ; 6 2

16、 ? 三、解答题:

12 3 ?x?? 5 10

17.本题考查函数的基本知识和解不等式的知识. 解: (Ⅰ)由已知得:

?0 ? a ? 2 ?? 1 ? a ? 1 ? 1 ?0 ? a ? 2 ? ? ? 2 2 ? ?0 ? a ? 2或 ? 2 ? a ? 0 ?? 1 ? 1 ? a ? 1 ? ?0 ? a ? 2 ?a ? 1 ? 1 ? a 2 ?a 2 ? a ? 2 ? 0 ?? 2 ? a ? 1 ? ? ?

? 0 ? a ? 1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 0 ? a ? 1 ,
x

??????????? 6/

x x ∴不等式 log a (a ? 1) ? log a 1 ? loga (a ? 1) ? 0 ? 0 ? a ? 1 ? 1

?1 ? a x ? 2
则 原不等式的解集为 {x | loga 2 ? x ? 0}.

??????????? 10/ ??????????? 12/

18. 本题考查等差数列、等比数列的基本知识及数列通项、数列求和等知识. 解: (1)由题意得: (a1 ? d )(a1 ? 13d ) ? (a1 ? 4d ) ,解得:d=2,
2

所以 an ? 2n ? 1,易得 bn ? 3n?1 . (2)由题意得:

???????? 5

/

cn ? an ?1 ? an ? 2 ,所以 cn ? 2 ? 3n?1 ,??????? 8/ bn

an cn ? 2(2n ? 1)3n?1
所以由错位相减法得 a1c1 ? a2c2 ? ?? ancn ? 2(n ?1) ? 3n ? 2 ????? 12/

19. 本题考查正切和角公式,正弦的和(差)角公式,三角形内角和定理、正弦定理,
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三角函数最值等知识. (1) 证明:由(1+tanA)(1+tanB)=2 ? tanA+tanB=1-tanAtanB

? tan(A+B)=1.
∵A、B 为△ABC 内角, ∴A+B=

???????? 3/

3? ? . 则 C= (定值). ?? 6/ 4 4

(2) 解:已知△ABC 内接于单位圆, ∴△ABC 外接圆半径 R=1. ∴由正弦定理得: c ? 2R sin C ? 则△ABC 面积 S=

2 , a ? 2 sin A , b ? 2 sin B .?? 8/

1 ? ac sin B = 2 sin A sin B = 2 sin( ? B ) sin B 2 4
2

= (cosB ? sin B) sin B = cos B sin B ? sin B



1 1 2 ? 1 sin 2 B ? (1 ? cos 2 B) = sin(2 B ? ) ? ?? 10/ 2 2 2 4 2



0<B<

? ? ? 3? , ∴ ? 2B ? ? . 4 4 4 4
2 ?1 . 2
???????? 12/

故 当B ?

?
8

时,△ABC 面积 S 的最大值为

20.本题考查求抛物线的切线、求轨迹、点到直线的距离、求最值等知识. 解: (1)设 P( x, y) , 因为

y? A ? 2 x | x ?a ? 2a ,

?????????? 1/ ?????????? 2/ ?????????? 3/

所以过点 A 的切线方程为 y ? a 2 ? 2a(x ? a) 令 x ? 0 , 则 y ? ?a 2 , B 点坐标为 (0, ? a 2 ) .

a ? x? ? ? 3 2 又 AP ? 2PB , ∴ ? 消去 a, 得 y ? ?3x ?????????? 6/ 2 ?y ? ? a ? 3 ? 2 1 ? a2 1 3 ? [ 4a 2 ? 1 ? ] ???? 8/ (2)设 C 到 l 的距离为 d, 则 d ? 12 2 2 4a ? 1 4 4a ? 1 1 2 设 4a 2 ? 1 ? t ( t ? 1) , 则 d ? (t ? ) 为 t 的增函数 ???????? 10/ 4 3t 1 2 1 ∴ d min ? (1 ? ) ? ,此时 a=0 . ?????????? 11/ 4 3 12 1 故 C 到 l 的最短距离为 , 此时 l 的方程为 y ? 0. ????????? 12/ 12
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21. 本题考查导数与函数极值、函数单调性,导数的几何意义等知识,及分析问题和解 决问题的能力. 解: (Ⅰ)∵ f ( x) 在[-1,0]与[0,2]上有相反的单调性, ∴ f ?(0) ? 0, c ? 0. ∴极值点横坐标的取值范围 x1 ? 0, x2 ? [2,4] (Ⅱ)令 f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? 0, ∴ 函数 f ( x) 的极值点为 x1 ? 0, x 2 ? ? 根据(Ⅰ)得, x 2 ? ? ????????? 2/

又∵ f ( x) 在 [0,2] 与[4,5]上有相反的单调性, ????????? 4/

2b ? [ 2,4], 3a

2b . ????????? 6/ 3a b ∴ ? [ ?6,?3]. ?????? 8/ a

假设存在满足条件的点 M ( x0 , y0 ) ,
2 令 f ?( x0 ) ? 3b, 得3ax0 ? 2bx0 ? 3b ? 0, ????①

方程①的 ? ? 4b ? 36ab ? 4a (
2 2

b2 b b 9 81 ? 9 ? ) ? 4a 2 [( ? ) 2 ? ] ? 0, 2 a a 2 4 a
??????? 12/

∴方程①没有实数根. ∴不存在满足条件的 M 点.

22. 本题考查椭圆的知识,余弦定理,均值不等式求最值等知识,及分析问题和解决问 题的能力. 解:(Ⅰ)由已知 M (c,

b2 ) , ∵ K OM ? K AB a
????????? 3/



b2 b c 2 ? , ∴b ? c ,e ? ? ac a a 2

(Ⅱ)设 GF1 ? m , GF2 ? n

cos? ?

m 2 ? n 2 ? 4c 2 (m ? n) 2 ? 2m n ? 4c 2 2b 2 2b 2 ? ? ?1 ? ?1 ? 0 m?n 2 2m n 2m n mn ( ) 2
∴ ? ? ? 0,

当且仅当 m ? n 时, (cos? ) min ? 0 .

? ?? ????????? 8/ ? 2 ? ?

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(Ⅲ)由(Ⅰ)得 a ?

2c, b ? c

? 2 ( 2c ? y ) 2 ? y ? ? 2 ( x ? c ) ?x ? ? ? 5 y 2 ? 2 2cy ? 2c 2 ? 0 , ? 2 ? ? 2 2 2 2 2 2 ? ? x 2 ? 2 y 2 ? 2c 2 ?b x ? a y ? a b ?
y1 ? y 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ? S ?PF1Q ? 4 3 c 5
????????? 11/

1 1 4 3c F1 F2 y1 ? y 2 ? ? 2c ? ? 20 3 2 2 5

∴ c 2 ? b 2 ? 25, a 2 ? 50 ∴椭圆的方程为

x2 y2 ? ?1 50 25

????????????? 14/

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