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安徽省合肥市第一中学2016届高三上学期段二(期中)考试数学(理)试题


分值:150 分

时长:120 分钟

一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
2 2 1、集合 A ? x y ? lg 4 x ? 4 , B ? y y ? 2 x ? 3 ,则 A ? B ? ( )

?

?

??

/>?

?

A、 ?

B、 x ? 3 ? t ? ?1, 或t ? 1

?

?

C、 x ? 3 ? x ? ?1, 或x ? 1

?

?

D、 x x ? 1

?

?

2、要得到函数 y ? sin( 2 x ?

2? 个单位 3 ? C、向左平移 个单位 3
A、向左平移

2? ) 的图象,需要将函数 y ? sin 2 x 的图象( ) 3 2? B、向右平移 个单位 3
D、向右平移

? 个单位 3

3、已知 ?a n ?为等差数列, a1 ? a3 ? a5 ? 105 , a2 ? a4 ? a6 ? 99 ,则 a20 等于( ) A、-1 B、1 C、3 D、7

4、已知 ?ABC 中, cos A ? A、6
3

3 4 , cos B ? ,BC=4,则 ?ABC 的面积为( ) 5 5
C、5 D、10

B、12

5、设点 P 是曲线 y ? x ? 3 x ?

3 上的任意一点,点 P 处切线的倾斜角为 ? ,则角 ? 的取值范围是( ) 5
C、 ?

A、 ?0,

? 2? ? ? 3 ? ?

B、 ?0,

? ? ? ? 2? ? ,? ? ?? ? 2? ? ? 3 ?

? ? 2? ? , ?2 3 ? ?

D、 ?

? ? 2? ? , ?3 3 ? ?

6、若定义在 R 上的函数 f ?x ? 满足:对任意 x1 , x2 ? R ,有 f ?x1 ? x2 ? ? f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 1,则下列说法一 定正确的是( ) A、 f ? x ? ? 1 为奇函数 C、 f ? x ? ? 1 为奇函数 7、将函数 f ?x ? ? 3 sin ?2 x ? ? ?? ? B、 f ? x ? ? 1 为偶函数 D、 f ? x ? ? 1 为偶函数

?? ? ? ? ? ? ? 的图象向右平移 ? ?? ? 0? 个单位长度后得到函数 g ?x ? 的图 2? ? 2
3 2 ) ,则 ? 的值不可能是( ) 2
C、

象, f ?x ?, g ?x ? 的图象都经过点 P (0, A、

3? 4

B、 ?

5? 4

D、

7? 4

8、“ a ? 0 ”是“函数 f ?x? ? x?ax ? 1? 在区间 ?? ?,0? 内单调递减”的( A、充分不必要条件 C、充分必要条件 9、已知 f ? A、4028 B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件



? a ? 2b ? f ?a ? ? 2 f ?b ? ? =( ) , f ?1? ? 1, f ?4? ? 7 ,则 f ?2016 ?? 3 ? 3 ?
B、4029 C、4030 D、4031

10、在直角三角形 ABC 中, CA ? CB ? 3 ,M,N 是斜边 AB 上的两个动点,且 MN ? 2 ,则 CM ? CN 的 取值范围为( ) A、 ?2, ? 2

? 5? ? ?

B、 ?2,4?

C、 ?3,6?

D、 ?4,6?

11、在 ?ABC 中,三边长 a , b, c ,满足 a ? c ? 3b ,则 tan A、

1 5

B、

1 4

C、

1 2

A C tan 的值为( ) 2 2 2 D、 3

x 12、设函数 f ?x ? ? e ? 2 x ? a(a ? R) , e 为自然对数的底数,若曲线 y ? sin x 上存在点 ?x0 , y0 ? ,使得

f ? f ? y0 ?? ? y0 ,则 a 的取值范围是( )
A、 ? 1 ? e?1 ,1 ? e

?

?

B、 ?1,1 ? e?

C、 ?e, e ? 1?

D、 ?1, e?

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.)
13、在平面直角坐标系内,由曲线 xy ? 1, y ? x, x ? 3 所围成的封闭图形的面积为 14、已知 sin ? , sin ? , cos? 为等差数列,sin ? , sin ? , cos? 为等比数列,则 cos 2? ? .

1 cos 2 ? ? 2

.

15、设 点 O 为 ?ABC 的 内 部 , 点 D,E 分 别 为 边 AC,BC 的 中 点 , 且 3OD ? 2 DE ? 3 , 则

OA ? 2OB ? 3OC ?

.

? 2x ?1 1? ? , x ? ? ? ?,? ? ? 2 ? x 2? 2 ? 16、已 知 函 数 f ?x ? ? ? , g ?x ? ? x ? 4 x ? 4 , 设 b 为 实 数 , 若 存 在 实 数 a , 使 1 ? ? ?ln(x ? 1), x ? ? ,?? ? ? ? ? 2 ? ?

f ?a ? ? g ?b? ? 0 ,则 b 的取值范围是

.

三、解答题

17、(本小题满分 12 分)设 ?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别是 a, b, c ,且 a ? b cosC ? (1)求 B 的大小; (2)若 c ? 1, a ? 3, AC 的中点为 D,求 BD 的长.

3 c sin B . 3

18、(本小题满分 12 分)已知等差数列 ?a n ? 的前 n 项和为 Sn , a2 ? 3, S5 ? 25 ,正项数列 ?bn ? 满足

b1b2b3 ? bn ?

? 3?

sn

.

(1)求数列 ?an ?, ?bn ?的通项公式;
n ?1 ? ? 1? (2)若 ?? 1? ? ? 2 ? 对一切正整数 n 均成立,求实数 ? 的取值范围. n

an

19、(本小题满分 12 分)篮球比赛时,运动员的进攻成功率=投球命中率×不被对方运动员的拦截率 。某运 动员在距球篮 10 米(指到篮圈圆心在地面上射影的距离)以内的投球命中率有如下变化:距球篮 1 米以内 (不含 1 米)为 100 % . 距离球篮 x 米处,命中率下降至 100% ?10%?x? . 该运动员投球被拦截率为

90% ??x?为实数x的整数部分,如 ?3.4? ? 3?.试求该运动员在比赛时: (结果精确到 1 % ) ?x? ? 1
(1)在三分线(约距球篮 6.72 米)处的进攻成功率为多少? (2)在距球篮几米处的进攻成功率最大,最大进攻成功率为多少? 20、(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ?

1 2 x ? kx ? 1, g ( x) ? ( x ? 1) ln( x ? 1) 2

(1)若函数 g ?x ? 的图象在原点处的切线 l 与函数 f ?x ? 的图象相切,求实数 k 的值; (2)若对于 ?t ? 0, e ? 1 ,总存在 x1 , x2 ? ?? 1,4? ,且 x1 ? x2 满足 f ?xi ? ? g ?t ??i ? 1,2? ,其中 e 为自然 对数的底数,求实数 k 的取值范围. 21、(本小题满分 12 分)已知数列 ?a n ?的通项公式 an ? n ? 1 (1)求证: sin

?

?

?
an

?

2 ; an

(2)设数列 ?sin

? ?

? 1 ? ? 的前 n 项和为 Sn ,求证: ? S n ? . 3 2 an an?1 ?

?

请考生在第 22,23,24 题任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题 号. 22、(本小题满分 10 分)如图,已知 ? o 是 ?ABC 的外接圆,AB=BC,AD 是 BC 边上的高,AE 是 ? o 的直径. (1)求证: AC ? BC ? AD ? AE ; (2)过点 C 作 ? o 的切线交 BA 的延长线于点 F,若 AF=4,CF=6,求 AC 的长.

23、(本小题满分 10 分) 在直角坐标系 xoy 中, 曲线 M 的参数方程为 ?

? x ? sin ? ? cos? ??为参数? .若以该 ? y ? sin 2?

直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 N 的极坐标方程为:

?? 2 ? ? sin?? ? ? ? t (其中 t 为常数)
? 4? 2
(1)若曲线 N 与曲线 M 只有一个公共点,求 t 的取值范围; (2)当 t=-2 时,求曲线 M 上的点与曲线 N 上点的最小距离 24、(本小题满分 10 分)已知函数 f ?x? ? x ? a ? x ? 2 (1)当 a ? ?3 时,求不等式 f ?x ? ? 3 的解集; (2)若 f ?x ? ? x ? 4 的解集包含 ?0,3? ,求 a 的取值范围.

[来源:学科网]

[来源:学科网 ZXXK]

数学(理)答案

一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1 B 2 D 3 B
[来源:学科网]

4 A

5 B

6 C

7 C

8 A

9 D

10 D

11 C

12 A

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、 4 ? ln 3 14、0 15、6 16、 ?? 1,5?

17、解: (1) sin(B ? C ) ? sin B cosC ? 化简可得: tan B ? 3 又 0 ? B ? ? ,所以 B ?

3 sin C sin B , 3

?
3

(2) 2BD ? BA ? BC ,两边 同时平方,得:

4 BD ? BA ? BC ? 2 BC ? BA ? 1 ? 9 ? 2 ?1? 3 ?

2

2

2

1 ? 13 , 2

? BD ?

13 2

18、解: (1)由已知 S5 ? 5a3 ? 25, 故a3 ? 5, 又a2 ? 3, 则 d=2,故 an ? 2n ? 1

b1b2 ...bn ?
又 b1 ? (2) ?? 1?
n

? 3?
S1

Sn

, b1b2b3 ? bn ?1 ?
1

? 3?
n

S n?1

,相除得 bn ?
2 n ?1

? 3?

2 n ?1

?n ? 2?

? 3 ? ? ? 3 ? 满足上式,故 b ? ? 3 ?
an
2n ? 1

?n ? 1?
[来源:Zxxk.Com]

? ? 2?

?? 1?n?1 即 ?? 1?n ? ? 2 ? ?? 1?n?1 对一切正整数 n 均成立,

1 恒成立,则 ? ? ?2 2n ? 1 5 1 ②n 为偶数时, ? ? 2 ? 恒成立,则 ? ? 3 2n ? 1 5 综上 ? 2 ? ? ? 3
①n 为奇数时, ? ? ?2 ? 19、解: (1)依题意,投篮命中率为 100% ?10%?x? ,投篮不被拦截率为 1 ?

90% ; ?x ? ? 1

故该运动员的进攻率(设为 y)为 y ? (1 ?

90% 90% )(1 ? 0.1?x?) )?100% ? 10%?x?? = (1 ? ?x? ? 1 ?x? ? 1

设 ?x? ? 1 ? t , 则?x? ? t ? 1 , y ? (1 ?

0.9 0.99 )(1.1 ? 0.1t ) ? 1.19 ? (0.1t ? ) t t

当 x ? 6.72 时, t ? ?6.72? ? 1 ? 7, y ? 0.35 ? 35% (2)? 0.1t ?

0.99 0.99 0.99 ,当且仅当 0.1t ? ,即 t ? 3.15 取等号. ? 2 0.1t ? t t t

* 但 t ? N ,? t=3 或 4 时, y 可能有最大值,当 t=3 时, y ? 0.56 ,当 t ? 4 时, y ? 0.54 ,

? 当 t=3 时,y 有最大值 0.56,这时 ?x? ? 2 ,即 2 ? x ? 3 .
答:在三分线处进攻率为 35 % ,在距离球篮 2 至 3 米的进攻成功率最大,最大成功率为 56 % . 20、解: ( 1 ) ? 原函数定义域为 ?? 1,??? , g , ?x? ? ln(x ? 1) ? 1 ,则 g ?0? ? 0, g , ?0? ? 1,?l : y ? x ,由

1 ? ? y ? x 2 ? kx ? 1 ? x 2 ? 2?k ? 1?x ? 2 ? 0 , ? 2 ? y?x ?
? l 与函数 f ?x ? 的图象相切,?? ? 4?k ?1?2 ? 8 ? 0 ? k ? 1 ? 2 .
(2)当 x ? 0, e ?1 时, g , ( x) ? ln(x ? 1) ? 1 ? 0 ,

?

?

? g ?x ? ? ?x ? 1?ln?x ? 1? 在区间 0, e ? 1 上为增函数,
? x ? 0, e ?1 时, 0 ? g ( x ) ? ? f ?x ? ?

?

?

?

?

1 e 2

1 2 x ? kx ? 1 的对称 轴为: x ? ? k ,? 为满足题意, 必须 ? 1 ? ?k ? 4 ----11 分 2 1 2 此时 f ? x ?min ? f (? k ) ? 1 ? k , f ?x ? 的值恒小于 f ?? 1? 和 f ?4? 中最大的一个. 2
对于 ?t ? 0, e ? 1 ,总存在 x1 , x2 ? ?? 1,4? ,且 x1 ? x2 满足 f ?xi ? ? g ?t ??i ? 1,2?,

?

?

? 1 ? ? ?0, e ? ? f ?x ?min , min? f ?? 1?, f ?4??? ? 2 ? ?
? ? 4 ? k ?1 ? - 1 ? ?k ? 4 1 2 ? ? f ?x ? ? 0 1 ? k ?0 ? min ? 2 ? ? ? ? 1 e ? f ?4 ? ? ? 1 e ? 4k ? 9 ?2 ?2 ? 1 e ? f ?? 1? ? 1 3 e ? ?k ? ? ?2 2 ?2
1 9 e? ?k?? 2 8 4

?

21.证明: (1)设 f ? x ? ? sin x ?

2

?

x ,则 f , ? x ? ? cos x ?

2

?

,结合函数 y ? cos x 的单调性,知 ?x0 ? ? 0,

? ?? ?, ? 2?

函数 f ?x ? 在区间 ?0,x0 ? 上递增, 在 ? x0 , 即 sin x ? 令x?

? ?

??

? ?? ?? ? 又 f ?0? ? f ? ? ? 0 ,因此在 ?0, ? 上, 恒有 f ?x ? ? 0 ? 上递减, 2? ? 2? ?2?

2

?

x.

?
an

,显然 x ?

? 2 ? ?? ? ?0, ? ,故 sin ? an an an ? 2 ?
? ?? ? ? 0, ?, an an?1 ? 2 ?

?

(2)? an an?1 ? 6,?

?

由(1)知 sin

?
an an?1

?

? 1 ? 2 1 1 ? ,? Sn ? 2? ? ? ...? ? ?n ? 1?(n ? 2) ? an an?1 ? 2 ? 3 3? 4 ?

= 2?

1 1 ? ?1 1 ? 1 ?1 1 1 1 ? ? ? ? ... ? ? ? ? 2? ? ?? n ?1 n ? 2 ? ? 2 n ? 2 ? 3 ?2 3 3 4

设 g ? x ? ? sin x ? x (0 ? x ?

?
2

) ,则 g , ( x) ? cos x ? 1 ? 0 ,

? ?? ? 函数 g ?x ? 在 ? 0, ? 单调递减. ? 2?

? ?? ? g ?x ? ? g (0) ? 0, 即当 x ? ? 0, ?时,恒有sin x ? x . ? 2?

? 1 ? 1 1 1 1 ? ?1 1 1 1 ? Sn ? ? ? ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ...? ?n ? 1??n ? 2? ? ? ? ? ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ...? n ? 1 ? n ? 2 ? ? ? ? ?
=? ?

?1 1 ? ? ?? ?2 n?2? 2

22.解: (1)连接 BE,又 ?ABE 为直角三角形,

所以 ?ABE ? ?ADC ? 90 . 又?AEB ? ?ACB ,
0

AB AE ? , AD AC 即 AB ? AC ? AD ? AE ,又 AB ? BC ,故 AC ? BC ? AD ? AE
所以 ?ABE ? ?ADC ,所以 (2)因为 FC 为圆的切线,所以 FC ? FA? FB ,
2

又 AF=4,CF=6,从而解得 BF=9,AB=BF-AF=5

[来源:学科网 ZXXK]

因为 ?ACF ? ?CBF , ?CFB ? ?AFC ,所以 ?AFC ? ?CFB 所以

AF AC AF ? CB 10 ? ? ,即 AC ? CF CB CF 3

23.解:对于曲线 M,消去参数,得普通方程为 y ? x 2 ?1, x ? 2 .曲线 M 是抛物线的一部分;对于曲线 N, 化成直角方程为 x ? y ? t ,曲线 N 是一条直线. (1)若曲线 M,N 只有一个公共点,则有直线 N 过点

? 2, 1?时满足要求,并且向左下方平行运动直到过点

?-

2, 1 之前总是保持只有一个公共点,再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两个公共点,所以

?

? 2 ? 1 ? t ? 2 ? 1 满足要求;相切时仍然只有一个公共点,由 t ? x ? x 2 ? 1 ,得 x 2 ? x ? 1 ? t ? 0 ,
5 5 ? ? 1 ? 4?1 ? t ? ? 0 ,求得 t ? ? .综合可求得 t 的取值范围是: ? 2 ? 1 ? t ? 2 ? 1或t ? ? . 4 4
(2)当 t ? ?2 时,直线 N: x ? y ? ?2 ,设 M 上点为 x0 , x0 ? 1 , x0 ? 2 ,则

?

2

?

1? 3 ? x0 ? ? ? x0 ? x0 ? 1 ? 2? 4 3 2 . d? ?? ? 8 2 2
2

2

当 x0 ? ?

1 3 2 时取等号,满足 x0 ? 2 ,所以所求的最小距离为 . 2 8


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