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【拿高分,选好题】高中新课程数学(苏教)二轮复习精选第一部分 《必考问题7 等差数列、等比数列》


训练 7

等差数列、等比数列

(参考时间:80 分钟)
一、填空题 1.设{an}是公差为正数的等差数列,若 a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则 a11+a12 +a13=________. a13 2.(2012· 苏州期中)已知等比数列{an}为递增数列,且 a3+a7=3,a2a8=2,则a
11

=________. S3 1 S6 3.(2012· 南京二模)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若S =3,则S =________.
6 7

1 4. 在等比数列{an}中, 已知 a1+a2=2, 3+a4=1, a7+a8+a9+a10=________. a 则 5.数列{an}为正项等比数列,若 a2=1,且 an+an+1=6an-1(n∈N*,n≥2),则此 数列的前 4 项和 S4=________. 1 6.(2012· 南京学情调研)在等比数列{an}中,若 a1=2,a4=-4,则|a1|+|a2|+… +|a6|=________. 7.(2012· 徐州质检)设 Sn 是公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=20, 且 a3,a7,a9 成等比数列,则 S10 的值为________. 8.在等差数列{an}中,a10<0,a11>0,且 a11>|a10|,则{an}的前 n 项和 Sn 中最 大的负数为前______项的和. 9.(2012· 江苏卷改编)各项均为正数的等比数列{an}满足 a1a7=4,a6=8,若函数 ?1? f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+a10x10 的导数为 f′(x),则 f′?2?=________. ? ? 10.(2011· 江苏卷改编)在各项均为正偶数的数列 a1,a2,a3,a4 中,前三项依次 成公差为 d(d>0)的等差数列,后三项依次成公比为 q 的等比数列.若 a4-a1 =88,则 q 的所有可能的值构成的集合为________. 二、解答题 an 11.设数列{an}的前 n 项和 Sn=n2,数列{bn}满足 bn= (m∈N*). an+m (1)若 b1,b2,b8 成等比数列,试求 m 的值;

(2)是否存在 m,使得数列{bn}中存在某项 bt 满足 b1,b4,bt(t∈N*,t≥5)成等 差数列?若存在,请指出符合题意的 m 的个数;若不存在,请说明理由. 12.(2012· 南通调研)已知数列{an}成等比数列,且 an>0. (1)若 a2-a1=8, 3=m.①当 m=48 时, a 求数列{an}的通项公式; ②若数列{an} 是唯一的,求 m 的值; (2)若 a2k+a2k-1+…+ak+1-(ak+ak-1+…+a1)=8,k∈N*,求 a2k+1+a2k+2 +…+a3k 的最小值. 13.(2012· 苏锡常镇调研,19)数列{an}中,a1=1,a2=2.数列{bn}满足 bn=an+1 +(-1)nan, n∈N+. (1)若数列{an}是等差数列,求数列{bn}的前 6 项和 S6; (2)若数列{bn}是公差为 2 的等差数列,求数列{an}的通项公式; 6 (3)若 b2n-b2n-1=0,b2n+1+b2n=2n,n∈N+,求数列{an}的前 2n 项的和 T2n. 14.(2012· 南京调研,20)设等差数列{an}的前 n 项和是 Sn,已知 S3=9,S6=36. (1)求数列{an}的通项公式; (2)是否存在正整数 m、k,使 am,am+5,ak 成等比数列?若存在,求出 m 和 k 的值,若不存在,请说明理由; (3)设数列{bn}的通项公式为 bn=3n-2.集合 A={x|x=an,n∈N*},B={x|x= bn, n∈N*}. 将集合 A∪B 中的元素从小到大依次排列, 构成数列 c1,2,3, c c …, 求{cn}的通项公式.

参考答案 训练 7 等差数列、等比数列
1.解析 a1+a2+a3=15?3a2=15?a2=5,a1a2a3=80?(a2-d)a2(a2+d)=80, 将 a2=5 代入,得 d=3(舍去 d=-3),从而 a11+a12+a13=3a12=3(a2+10d) =3×(5+30)=105. 答案 105 2.解析 根据等比数列的性质建立方程组求解.因为数列{an}是递增等比数列, 所以 a2a8=a3a7=2,又 a3+a7=3,且 a3<a7,解得 a3=1,a7=2,所以 q4 a13 =2,故a =q2= 2. 11 答案 2 S3 3a1+3d 1 S6 3.解析 设等差数列{an}的公差为 d,则S = = ?a1=2d,所以S = 6a1+15d 3 6 7

6a1+15d 27 = . 7a1+21d 35 27 答案 35 4.解析 根据等比数列中相邻两项的和(不为 0)仍然成等比数列的性质求解.由 1 题意可知相邻两项的和构成以2为首项,2 为公比的等比数列,所以 a7+a8= 4,a9+a10=8,故 a7+a8+a9+a10=12. 答案 12 6 5.解析 设{an}的公比为 q(q>0),当 n=2 时,a2+a3=6a1,从而 1+q=q,∴ 1 4 2×?1-2 ? 15 1 q=2 或 q=-3(舍去),a1=2,代入可有 S4= =2. 1-2 15 答案 2 1 6.解析 求出等比数列的通项公式,再求和.由等比数列{an}中,若 a1= ,a4 2 1 1 =-4,得公比为-2,所以 an=2×(-2)n-1,|an|=2×2n-1,所以|a1|+|a2|+… 6 1 1 1-2 63 2 5 +|a6|=2(1+2+2 +…+2 )=2× = . 1-2 2 63 答案 2 7.解析 设等差数列{an}的公差为 d(d≠0),则 a2=a3a9 即为(20+6d)2=(20+ 7 10×9 2d)(20+8d),解得 d=-2,所以 S10=10×20+ 2 ×(-2)=110. 答案 110 8.解析 因为 S19=19a10<0,而由 a11>|a10|得 a11+a10>0,所以 S20=10(a11+ a10)>0,故 Sn 中最大的负数为前 19 项的和. 答案 19 9.解析 因为各项均为正数的等比数列{an}满足 a1a7=4,a6=8,所以 a4=2, ?1? q=2,故 an=2n-3,又 f′(x)=a1+2a2x+3a3x2+…+10a10x9,所以 f′?2?=2 ? ? 10×11 55 -2 +2×2-2+3×2-2+…+10×2-2=2-2× 2 = 4 . 55 答案 4 10.解析 由题意可知,这四个数即为 2a2-a2q,a2,a2q,a2q2,因为各项均为 正偶数,且前三项依次成公差为 d(d>0)的等差数列,所以 2a2-a2q>0,a2 >0,d=a2q-a2>0,解得 1<q<2.a4-a1=a2q2-2a2+a2q=a2(q-1)(q+2) 88? 88 ? =88,又 a2(q-1)=d,所以 d= ∈?22, 3 ?,又 d 为偶数,所以 d=24 ? q+2 ? 5 18 或 26 或 28,当 d=24 时,q=3,a2=36,适合题意;当 d=26 时,q=13,

36×13 8 a2= 5 ,不适合题意;当 d=28 时,q=7,a2=196,适合题意,故 q 的 ?5 8? 所有可能的值构成的集合为?3,7?. ? ? ?5 8? 答案 ?3,7? ? ? 11.解 (1)因为 Sn=n2,所以当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-1, 又当 n=1 时,a1=S1=1,适合上式,所以 an=2n-1(n∈N*) 2n-1 1 3 15 2 所以 bn= ,则 b1= ,b2= ,b8= ,由 b2=b1b8, 2n-1+m 1+m 3+m 15+m 1 15 ? 3 ? 得?3+m?2= × ,解得 m=0(舍)或 m=9,所以 m=9. ? ? 1+m 15+m (2)假设存在 m,使得 b1,b4,bt(t∈N*,t≥5)成等差数列,即 2b4=b1+bt, 2t-1 7 1 36 则 2× = + ,化简得 t=7+ . 7+m 1+m 2t-1+m m-5 所以当 m-5=1,2,3,4,6,9,12,18,36 时, 分别存在 t=43,25,19,16,13,11,10,9,8 适 合题意,即存在这样 m,且符合题意的 m 共有 9 个. 12.解 设公比为 q,则由题意,得 q>0. ?a1q-a1=8, (1)①由 a2-a1=8,a3=m=48,得? 2 ?a1q =48. ?a1=8?2- 3?, ?a1=8?2+ 3?, 解之,得? 或? ?q=3+ 3; ?q=3- 3. 所以数列{an}的通项公式为 an=8(2- 3)(3+ 3)n-1,或 an=8(2+ 3)(3- 3)n-1. ?a1q-a1=8, ②要使满足条件的数列{an}是唯一的, 即关于 a1 与 q 的方程组? 2 ?a1q =m. 2 有唯一正数解,即方程 8q -mq+m=0 有唯一解. 由 Δ=m2-32m=0,a3=m>0,所以 m=32,此时 q=2. 经检验,当 m=32 时,数列{an}唯一,其通项公式是 an=2n+2. (2)由 a2k+a2k-1+…+ak+1-(ak+ak-1+…+a1)=8, 得 a1(qk-1)(qk-1+qk-2+…+1)=8,且 q>1. 8q2k a2k + 1 + a2k + 2 + … + a3k = a1q2k(qk - 1 + qk - 2 + … + 1) = k = q -1 1 ? k ? 8?q -1+qk-1+2?≥32, ? ? 1 k k ,即 q= 2,a1=8( 2-1)时, q -1 a2k+1+a2k+2+…+a3k 的最小值为 32. 13.解 (1)∵a1=1,a2=2,数列{an}是等差数列,∴an=n. 则 b1=b3=b5=1,b2=5,b4=9,b6=13. ∴S6=b1+b2+…+b6=30. (2)∵b1=a2-a1=2-1=1,数列{bn}是公差为 2 的等差数列, 当且仅当 qk-1=
k

∴bn=2n-1. ∵b2n-1=a2n-a2n-1,b2n=a2n+1+a2n, ∴a2n-a2n-1=4n-3,a2n+1+a2n=4n-1. ∴a2n+1+a2n-1=2. 则 a2n+3+a2n+1=2.∴a2n+3=a2n-1.(*) ∵a1=1,∴a3=1.则 a4n-3=a1=1,a4n-1=a3=1. ∴a2n-1=1. 则 a2n=4n-2. ?n为奇数?, ?1 ∴an=? ?2n-2 ?n为偶数?. 6 (3)∵b2n-b2n-1=0,b2n+1+b2n=2n,n∈N*, 而 b2n-1=a2n-a2n-1,b2n=a2n+1+a2n,b2n+1=a2n+2-a2n+1, 6 ∴a2n+1=-a2n+1,a2n+2+a2n=2n(n∈N*). ∵a1=1,∴a2n-1=(-1)n-1. 6 ∵a2=2,由 a2n+2+a2n=2n知数列{a2n}唯一确定, 4 4 而 a2n=2n时满足要求,∴a2n=2n. 则 T2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n) 1? ? 2×?1-2n? n 1-?-1? ? ? 9 ?1?n 1 n ? ? = - 1 =2-4×?2? -2(-1) 1-?-1? 1- 2 14. 解 ?3a1+3d=9, (1)设等差数列{an}的公差是 d, S3=9 和 S6=36, ? 由 得 ?6a1+15d=36, 解得 a1=1,d=2,an=a1+(n-1)d=2n-1,即等差数列{an}的通项公式为 an=2n-1. (2)am,am+5,ak 成等比数列等价于(2m-1)(2k-1)=(2m+9)2, ?2m+9?2 ?2m-1+10?2 100 等价于 2k-1= = =2m-1+20+ , 2m-1 2m-1 2m-1 50 即:k=m+10+ ,m,k 是正整数,所以存在正整数 m,k,使 am,am 2m-1 +5,ak 成等比数列,m 和 k 的值是 m=1,k=61 或 m=3,k=23 或 m=13,k =25. (3)因为 a3k-2=2(3k-2)-1=6k-5,a3k-1=2(3k-1)-1=6k-3, a3k=2×3k-1=6k-1;b2k-1=3(2k-1)-2=6k-5=a3k-2, b2k=3×2k-2=6k-2?A,所以 a3k-2=b2k-1<a3k-1<b2k<a3k,k=1,2,3, 即:当 n=4k-3(k∈N*)时,cn=6k-5;当 n=4k-2(k∈N*) cn=6k-3,当 n=4k-1(k∈N*)时,cn=6k-2,当 n=4k(k∈N*)时,cn=6k

?6k-3,n=4k-2 -1,所以{c }的通项公式是 c =? 6k-2,n=4k-1 ?6k-1,n=4k
6k-5,n=4k-3
n n



? ?3n 即:c =? 2 ,n=4k-2 ?3n-2,n=4k ? 2
n

3n-1 2 ,n=2k-1



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