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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学(苏教版,必修一) 第二章函数 2.1.3第4课时 课时作业]


第 4 课时
课时目标

奇偶性的应用

1.巩固函数奇偶性概念.2.能利用函数的单调性、奇偶性解决有关问题.

1.定义在 R 上的奇函数,必有 f(0)=____. 2.若奇函数 f(x)在[a,b]上是增函数,且有最大值 M,则 f(x)在[-b,-a]上是____函数, 且有__________. 3.

若偶函数 f(x)在(-∞,0)上是减函数,则有 f(x)在(0,+∞)上是________.

一、填空题 1.设偶函数 f(x)的定义域为 R,当 x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则 f(-2),f(π), f(-3)的大小关系是________. 2.已知函数 f(x)在[-5,5]上是偶函数,f(x)在[0,5]上是单调函数,且 f(-3)<f(1),则下列 不等式中一定不成立的是________.(填序号) ①f(-1)<f(-3);②f(2)<f(3);③f(-3)<f(5);④f(0)>f(1). 3.设 f(x)是 R 上的偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,若 x1<0 且 x1+x2>0,则 f(-x1) 与 f(-x2)的大小关系为________. f?x?-f?-x? 4.设奇函数 f(x)在(0,+∞)上为减函数,且 f(1)=0,则不等式 <0 的解集为 x ________. 5.设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且 f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x,则 f(7.5) =______________. 6 .若奇函数 f(x) 在 (0 ,+∞) 上是增函数,又 f( - 3) = 0 ,则不等式 x· f(x)<0 的解集为 ______________. 7. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x), 当 x>0 时, f(x)=x2+|x|-1, 那么 x<0 时, f(x)=________. 2 8.若函数 f(x)=(k-2)x +(k-1)x+3 是偶函数,则 f(x)的递增区间是________. 9.已知 f(x)=ax7-bx+2 且 f(-5)=17,则 f(5)=________. 二、解答题 10.设定义在[-2,2]上的奇函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减,若 f(m)+f(m-1)>0,求实数 m 的取值范围.

11.设函数 f(x)在 R 上是偶函数,在区间(-∞,0)上递增,且 f(2a2+a+1)<f(2a2-2a+ 3),求 a 的取值范围.

能力提升 12.若定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意 x1,x2∈R 有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下 列说法一定正确的是________(把你认为正确的序号填上). ①f(x)为奇函数; ②f(x)为偶函数; ③f(x)+1 为奇函数; ④f(x)+1 为偶函数. 13.若函数 y=f(x)对任意 x,y∈R,恒有 f(x+y)=f(x)+f(y). (1)指出 y=f(x)的奇偶性,并给予证明; (2)如果 x>0 时,f(x)<0,判断 f(x)的单调性; (3)在(2)的条件下,若对任意实数 x,恒有 f(kx2)+f(-x2+x-2)>0 成立,求 k 的取值范围.

1.函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映,也体现了在关于原点对称的定义域的 两个区间上函数值及其性质的相互转化,这是对称思想的应用. 2.(1)根据奇函数的定义,如果一个奇函数在原点处有定义,即 f(0)有意义,那么一定有 f(0)=0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数. (2)偶函数的一个重要性质:f(|x|)=f(x),它能使自变量化归到[0,+∞)上,避免分类讨论. 3.具有奇偶性的函数的单调性的特点: (1)奇函数在[a,b]和[-b,-a]上具有相同的单调性. (2)偶函数在[a,b]和[-b,-a]上具有相反的单调性.

第 4 课时

奇偶性的应用

知识梳理 1.0 2.增 最小值-M 3.增函数 作业设计 1.f(π)>f(-3)>f(-2) 解析 ∵f(x)是偶函数,∴f(-2)=f(2),f(-3)=f(3), 又∵f(x)在[0,+∞)上是增函数, ∴f(2)<f(3)<f(π). 2.①②③ 解析 ∵f(-3)=f(3), ∴f(3)<f(1). ∴函数 f(x)在 x∈[0,5]上是减函数. ∴f(0)>f(1). 3.∵f(-x1)>f(-x2)

解析 ∵f(x)是 R 上的偶函数, ∴f(-x1)=f(x1). 又 f(x)在(0,+∞)上是减函数,x2>-x1>0, ∴f(-x2)=f(x2)<f(-x1). 4.(-∞,-1)∪(1,+∞) f?x?-f?-x? f?x? 解析 ∵f(x)为奇函数,∴ <0,即 <0,∵当 x∈(0,+∞)时,f(x)在(0, x x +∞)上为减函数且 f(1)=0,∴当 x>1 时,f(x)<0.由奇函数图象关于原点对称,所以在 f?x? (-∞,0)上 f(x)为减函数且 f(-1)=0,即 x<-1 时,f(x)>0.综上使 <0 的解集为(-∞, x -1)∪(1,+∞). 5.-0.5 解析 由 f(x+2)=-f(x),则 f(7.5)=f(5.5+2) =-f(5.5)=-f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2) =-f(1.5)=-f(-0.5+2)=f(-0.5) =-f(0.5)=-0.5. 6.{x|0<x<3,或-3<x<0} 解析 依题意,得 x∈(-∞,-3)∪(0,3)时,f(x)<0; x∈(-3,0)∪(3,+∞)时,f(x)>0. 由 x· f(x)<0,知 x 与 f(x)异号, 从而找到满足条件的不等式的解集为(-3,0)∪(0,3). 7.-x2+x+1 解析 由题意,当 x>0 时,f(x)=x2+|x|-1=x2+x-1, 当 x<0 时,-x>0,∴f(-x)=(-x)2+(-x)-1=x2-x-1, 又∵f(-x)=-f(x), ∴-f(x)=x2-x-1,即 f(x)=-x2+x+1. 8.(-∞,0] 解析 因为 f(x)是偶函数,所以 k-1=0,即 k=1. ∴f(x)=-x2+3,即 f(x)的图象是开口向下的抛物线. ∴f(x)的递增区间为(-∞,0]. 9.-13 解析 (整体思想)f(-5)=a(-5)7-b(-5)+2=17?(a· 57-5b)=-15, 7 ∴f(5)=a· 5 -b· 5+2=-15+2=-13. 10.解 由 f(m)+f(m-1)>0, 得 f(m)>-f(m-1),即 f(1-m)<f(m). 又∵f(x)在[0,2]上为减函数且 f(x)在[-2,2]上为奇函数, ∴f(x)在[-2,2]上为减函数. -2≤1-m≤2 ? ? ∴?-2≤m≤2 ? ?1-m>m -1≤m≤3 ? ?-2≤m≤2 ,即? 1 ? ?m<2



1 解得-1≤m< . 2 11.解 由 f(x)在 R 上是偶函数,在区间(-∞,0)上递增, 可知 f(x)在(0,+∞)上递减. 1 7 ∵2a2+a+1=2(a+ )2+ >0, 4 8 1 5 2a2-2a+3=2(a- )2+ >0, 2 2 且 f(2a2+a+1)<f(2a2-2a+3),

∴2a2+a+1>2a2-2a+3, 2 即 3a-2>0,解得 a> . 3 12.③ 解析 令 x1=x2=0,得 f(0+0)=f(0)+f(0)+1, 解得 f(0)=-1. 令 x2=-x1=x,得 f(0)=f(-x)+f(x)+1, 即 f(-x)+1=-f(x)-1, 令 g(x)=f(x)+1,g(-x)=f(-x)+1,-g(x)=-f(x)-1, 即 g(-x)=-g(x). 所以函数 f(x)+1 为奇函数. 13.解 (1)令 x=y=0,得 f(0)=f(0)+f(0), ∴f(0)=0. 令 y=-x,得 f(0)=f(x)+f(-x), ∴f(x)+f(-x)=0, 即 f(x)=-f(-x),所以 y=f(x)是奇函数. (2)令 x+y=x1,x=x2,则 y=x1-x2, 得 f(x1)=f(x2)+f(x1-x2). 设 x1>x2,∵x>0 时 f(x)<0,∴f(x1-x2)<0, 则 f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)<0,即 f(x1)<f(x2). 所以 y=f(x)为 R 上的减函数. (3)由 f(kx2)+f(-x2+x-2)>0, 得 f(kx2)>-f(-x2+x-2), ∵f(x)是奇函数,有 f(kx2)>f(x2-x+2), 又∵f(x)是 R 上的减函数, ∴kx2<x2-x+2, 即(k-1)x2+x-2<0 对于 x∈R 恒成立, ?k-1<0 ? 7 即? ,故 k< . 8 ? Δ = 1 + 8 ? k - 1 ? <0 ?


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