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南京市2010届高三数学考前综合训练题


南京市 2010 届高三数学考前综合训练题
1.定义:在数列{an}中,若 an2-an-12=p, (n≥2,n∈N*,p 为常数) ,则称{an}为“等方差数列” .下列是对“等方差数 列”的有关判断: ①若{an}是“等方差数列” ,则数列{an2}是等差数列; ②{(-1)n}是“等方差数列” ; ③若{an}是“等方差数列” ,则数列{akn}(k∈N*,k

为常数)也是“等方差数列” ; ④若{an}既是“等方差数列” ,又是等差数列,则该数列是常数数列. 其中判断正确的序号是 . π 2.已知向量a=(sinθ,-2)与b=(1,cosθ)互相垂直,其中θ∈(0, ). 2 (1)求sinθ和cosθ的值; (2)若 sin(θ-?)= 10 π ,0<?< ,求?的值. 10 2

π 4 3.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,B= ,cosA= ,b= 3. 3 5 (1)求 sinC 的值; (2)求△ ABC 的面积. π 4.在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,已知 c=2,C= . 3 (1)若△ ABC 的面积等于 3,求 a,b 的值; (2)若 sinC+sin(B-A)=2sin2A,求角 A 的大小. 5.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 A,B,C 成等差数列. 3 → → (1)若AB?BC=- ,b= 3,求 a+c 的值; 2 (2)求 2sinA-sinC 的取值范围. 6.如图 1 所示,在边长为 12 的正方形 AA'A1'A1 中,点 B,C 在线段 AA'上,且 AB=3,BC=4,作 BB1//AA1,分别交 A1A1'、 AA1'于点 B1、P,作 CC1//AA1,分别交 A1A1'、AA1'于点 C1、Q,将该正方形沿 BB1、CC1 折叠,使得 A'A1'与 AA1 重合, 构成如图 2 所示的三棱柱 ABC-A1B1C1. (1)在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,求证:AB⊥平面 BCC1B1; (2)求平面 APQ 将三棱柱 ABC-A1B1C1 分成上、下两部分几何体的体积之比.
A1 B1 C1 A1' A1 B1 C1

Q P B A B 图1 C A' A

Q

P

C

图2

1 7.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,CD∥AB,AD?AB,AD=DC= AB,BC?PC. 2 (1)求证:PA?BC; (2)试在线段 PB 上找一点 M,使 CM∥平面 PAD,并说明理由.
D C

A

B

P

8.如图所示,两个全等的正方体 ABCD-A1B1C1D1,CRST-C1R1S1T1 有一条公共的棱 CC1,且平面 BCC1B1 与平面 CTT1C1 在同一平面内,平面 CDD1C1 与平面 CRR1C1 在同一平面内,P、Q 分别是棱 B1C1、CC1 的中点. (1)求证:PQ⊥平面 CRS1T1; T S (2)求证:B1D∥平面 BTS1R1.
D A B Q T1 D1 C1 P B1 9.如图,底面为菱形的直四棱柱 A1 别为 A1B1、B1C1 的中点,G (1)求证:EF⊥平面 B1BDD1; (2) 过 A1、 E、 G 三点平面交 DD1 于 H, 求证: EG∥A1H R1 S1 C R

ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分 为 DF 的中点.
D C



A H D1 G

B

C1 F

A1

E

B1

10.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 是坐标为(0,1) ,直线 l1 的方程为 y=-1. (1)若动圆 C 过点 P 且与直线 l1 相切,求动圆圆心 C 的轨迹方程; (2)设 A(0,a) (a>2)为 y 轴上的动点,B 是(1)中所求轨迹上距离 A 点最近的点,求证:以 AB 为直径的圆在 y 轴上 截得的弦长为定值,并求此定值. x2 y2 1 11.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的上顶点为 A(0,3) ,左、右焦点分别为 B、C,离心率为 . a b 2 (1)试求椭圆的标准方程; 2π (2)若直线 PC 的倾斜角为 α,直线 PB 的倾斜角为 β,当 β-α= 时, 3 求证:①点 P 一定在经过 A,B,C 三点的圆 M 上; ②PA=PB+PC. 12.已知曲线 E:ax2+by2=1(a>0,b>0) ,经过点 M( 3 → → ,0)的直线 l 与曲线 E 交于点 A、B,且 MB =-2 MA . 3

(1)若点 B 的坐标为(0,2) ,求曲线 E 的方程; (2)若 a=b=1,求直线 AB 的方程. 13.要设计一容积为 V 的下端为圆柱形、上端为半球形的密闭储油罐,已知圆柱侧面的单位面积造价是下底面的单位面积 造价的一半, 而顶部半球面的单位面积造价又是圆柱侧面的单位面积的造价的一半, 问储油罐的下部圆柱的底面半径 R 为何值时造价最低? 14.某公司为了加大产品的宣传力度,准备立一块广告牌,在其背面制作一个形如 △ ABC 的支架,要求∠ACB=60° ,BC 的长度大于 1 米,且 AC 比 AB 长 0.5 米.为节省材料,要求 AC 的长度越短越好,求 AC 的最短长度,且当 AC 最短时, BC 的长度为多少米?
A

C

B

15.直角走廊的示意图如图所示,其两边走廊的宽度均为 2m. (1)过点 P 的一条直线与走廊的外侧两边交于 A,B 两点,且与走廊的一边的夹角为

? ? (0<?<2),试用? 表示线段 AB 的长度 l(? );
(2)一根长度为 5m 的铁棒能否水平(铁棒与地面平行)通过该直角走廊?并请说明理由(铁棒的粗细忽略不计) . C P A 2m 16.已知各项均为实数的数列{an}是公差为 d 的等差数列,它的前 n 项和为 Sn,且满足 S4=2S2+8. (1)求公差 d 的值; (2)若数列{an}的首项的平方与其余各项之和不超过 10,则这样的数列至多有多少项; (3)请直接写出满足(2)的项数最多时的一个数列(不需要给出演算步骤) . x 2 1 17. (1)已知函数 f(x)= .数列{an}满足:an>0,a1=1,且 an+1=f( an),记数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且 Sn= [ + 2 an x+1 ( 2+1)n].求数列{bn}的通项公式;并判断 b4+b6 是否仍为数列{bn}中的项?若是,请证明;否则,说明理由. (2)设数列{cn}是首项为 c1,公差 d≠0 的等差数列.求证: “数列{cn}中任意不同两项之和仍为数列{cn}中的项”的充 要条件是“存在整数 m≥-1,使 c1=md” . 18.已知数列{an}中,a1=1,an+an+1=2n(n∈N*),bn=3an. 1 (1)试证数列{an- ?2n}是等比数列,并求数列{bn}的通项公式. 3 (2)在数列{bn}中,是否存在连续三项成等差数列?若存在,求出所有符合条件的项;若不存在,说明理由. (3)①试证在数列{bn}中,一定存在满足条件 1<r<s 的正整数 r,s,使得 b1,br,bs 成等差数列;并求出正整数 r,s 之 间的关系. ②在数列{bn}中,是否存在满足条件 1<r<s<t 的正整数 r,s,t,使得 b1,br,bs,bt 成等差数列?若存在,确定正整数 r, s,t 之间的关系;若不存在,说明理由. |x| . x+2 (1)判断函数 f(x)在区间(0,+∞)上的单调性,并加以证明; (2)如果关于 x 的方程 f(x)=kx2 有四个不同的实数解,求实数 k 的取值范围. 20.对于定义在区间 D 上的函数 f(x),若存在闭区间[a,b]?D 和常数 c,使得对任意 x1∈[a,b],都有 f(x1)=c,且对任意 x2∈D,当 x2 ? [a,b]时,f(x2)>c 恒成立,则称函数 f(x)为区间 D 上的“平底型” 函数. (1)判断函数 f1(x)=|x-1|+|x-2|和 f2(x)=x+|x-2|是否为 R 上的“平底型”函数?并说明理由; 19.已知函数 f(x)= (2)若函数 g(x)=mx+ x2+2x+n是区间[-2,+∞)上的“平底型”函数,求 m 和 n 的值. 2 21.设定义在 R 上的奇函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d,a,b,c,d∈R.当 x=-1 时,f(x)取得极大值 . 3 (1)求函数 y=f(x)的表达式; (2)判断函数 y=f(x)的图象上是否存在两点,使得以这两点为切点的切线互相垂直,且切点的横坐标在区间 [- 2, 2] 上,并说明理由; (3)设 xn=1-2 n,ym= 2(3
- -m

?

B 2m

4 -1)(m,n∈N*) ,求证:|f(xn)-f(ym)|< . 3

南京市 2010 届高三数学考前综合训练题参考答案
1.①、②、③、④. 2.(1)因为 a 与 b 互相垂直,所以 a· b=0.所以 sinθ-2cosθ=0,即 sinθ=2cosθ.

1 4 因为 sin2θ+cos2θ=1,所以(2cosθ)2+cos2θ=1.解得 cos2θ= .则 sin2θ= . 5 5 π 2 5 5 因为 θ∈(0, ),所以 sinθ>0,cosθ>0,所以 sinθ= ,cosθ= . 2 5 5 π π π π (2)因为 0<?< ,0<θ< ,所以- <θ-?< , 2 2 2 2 3 10 所以 cos(θ-?)= 1-sin2(θ-?)= , 10 所以 cos?=cos[θ-(θ-?)]=cosθcos(θ-?)+sinθsin(θ-?)= π 4 3.(1)因为 A、B、C 为△ ABC 的内角,B= ,cosA= , 3 5 3+4 3 2π 3 2π 3 1 所以 C= -A,sinA= .所以 sinC=sin( -A)= cosA+ sinA= . 3 5 3 2 2 10 3+4 3 3 (2)由(1),知 sinA= ,sinC= . 5 10 π bsinA 6 因为 B= ,b= 3,所以在△ ABC 中,a= = . 3 sinB 5 3+4 3 36+9 3 1 1 6 所以△ ABC 的面积 S= absinC= × 3× = . 2 2 5 10 50 1 4. (1)由余弦定理及条件,得 a2+b2-ab=4, absinC= 3,即 ab=4. 2
?a2+b2-ab=4, 联立方程组? 解得 a=2,b=2. ? ab=4.

2 π .所以?= . 2 4

(2)由题意,得

3 2π π 1 +sin( -2A)=2sin2A.即 sin(2A- )= . 2 3 6 2

2π π π 7π π π π 5π 因为 A∈(0, ),所以 2A- ∈(- , ).所以 2A- = 或 2A- = . 3 6 6 6 6 6 6 6 π π 则 A= ,或 A= . 6 2 π 5. (1)因为 A,B,C 成等差数列,所以 B= . 3 3 3 1 3 → → 因为AB?BC=- ,所以 accos(π-B)=- ,所以 ac= ,即 ac=3. 2 2 2 2 因为 b= 3,b2=a2+c2-2accosB,所以 a2+c2-ac=3,即(a+c)2-3ac=3. 所以(a+c)2=12,所以 a+c=2 3. 2π 3 1 (2)2sinA-sinC=2sin( -C)-sinC=2( cosC+ sinC)-sinC= 3cosC. 3 2 2 2π 3 因为 0<C< ,所以 3cosC∈(- , 3) . 3 2 所以 2sinA-sinC 的取值范围是(- 3 , 3) . 2

6.(1)证明:在正方形 AA'A1'A1 中, 因为 A'C=AA'-AB-BC=5,所以三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面三角形 ABC 的边 AC=5. 因为 AB=3,BC=4,所以 AB2+BC2=AC2.所以 AB⊥BC. 因为四边形 AA'A1'A1 为正方形,BB1//AA1,所以 AB⊥BB1. 而 BC∩BB1=B,BC?平面 BCC1B1,BB1?平面 BCC1B1,所以 AB⊥平面 BCC1B1. (2)解:因为 AB⊥平面 BCC1B1,所以 AB 为四棱锥 A-BCQP 的高. 因为四边形 BCQP 为直角梯形,且 BP=AB=3,CQ=AB+BC=7, 1 所以梯形 BCQP 的面积为 SBCQP= (BP+CQ)× BC=20. 2 1 所以四棱锥 A-BCQP 的体积 VA-BCQP= SBCQP× AB=20. 3

由(1),知 BB1⊥AB,BB1⊥BC,且 AB∩BC=B,AB?平面 ABC,BC?平面 ABC. 所以 BB1⊥平面 ABC.所以三棱柱 ABC-A1B1C1 为直棱柱. 所以三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积为 VABC-A1B1C1=S△ ABC× BB1=72. 72-20 13 故平面 APQ 将三棱柱 ABC-A1B1C1 分成上、下两部分的体积之比为 = . 20 5 7. (1)证法一:连结 AC,在四边形 ABCD 中,AD?AB,CD∥AB,所以 AD?CD. 1 设 AD=a.因为 AD=DC= AB,所以 CD=a,AB=2a. 2 在△ADC 中,?ADC=90?,AD=DC,所以?DCA=?DAC=45?,AC= 2a. 在△ACB 中,AB=2a,AC= 2a,?CAB=45?, 所以 BC= AC2+AB2-2AB?AC?cos?CAB= 2a.所以 AC2+BC2=AB2.所以 AC?BC. 又因为 BC?PC,AC?平面 PAC,PC?平面 PAC,AC∩PC=C, 所以 BC?平面 PAC.因为 PA?平面 PAC,所以 PA?BC. 证法二:连结 AC,过 C 作 CE?AB,垂足为 E. 在四边形 ABCD 中,AD?AB,CD∥AB,AD=DC, 所以四边形 ADCE 为正方形.所以?ACD=?ACE=45?. 1 因为 AE=CD= AB,所以 BE=AE=CE.所以?BCE=45?. 2 C D 所以?ACB=?ACE+?BCE=45?+45?=90?.所以 AC?BC. 又因为 BC?PC,AC?平面 PAC,PC?平面 PAC,AC∩PC=C, 所以 BC?平面 PAC.因为 PA?平面 PAC,所以 PA?BC. (2)当 M 为 PB 中点时,CM∥平面 PAD. 证法一:取 AP 中点 F,连结 CM,FM,DF. E A B 1 则 FM∥AB,FM= AB. 2 F M 1 因为 CD∥AB,CD= AB,所以 FM∥CD,FM=CD. 2 P 所以四边形 CDFM 为平行四边形.所以 CM∥DF. 因为 DF?平面 DAP,CM? / 平面 PAD,所以 CM∥平面 PAD. 证法二:在四边形 ABCD 中,设 BC 的延长线与 AD 的延长线交于点 Q,连结 PQ ,CM. 因为 CD∥AB,所以?QCD=?QBA. QC CD 1 因为?CQD=?BQA.所以△CQD∽△BQA.所以 = = .所以 C 为 BQ 的中点. QB AB 2 因为 M 为 BP 的中点,所以 CM∥PQ.因为 PQ?平面 PAD,CM? / 平面 PAD,所以 CM∥平面 PAD. Q 证法三:取 AB 中点 E,连结 EM,CE,CM. 1 在四边形 ABCD 中,CD∥AB,CD= AB,E 为 AB 的中点, 2 所以 AE∥DC,且 AE=DC. 所以四边形 AECD 为平行四边形.所以 CE∥DA. D C 因为 DA?平面 PAD,CE? / 平面 PAD,所以 CE∥平面 PAD. 同理,根据 E,M 分别为 BA,BP 的中点,得 EM∥平面 PAD. 因为 CE?平面 CEM,ME?平面 CEM,CE∩EM=E, 所以平面 CEM∥平面 PAD,因为 CM?平面 CEM, A B 所以 CM∥平面 PAD. 8. (1)连接 B1C, M 因为 P、Q 分别是棱 B1C1、CC1 的中点,所以 PQ∥B1C. P 因为平面 BCC1B1 与平面 CTT1C1 在同一平面内,所以 CR⊥平面 BCC1B1, 又因为 B1C?平面 BCC1B1,所以 CR⊥B1C.因为 PQ∥B1C,所以 PQ⊥CR. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1,CRST-C1R1S1T1 中,∠B1CC1=∠C1CT1=45°, 所以∠B1CT1=90°,即 CT1⊥B1C.因为 PQ∥B1C,所以 PQ⊥CT1. 又因为 CR ∩CT1=C,CR?平面 CRS1T1,CT1?平面 CRS1T1, 所以 PQ⊥平面 CRS1T1. T S
∥TT1, (2) 连接 B1R1、 DT、 D1T1. 因为 DD1 = ∥D1T1. 所以 DD1T1T 为平行四边形, 则 DT = D A B Q T1 D1 C1 P A1 B1 R1 S1 C R

由题意知 C1 为 D1R1,B1T1 的中点,
∥D1T1,则 DT ∥ B1R1. 所以 B1R1 = =

所以 DTR1B1 为平行四边形,则 B1D∥TR1. 又因为 B1D? / 平面 BTS1R1, TR1?平面 BTS1R1,所以 B1D∥平面 BTS1R1. 说明:关注几个图形的组合体中各种线面关系的研究. 9. (1)因为 E、F 分别为 A1B1、B1C1 的中点,所以 EF∥A1C1, 因为底面 A1B1C1D1 为菱形,所以 A1C1⊥B1D1,所以 EF⊥B1D1. 因为直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1,所以 DD1⊥平面 A1B1C1D1, 又因为 EF?平面 A1B1C1D1,所以 DD1⊥EF. D 又 B1D1∩DD1=D1,B1D1?平面 B1BDD1, DD1?平面 B1BDD1,所以 EF ⊥平面 B1BDD1. (2)延长 FE 交 D1A1 的延长线于点 H,连接 DH, A 因为 E、F 分别为 A1B1、B1C1 的中点, M 所以△EFB1≌△EHA1,所以 HE=EF, D1 在△FDH 中,因为 G、F 分别为 DF、HF 的中点, 所以 GE∥DH. 又 GE? / 平面 AA1D1D,DH?平面 AA1D1D, A1 E 故 EG∥平面 AA1D1D.因为过 A1、E、G 三点平面交 所以面 A1MGE∩面 AA1D1D=A1M,EG?面 A1MGE,所 H 10. (1)由抛物线的定义得:圆心 C 的轨迹是以(0,1)为 的抛物线,所以动圆圆心 C 的轨迹方程 x2=4y. (2)设点 B(x,y) (y≥0) ,则 x2=4y.因为 A(0,a) (a>2) , 2 2 2 2 2 2 2 所以 AB =x +(y-a) =4y+y -2ay+a =y +2 (2-a)y+a .

C B G C1 F B1 DD1 于 M, 以 EG∥A1M. 焦点,y=-1 为准线

对称轴 y=a-2>0,所以当 y=a-2 时,AB 取得最小值,此时点 B(±2 a-2,a-2) . 2 以 AB 为直径的圆 M 的圆心 M 为(± a-2,a-1) ,半径 r =a-2+1=a-1. 圆心 M 到 y 轴的距离为 d=|± a-2|= a-2, 则圆 M 在 y 轴上截得的弦长为 2 r2-d2=2. 所以以 AB 为直径的圆在 y 轴上截得的弦长为定值 2. c 1 11. (1)因为 b=3, = ,b2+c2=a2, a 2 x2 y2 解得 a2=12,b2=9,c2=3,所以椭圆的标准方程为 + =1. 12 9 (2)①因为 B(- 3,0) ,C( 3,0) ,A(0,3) ,所以△ ABC 为等边三角形. 经过 A,B,C 三点的圆 M 的方程为 x2+(y-1)2=4,即 x2+y2-2y=3. y y 设点 P(x,y) ,则 kPC=tanα= ,kPB=tanβ= . x- 3 x+ 3 tanβ-tanα -2 3y 2π 因为 β-α= ,所以 tan(β-α)=- 3.因为 tan(β-α)= = 2 2 , 3 1+tanαtanβ x +y -3 -2 3y 所以 2 2 =- 3.化简得 x2+y2-2y=3. x +y -3 所以点 P 一定在经过 A,B,C 三点的圆 M 上. ②PA2=x2+(y-3)2=x2+y2-6y+9,因为 x2+y2=3+2y,所以 PA2=12-4y. PB2=(x- 3)2+y2=2y+6-2 3x,PC2=(x+ 3)2+y2=2y+6+2 3x, 2PB?PC=2 4(y+3)2-12x2=4 (y+3)2-3x2,因为 3x2=9-3y2+6y, 所以 2PB?PC=4 4y2,由于 y<0,所以 2 PB?PC=-8y, 从而(PB+PC)2=PB2+2 PB?PC+PC2=4y+12-8y=12-4y=PA2. 所以 PA=PB+PC. 12. (1)设 A(x0,y0),因为 B(0,2),M( 3 3 3 → → ,0),故 MB =(- ,2), MA =(x0- ,y0). 3 3 3

3 3 → → 因为 MB =-2 MA ,所以(- ,2)=-2(x0- ,y0). 3 3 所以 x0= 3 3 ,y0=-1.即 A( ,-1). 2 2

?a?0 +b?2 =1, ? 1 因为 A,B 都在曲线 E 上,所以? 解得 a=1,b= . 32 2 4 ?a?( 2 ) +b?(-1) =1. ?
y2 所以曲线 E 的方程为 x2+ =1. 4 (2) (法一)当 a=b=1 时,曲线 E 为圆:x2+y2=1.设 A(x1,y1),B(x2,y2).
?2x1+x2= 3, 3 3 → → 因为 MB =-2 MA ,所以(x2- ,y2) =-2(x1- ,y1),即? 3 3 ? y2=-2y1.

2

2

x1+x2 y1+y2 3-x1 y1 设线段 AB 的中点为 T,则点 T 的坐标为( , ),即( ,- ). 2 2 2 2 ?? 3-x1 y1 ?? 所以 OT =( ,- ), AB =(x2-x1,y2-y1)=( 3-3x1,-3y1). 2 2 ?? ?? 2 2 因为 OT⊥AB,所以 OT ? AB =0,即 3-4 3x1+3x1+3y1=0. 因为 x1+y1=1,所以 x1= 当点 A 的坐标为(
2 2

3 1 ,y1=? . 2 2

3 1 ,- )时,对应的点 B 的坐标为(0,1),此时直线 AB 的斜率 2 2 3 1 , )时,对应的点 B 的坐标为(0,-1),此时直线 AB 的斜率 k= 3, 2 2

k=- 3,所求直线 AB 的方程为 y=- 3x+1; 当点 A 的坐标为(

所求直线 AB 的方程为 y= 3x-1. (法二)当 a=b=1 时,曲线 E 为圆:x2+y2=1.设 A(x1,y1),B(x2,y2).
?2x1+x2= 3, 3 3 → → 因为 MB =-2 MA ,所以(x2- ,y2) =-2(x1- ,y1),即? 3 3 ? y2=-2y1.
2 2 ? ?x1+y1=1,??① 因为点 A,B 在圆上,所以? 2 2 ? ?x2+y2=1,??②

由①?4-②,得(2x1+x2)(2x1-x2)=3.所以 2x1-x2= 3,解得 x1= 由 x1= 3 1 ,得 y1=? . (以下同方法一) 2 2

3 ,x2=0. 2

(法三)如图,设 AB 中点为 T. 1 3 则 TM=TA-MA= AB,OM= . 6 3

y B T O M A x

? ?TM2+OT2=1, 3 根据 Rt△OTA 和 Rt△OTM,得? ?TA2+OT2=1. ?

?36AB +OT =3, 即?1 解得 AB= AB + OT = 1 . ?4
2 2 2 2

1

1

1 OT 3,OT= .所以在 Rt△OTM 中,tan?OMT= = 3. 2 TM

所以 kAB=- 3或 3.所以直线 AB 的方程为 y=- 3x+1 或 y= 3x-1. 2 V 2 13.设圆柱的高为 h,下底面单位面积的造价为 a.则 V=?R2h+ ?R3.所以 h= 2- R. 3 ?R 3 因为 h>0,所以 0<R<
3

3V .设总造价为 y, 2?

a a 3 3 V 2 5 V 则 y=?R2?a+2?Rh? +2?R2? =?a( R2+Rh)=a( ?R2+ - ?R2)=a( ?R2+ ). 2 4 2 2 R 3 6 R
3 5 V 5? aR -3a V y?=a( ?R- 2)= . 3 R 3R2

令 y?=0 得 R=

3

3V ,当 R∈(0, 5?

3

3V )时,y?<0,y 为减函数; 5?
3

当 R∈(

3

3V , 5?

3

3V )时,y?>0,y 为增函数.所以当 R= 2?
3

3V 时,y 有最小值. 5?

答:当储油罐的下部圆柱的底面半径 R=

3V 时,造价最低. 5?

1 14.设 BC=x 米(x>1) ,AC=y 米,则 AB=y- .在△ ABC 中, 2 1 x2- 4 12 2 2 由余弦定理,得(y- ) =y +x -2xycos60?.所以 y= (x>1) . 2 x-1 1 x2- 4 3 法一:y= =(x-1)+ +2≥2+ 3. x-1 4(x-1) 3 3 当且仅当 x-1= ,即 x=1+ 时,y 有最小值 2+ 3. 2 4(x-1) 1 1 2x(x-1)-(x2- ) x2-2x+ 4 4 法二: y′= = . (x-1)2 (x-1)2 由 y′=0 得 x=1+ 所以当 x=1+ 3 3 3 .因为当 1<x<1+ 时,y′<0;当 x>1+ 时,y′>0, 2 2 2

3 时,y 有最小值 2+ 3. 2 3 )米. 2

答:AC 的最短长度为 2+ 3米,此时 BC 的长度为(1+ 15. (1)l(?)= 2 2 ? + ,,?∈(0, ). 2 sin? cos?

(2)法一:铁棒能水平通过该直角走廊.理由如下: 3 3 2 ?? ? 2 ?? 0?sin?-2?cos? 0?cos?+2?sin? 2(sin ?-cos ?) l?(?)=? + = + = . 2 2 2 2 sin ? cos ? sin ?cos ? ?sin?? ?cos?? 令 l?(?)=0 得,?= . 4 当 0<?< 时,l?(?)<0,l(?)为减函数;当 <?< 时,l?(?)>0,l(?)为增函数. 4 4 2 所以当?= 时,l(?)有最小值 4 2. 4 因为 4 2>5.所以该铁棒能水平通过该直角走廊. 法二:铁棒能水平通过该直角走廊.理由如下: l2(?)=
2 2 4 8 1 2 ?2(sin?+cos?)?2=4(1+2sin?cos?)= =4? +1? -4=4? +1? -4. 2 2 2+ sin ?cos ? (sin?cos?) sin?cos? ?sin?cos? ? ? sin??cos? ? ?sin2? ?

?

?

?

?

?

2 ? ? ? 因为?∈(0, ),所以 2?∈(0,?),所以当 2?= ,即?= 时, 有最小值 2. 2 2 4 sin2? 所以 l2(?)有最小值 32.l(?)有最小值 4 2. 因为 4 2>5.所以该铁棒能水平通过该直角走廊. 16. (1)d=2; (2)考虑到 d=2,且首项的平方与其余各项之和不超过 10,所以可用枚举法研究. ①当 a1=0 时, 02+d+2d=0+2+4≤10,而 02+d+2d+3d=0+2+4+6>10,此时,数列至多 3 项; ②当 a1>0 时,可得数列至多 3 项; ③当 a1<0 时,a12+a1+d+a1+2d+a1+3d≤10,即 a12+3a1+2≤0,此时 a1 有解. 而 a12+a1+d+a1+2d+a1+3d+a1+4d≤10,即 a12+4a1+10≤0,此时 a1 无解. 所以 a1<0 时,数列至多有 4 项.

(3)a1=-1 时,数列为:-1,1,3,5;或 a1=-2 时,数列为:-2,0,2,4. an 1 1 1 1 17.(1)因为 an+1=f( an)= ,所以 = +1,即 - =1. an+1 an an an+1 an+1 因为 1 1 1 =1,所以 =1+(n-1)=n,即an= 2. n a1 an 2 1 2 2 [ +( 2+1)n]= n2+(1+ )n, 2 an 2 2

因为Sn=

当n=1时,S1=b1= 2+1,当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=1+ 2n, 所以bn= 2n+1(n∈N*).所以b4+b6=4 2+1+6 2+1=10 2+2. 令bt=10 2+2(t∈N*),则10 2+2= 2t+1,得t=10+ 所以b4+b6不在数列{bn}中. (2)充分性:若存在整数m≥-1,使c1=md.设cr,ct为数列{cn}中不同的两项, 则cr+ct=c1+(r-1)d+c1+(t-1)d=c1+(r+m+t-2)d=c1+[(r+m+t-1)-1]d 又r+t≥3且m≥-1,所以r+m+t-1≥1. 即cr+ct是数列{cn}的第r+m+t-1项. 必要性:若数列{cn}中任意不同两项之和仍为数列{cn}中的项, 则cs=c1+(s-1)d,ct=c1+(t-1)d,(s,t为互不相同的正整数). 则cs+ct=2c1+(s+t-2)d. 令cs+ct=cl,得,2c1+(s+t-2)d=c1+(l-1)d(s,t,l∈N*),所以c1=(l-s-t+1)d. 令整数m=l-s-t+1,所以c1=md.下证整数m≥-1. 若整数m<-1,则-m≥2.令k=-m,由题设取c1,ck使c1+ck=cr(r≥1), 即c1+c1+(k-1)d=c1+(r-1)d,所以md+(-m-1)d=(r-1)d, 即rd=0与r≥1,d≠0相矛盾,所以m≥-1. 综上数列{cn}中任意不同两项之和仍为数列{cn}中的项的充要条件是存在整数m≥-1, 使c1=md. 18.(1)由 an+an+1=2n,得 an+1=2n-an, 1 1 1 + + an+1- ?2n 1 2n-an- ?2n 1 -(an- ?2n) 3 3 3 所以 = = =-1. 1 n 1 1 an- ?2 an- ?2n an- ?2n 3 3 3 2 1 1 1 又因为 a1- = ,所以数列{an- ?2n}是首项为 ,公比为-1 的等比数列. 3 3 3 3 1 1 1 - 所以 an- ?2n= ?(-1)n 1,即 an= [2n-(-1)n],所以 bn=2n-(-1)n. 3 3 3 (2)假设在数列{bn}中,存在连续三项 bk-1,bk,bk+1(k∈N*, k≥2)成等差数列,则 bk-1+bk+1=2bk,即[2k 1-(-1)k 1]+
- -

2 与t∈N*矛盾, 2

[2k 1-(-1)k 1]=2[2k-(-1)k],即 2k 1=4(-1)k 1].
+ + - -

①若 k 为偶数,则 2k 1>0,4(-1)k 1=-4<0,所以,不存在偶数 k,使得 bk-1,bk,bk+1 成等差数列.
- -

②若 k 为奇数,则当 k≥3 时,2k 1≥4,而 4(-1)k 1=4,所以,当且仅当 k=3 时,bk-1,bk,bk+1 成等差数列.
- -

综上所述,在数列{bn}中,有且仅有连续三项 b2,b3,b4 成等差数列. (3)①要使 b1,br,bs 成等差数列,只需 b1+bs=2br, 即 3+2s-(-1)s=2[2r-(-1)r],即 2s-2r 1=(-1)s-2(-1)r-3,


(﹡)

(ⅰ)若 s=r+1,在(﹡)式中,左端 2s-2r 1=0,


右端(-1)s-2(-1)r-3=(-1)s+2(-1)s-3=3(-1)s-3, 要使(﹡)式成立,当且仅当 s 为偶数时成立.又 s>r>1,且 s,r 为正整数, 所以当 s 为不小于 4 的正偶数,且 s=r+1 时,b1,br,bs 成等差数列. (ⅱ)若 s≥r+2 时,在(﹡)式中,左端 2s-2r 1≥2r 2-2r 1=2r 1,
+ + + +

由(2)可知,r≥3,所以 r+1≥4,所以左端 2s-2r 1≥16(当且仅当 s 为偶数、r 为奇数时取“=”);右端(-1)s-2(-1)s


-3≤0.所以当 s≥r+2 时,b1,br,bs 不成等差数列. 综上所述,存在不小于 4 的正偶数 s,且 s=r+1,使得 b1,br,bs 成等差数列. ②假设存在满足条件 1<r<s<t 的正整数 r,s,t,使得 b1,br,bs,bt 成等差数列. 首先找到成等差数列的 3 项:由第(3)小题第①问,可知,b1,b2n-1,b2n(n∈N*,且 n≥2)成等差数列,其公差 d=b2n -b2n-1=[22n-(-1)2n]-[22n 1-(-1)2n 1]=22n 1-2.
- - -

所以 bt=b2n+d=22n-(-1)2n+22n 1-2=3?22n 1-3.
- -

又 bt=2t-(-1)t,所以 3?22n 1-3=2t-(-1)t,即 2t-3?22n 1=(-1)t-3.
- - - +

(﹡﹡)
- -

因为 t>2n>2n-1,所以 t≥2n+1,所以(﹡﹡)式的左端 2t-3?22n 1≥22n 1-3?22n 1=22n 1≥8,而(﹡﹡)式的右端 (-1)t-3≤-2,所以(﹡﹡)式不成立. 综上所述,不存在满足条件 1<r<s<t 的正整数 r,s,t,使 b1,br,bs,bt 成等差数列. 19. (1)方法一:因为 f (x)= |x| x ,所以当 x>0 时,f (x)= . x+2 x+2 2 因为当 x>0 时 f ′(x)= >0,所以 f (x)在(0,+∞)上单调递增. (x+2)2 |x| x 方法二:因为 f (x)= ,所以当 x>0 时,f (x)= . x+2 x+2 在(0,+∞)上任取 x1,x2,使 0<x1<x2, 2(x1-x2) x1 x2 f (x1)-f (x2)= - = . x1+2 x2+2 (x1+2) (x2+2) 因为 x1+2>0,x2+2>0,x1-x2<0,所以 f (x1)-f (x2)<0.所以 f (x1)<f (x2). 所以 f (x)在(0,+∞)上单调递增. |x| (2)方法一:原方程即为 =kx2????(*). x+2 ①x=0 恒为方程*的一个解. -x 1 ②当 x<0 且 x≠-2 时方程*有解,则 =kx2,k= 2 . x+2 -x -2x 2x+2 1 设 g(x)= 2 ,h(x)=k.g′(x)= , -x -2x (-x2-2x)2 所以令 g′(x)<0,得 x<-1 且 x≠-2;g′(x)>0,得-1<x<0. 所以 g(x)在(-∞,-2)和(-2,-1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增. 而 g(-1)=1,所以当 x∈(-∞,-2)时,g(x)∈(-∞,0); 当 x∈(-2,0)时,g(x)∈[1,+∞). x 1 当 x>0 时方程*有解,则 =kx2,k= 2 . x+2 x +2x -2x-2 1 设 g(x)= 2 ,h(x)=k.因为 g′(x)= 2 ,x>0,所以 g′(x)<0. x +2x (x +2x)2 所以 g(x)在(0,+∞)上单调递减. 又当 x∈(0,+∞)时,g(x)>0.所以当 x∈(0,+∞)时,g(x)∈(0,+∞). 所以 k∈(1,+∞)时,函数 g(x)与 h(x)的图象有三个交点. 所以当 k∈(1,+∞)时,方程 f (x)=kx2 有四个不同的实数解. |x| 方法二:原方程即为 =kx2????(*). x+2 ①x=0 恒为方程*的一个解. 1 ②x≠0 且 x≠-2 时方程*有解,即当 x>0 时,k= 2 有解; x +2x 1 当 x<0 且 x≠-2 时,k= 2 有解.所以 k≠0. -x -2x ?x2+2x,x>0, 1 设函数 h(x)= ,g (x)=? 2 k ?-x -2x,x<0且x≠-2. ?(x+1)2-1,x>0, 因为 g (x)=? 2 ?-(x+1) +1,x<0且x≠-2. 所以当 x∈(-∞,-2)和(-2,-1)时,函数 g (x)单调递增; 当 x∈(-1,0)时,函数 g (x)单调递减;当 x∈(0,+∞)时,函数 g (x)单调递增. 所以当 x∈(-∞,-2)时,g (x)∈(-∞,0); 当 x∈(-2,0)时,g (x)∈(0,1];当 x∈(0,+∞)时,g (x)∈(0,+∞).

1 所以当 ∈(0,1)时,即 k∈(1,+∞)时,函数 g (x)与 h(x)的图象有三个交点. k 综上可得,当 k∈(1,+∞)时,方程 f (x)=kx2 有四个不同的实数解. 20. (1)对于函数 f1(x)=|x-1|+|x-2|,当 x∈[1,2]时,f1(x)=1. 当 x<1 或 x>2 时,f1(x)>|(x-1)-(x-2)|=1 恒成立,故 f1(x)是“平底型”函数. 对于函数 f2(x)=x+|x-2|,当 x∈(-∞,2]时,f2(x)=2;当 x∈(2,+∞)时, f2(x)=2x-2>2. 所以不存在闭区间[a,b],使当 x ? [a,b]时,f(x)>2 恒成立. 故 f2(x)不是“平底型”函数. (2)因为函数 g(x)=mx+ x2+2x+n是区间[-2,+∞)上的“平底型”函数, 则存在区间[a,b] ?[-2,+∞)和常数 c,使得 mx+ x2+2x+n=c 恒成立.

?m =1, ?m=1, ?m=-1, ? ? ? - 2 mc = 2 , c =- 1 , 所以 x +2x+n=(mx-c) 恒成立,即? 解得? 或?c=1, . 2 ? ? ? ? c =n. ?n=1 ?n=1
2 2

2

? ?m=1, 当?c=-1,时,g(x)=x+|x+1|. ? ?n=1
当 x∈[-2,-1]时,g(x)=-1,当 x∈(-1,+∞)时,g(x)=2x+1>-1 恒成立. 此时 g(x)是区间[-2,+∞)上的“平底型”函数.

? ?m=-1, 当?c=1, 时,g(x)=-x+|x+1|. ?n=1 ?
当 x∈[-2,-1]时,g(x)=-2x-1≥1,当 x∈(-1,+∞)时,g(x)=1. 此时,g(x)不是区间[-2,+∞)上的“平底型”函数. 所以 m=1,n=1. 21. (1)因为函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 是奇函数, 所以 f(-x)=-f(x)对 x∈R 恒成立,则 b=d=0. 所以 f(x)=ax3+cx. 2 因为当 x=-1 时,f(x)取得极大值 ,f′(x)=3ax2+c, 3

? ? ?3a+c=0, ?a=1, 1 2 解得? 3 所以? 所以 f(x)= x3-x. 3 - a - c = . ? ?c=-1. 3 ? ?
(2)存在满足题意的两点. 由(1) ,得 f ′(x)=x2-1.假设存在两切点(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),x1,x2∈[- 2, 2]. 2 2 则 f ′(x1)? f ′(x2)=-1.所以(x1-1)(x2-1)=-1.
?x1-1=-1, ? ?x1-1=1, ? 2 2 因为(x1-1),(x2-1)∈[-1,1],所以? 2 或? 2 ?x2-1=1, ?x2-1=-1. ? ? ?x1=0, ?x1=± 2, 解得? 或? ?x2=± 2, ?x2=0.
2 2

所以两切点的坐标分别为(0,0),( 2,-

2 2 )或(0,0),(- 2, ). 3 3

1 1 (3)因为当 x∈[ ,1)时,f ′(x)<0,所以 f(x)在[ ,1)上递减。 2 2 1 1 2 11 由已知,得 xn∈[ ,1) ,所以 f(xn)∈(f(1),f( )],即 f(xn)∈(- ,- ]. 2 2 3 24 又 x<-1 时,f ′(x)>0;-1<x<1 时,f ′(x)<0, 所以 f(x)在(-∞,-1)上递增,f(x)在(-1,1)上递减. 因为 ym= 2(3
-m

2 2 -1),所以 ym∈(- 2,- ]. 3

2 2 2 2 2 2 2 38 2 因为- 2<-1<- ,且 f(- 2)= 2- = <f(- )= , 3 3 3 3 81 所以 f(ym)∈(f(- 2),f(-1)],即 f(ym)∈( 2 2 , ]. 3 3

2 2 4 所以| f(xn)-f(ym)|=f(ym)-f(xn) < -(- )= . 3 3 3


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