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配餐作业(选修4-4-1)


高考复习顶层设计 数学·理

配餐作业(选修 4-4-1)

坐标系

1.(2015· 课标Ⅰ卷)在直角坐标系 xOy 中,直线 C1:x=-2,圆 C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系。 (1)求 C1,C2 的极坐标方程; π (2)若直线 C3 的极坐标方程为

θ=4(ρ∈R),设 C2 与 C3 的交点为 M,N,求△C2MN 的面积。 解析:(1)由于 x=ρcosθ,y=ρsinθ, ∴C1:x=-2 的极坐标方程为 ρcosθ=-2, 故 C2:(x-1)2+(y-2)2=1 的极坐标方程为(ρcosθ-1)2+(ρsinθ -2)2=1, 化简可得 ρ2-(2ρcosθ+4ρsinθ)+4=0。

π (2)把直线 C3 的极坐标方程 θ=4(ρ∈R)代入 ρ2-(2ρcosθ+4ρsinθ) +4=0,求得 ρ1=2 2,ρ2= 2, ∴|MN|=ρ1-ρ2= 2,由于圆 C2 的半径为 1, ∴C2M⊥C2N, 1 1 ∴△C2MN 的面积为2· C2M· C2N=2。 2.(2016· 海南模拟)已知曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=6cosθ,曲线 π C2 的极坐标方程为 θ=4(ρ∈R),曲线 C1,C2 相交于 A,B 两点。 (1)把曲线 C1,C2 的极坐标方程转化为直角坐标方程; (2)求弦 AB 的长度。
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高考复习顶层设计 数学·理 π 解析: (1)曲线 C2: θ=4(p∈R)表示直线 y=x, 曲线 C1: ρ=6cosθ, 即 ρ2=6ρcosθ,所以 x2+y2=6x,即(x-3)2+y2=9。 3 2 (2)∵圆心(3,0)到直线的距离 d= 2 ,r=3, ∴弦长 AB=2 r2-d2=3 2。 ∴弦 AB 的长度 3 2。 3.(2016· 天水模拟)在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C1 的极坐标方程为 ρ2= 2 4 。 2 ,直线 l 的极坐标方程为 ρ= 1+sin θ 2sinθ+cosθ (1)写出曲线 C1 与直线 l 的直角坐标方程; (2)设 Q 为曲线 C1 上一动点,求 Q 点到直线 l 距离的最小值。 解析: (1)以极点为原点, 极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标 2 系,曲线 C1 的极坐标方程为 ρ2= ,直线 l 的极坐标方程为 ρ 1+sin2θ = 4 , 2sinθ+cosθ 根据 ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ, 则 C1 的直角坐标方程为 x2+2y2=2,直线 l 的直角坐标方程为 x + 2y=4。 (2)设 Q( 2cosθ,sinθ),则点 Q 到直线 l 的距离为 | 2sinθ+ 2cosθ-4| d= = 3 π? ? ? ? ?2sin?θ+ ?-4? 4? ? ? ? 3 ≥ 2 , 3

π π π 当且仅当 θ+4=2kπ+2,即 θ=2kπ+4(k∈Z)时取等号。 ∴Q 点到直线 l 距离的最小值为 2 。 3

4.(2016· 泰州模拟)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重 π? ? 合,极轴与 x 轴的正半轴重合,若直线的极坐标方程为 ρsin?θ-4?=
? ?
2

高考复习顶层设计 数学·理 3 2。 (1)把直线的极坐标方程化为直角坐标方程; x2 y2 (2)已知 P 为椭圆 C:16+ 9 =1 上一点,求 P 到直线的距离的最 大值。 π? ? 解析:(1)把直线的极坐标方程为 ρsin?θ-4?=
? ?

3 2展开得 ρ?

? 2 ? 2 ?=3 2,化为 ρsinθ-ρcosθ=6,得 sin θ - cos θ 2 ? 2 ?

到直角坐标方程 x-y+6=0。 x2 y2 (2)∵P 为椭圆 C:16+ 9 =1 上一点, ∴ 可 设 P(4cosα , 3sinα) , 利 用 点 到 直 线 的 距 离 公 式 得 d = |4cosα-3sinα+6| |5sin?α-φ?-6| |-5-6| 11 2 = ≤ = 2 。 2 2 2 当且仅当 sin(α-φ)=-1 时取等号。 11 2 ∴P 到直线的距离的最大值是 2 。 5.(2016· 玉山模拟)在极坐标系 Ox 中,直线 C1 的极坐标方程为 ρsinθ=2, M 是 C1 上任意一点, 点 P 在射线 OM 上, 且|OP|· |OM|=4, 记点 P 的轨迹为 C2。 (1)求曲线 C2 的极坐标方程; π? ? (2)求曲线 C2 上的点到直线 ρcos?θ+4?= 2距离的最大值。
? ?

解析:(1)设 P(ρ1,θ),M(ρ2,θ), 4 由|OP|· |OM|=4,得 ρ1ρ2=4,即 ρ2=ρ 。
1

∵M 是 C1 上任意一点,∴ρ2sinθ=2, 4 即ρ sinθ=2,ρ1=2sinθ。
1

∴曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sinθ; (2)由 ρ=2sinθ,得 ρ2=2ρsinθ,即 x2+y2-2y=0,化为标准方程
3

高考复习顶层设计 数学·理 x2+(y-1)2=1, 则圆心坐标为(0,1),半径为 1。 π? ? 由直线 ρcos?θ+4?= 2,得:
? ?

π π ρcosθcos4-ρsinθsin4= 2,即 x-y=2, 圆心(0,1)到直线 x-y=2 的距离为 |0×1+1×?-1?-2| 3 2 d= = 2 。 2 π? ? ∴曲线 C2 上的点到直线 ρcos ?θ+4? = 2距离的最大值为 1 +
? ?

3 2 2 。 6.(2016· 吉林模拟)在极坐标系中,设圆 C1:ρ=4cosθ 与直线 l: π θ=4(ρ∈R)交于 A,B 两点。 (1)求以 AB 为直径的圆 C2 的极坐标方程; (2)在圆 C1 任取一点 M, 在圆 C2 上任取一点 N, 求|MN|的最大值。 解析:(1)以极点为坐标原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立直角坐 标系,则由题意得圆 C1:ρ=4cosθ 化为 ρ2=4ρcosθ,∴圆 C1 的直角 坐标方程 x2+y2-4x=0。 直线 l 的直角坐标方程 y=x。
?x2+y2-4x=0, ?x=0 ?x=2, ? ? ? 由? 解得? 或? ?y=x, ? ? ? ?y=0 ?y=2,

∴A(0,0),B(2,2), 从而圆 C2 的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=2,即 x2+y2=2x +2y。 将其化为极坐标方程为:ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ。 即 ρ=2cosθ+2sinθ。 (2)∵C1(2,0),r1=2,C2(1,1),r2= 2, ∴|MN|max=|C1C2|+r1+r2= 2+2+ 2=2 2+2。
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