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(全程复习构想)2014年高考数学一轮复习 5.2等差数列及其前n项和课件 理


5.2 等差数列及其前n项和

考纲点击 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式. 3.了解等差数列与一次函数的关系.

说基础
课前预习读教材

考点梳理 1.等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项 的差等于①__________,那么这个

数列就叫做等差数列,这个 常数叫做等差数列的②__________,一般用字母 d 表示;定义 的表达式为:③__________(n∈N*). 2.等差数列的通项公式 设等差数列{an}的首项是 a1,公差是 d,则其通项公式为 an=④__________.

3.等差中项 若 a,A,b 成等差数列,则 A 叫做 a,b 的等差中项,且 A=⑤__________. 4.等差数列的前 n 项和公式 若已知首项 a1 和末项 an,则 Sn=⑥__________,或等差 数列{an}的首项是 a1,公差是 d 则其前 n 项和公式为 Sn=⑦ __________.

5.等差数列与等差数列各项的和有关性质 am-an (1)am=an+(m-n)d 或 =d.(m、n∈N*) m-n (2)在等差数列中,若 p+q=m+n,则有 ap+aq=am+an; 若 2m=p+q, 则有 ap+aq=⑧__________, q, n∈N*). (p, m, (3)d>0?{an}是递增数列,Sn 有最小值;d<0?{an}是递 减数列,Sn 有最大值;d=0?{an}是常数数列. (4)数列{λan+b}仍为等差数列,公差为 λd. (5)若{bn},{an}都是等差数列,则{an± n}仍为等差数列. b

(6)am,am+k,am+2k,am+3k,…仍是等差数列,公差为 kd. (7)数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列. (8)S2n-1=(2n-1)an. n (9)若 n 为偶数,则 S 偶-S 奇=2d. 若 n 为奇数,则 S 奇-S 偶=a 中(中间项).

答案:①同一个常数 ②公差 ③an+1-an=d ④a1+(n a+b n?a1+an? n?n-1? -1)d ⑤ 2 ⑥ ⑦na1+ 2 d ⑧2am 2

考点自测 1.在等差数列{an}中,a1+a9=10,则 a5 的值为( ) A.5 B.6 C.8 D.10

解析:依题意得 a1+a9=2a5=10,a5=5,选 A. 答案:A

2.在等差数列{an}中,已知 a1=2,a2+a3=13,则 a4+ a5+a6 等于( ) A.40 B.42 C.43 D.45

解析:设等差数列{an}的公差为 d,则由 a1=2,a2+a3= 13,可解得:d=3,所以 a4+a5+a6=3a1+12d=42.故选 B. 答案:B

3.设{an}为等差数列,公差 d=-2,Sn 为其前 n 项和.若 S10=S11,则 a1=( ) A.18 B.20 C.22 D.24

解析:由 S10=S11,得 a11=S11-S10=0,a1=a11+(1-11)d =0+(-10)×(-2)=20. 答案:B

4.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,公差 d= 2,Sk+2-Sk=24,则 k=( ) A.8 B.7 C.6 D.5

解析:依题意得 Sk+2-Sk=ak+1+ak+2=2a1+(2k+1)d=2 +2(2k+1)=24,解得 k=5,故选 D. 答案:D

5.在等差数列{an}中,a3+a7=37,则 a2+a4+a6+a8= __________________.

解析:依题意得 a2+a4+a6+a8=(a2+a8)+(a4+a6)=2(a3 +a7)=74. 答案:74

说考点
拓展延伸串知识

疑点清源 1.等差数列的判定 (1)定义法:an-an-1=d(n≥2); (2)等差中项法:2an+1=an+an+2. n?a1+an? 2.等差数列的前 n 项和 Sn= ,该公式的推导过 2 程是倒序相加,应注意这种思想方法在数列求和中的应用.

3.等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d,前 n 项和公式 n?a1+an? n?n-1?d Sn= =na1+ ,两个公式给出了 a1,an,d,n, 2 2 Sn 五个量,知三求二,用方程的思想即可解决问题. n?n-1?d d 2 ? d? 4.当 d≠0 时,Sn=na1+ =2n +?a1-2?n 是关于 2 ? ? n 的二次函数,由此我们可用函数的知识求 Sn 的最大值或最小 值.从函数观点看 Sn,当 d≠0 时,Sn 是关于 n 的常数项为 0 的二次函数,则(n,Sn)是二次函数图象上的一群孤立的点,由 此可得:当 d>0 时,Sn 有最小值;当 d<0 时,Sn 有最大值.

题型探究 题型一 等差数列中基本量的计算 例 1 在等差数列{an}中, (1)已知 a15=33,a45=153,求 a61; (2)已知 S8=48,S12=168,求 a1 和 d; (3)已知 a6=10,S5=5,求 a8 和 S8.

解析:(1)方法一:设首项为 a1,公差为 d,依条件,得 ?33=a +14d, ?a =-23, ? ? 1 1 ? 解方程组,得? ?153=a1+44d, ?d=4, ? ? ∴a61=-23+(61-1)×4=217. an-am a45-a15 153-33 方法二:由 d= ,得 d= = 30 =4, n-m 45-15 由 an=am+(n-m)d, 得 a61=a45+16d=153+16×4=217.

1 (2)∵Sn=na1+ n(n-1)d, 2 ?8a +28d=48, ? 1 ∴? ?12a1+66d=168, ?
?a =-8, ? 1 解方程组,得? ?d=4. ?

?a +5d=10, ? 1 (3)∵a6=10,S5=5,∴? ?5a1+10d=5, ? ?a =-5, ? 1 解方程组,得? ?d=3, ?

8?a1+a8? ∴a8=a6+2d=10+2×3=16,S8= =44. 2

点评:在等差数列中有五个重要的量,即 a1,an,d,n, Sn,只要已知任意三个,就可求出其他两个,其中 a1 和 d 是两 个最重要的量,通常要先求出 a1 和 d.

变式探究 1 已知等差数列{an}中,a15=33,a61=217, 试探究 153 是不是这个数列的项, 如果是, 是第几项?若不是, 说明理由.

解析:设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d, 则 an=a1+(n-1)d. ?a +?15-1?d=33, ?a =-23, ? 1 ? 1 由已知? ∴? ?a1+?61-1?d=217, ?d=4. ? ? ∴an=-23+(n-1)×4=4n-27. 令 an=153,即 4n-27=153, ∴n=45. ∴153 是等差数列的项,是第 45 项.

题型二 等差数列的判定与证明 例 2 已知数列{an}的通项公式为 an=pn2+qn(常数 p,q∈ R). (1)当 p 和 q 满足什么条件时,数列{an}是等差数列? (2)求证对任意的实数 p 和 q,数列{an+1-an}都是等差数 列.

解析:(1)设数列{an}是等差数列, 由题意,得 an+1-an=[p(n+1)2+q(n+1)]-(pn2+qn)= 2pn+p+q, 上式应是一个与 n 无关的常数, 所以有 2p=0, p=0, p=0 时, 即 当 数列{an}是等差数列. (2)证明:∵an +1 -an =[p(n+1)2 +q(n+1)]-(pn2 +qn)= 2pn+p+q, ∴an+2-an+1=2p(n+1)+p+q, ∴(an+2-an+1)-(an+1-an) =[2p(n+1)+p+q]-(2pn+p+q) =2p(常数). ∴对任意的实数 p 和 q,数列{an+1-an}都是等差数列.

点评:证明{an}为等差数列除了可以利用定义法及中项法 外还可以利用: (1)通项法:an 为 n 的一次函数?{an}为等差数列. n?a1+an? 2 (2)前 n 项和法:Sn=An +Bn 或 Sn= . 2

变式探究 2 设数列{an}中,Sn 是数列{an}的前 n 项和,a1 2 2Sn 1 =1,且 an= (n≥2).证明数列{S }是等差数列,并求 Sn. 2Sn-1 n

2S2 n 解析:由已知得 Sn-Sn-1= . 2Sn-1 2 去分母得(2Sn-1)(Sn-Sn-1)=2Sn,Sn-1-Sn=2SnSn-1, 1 1 两边同除以 SnSn-1,得S - =2. Sn-1 n 1 1 1 ∴{ }是以 = =1 为首项、以 2 为公差的等差数列,故 Sn S1 a1 1 1 2=2n-1(n≥2). Sn=S1+(n-1)· 1 经验证 n=1 时也成立,所以 Sn= (n∈N*). 2n-1

题型三 等差数列的性质及其应用 例 3(1)设等差数列的前 n 项和为 Sn,已知前 6 项和为 36, Sn=324,最后 6 项的和为 180(n>6),求数列的项数 n 及 a9+ a10; Sn (2)等差数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn,且T = n 3n-1 a8 ,求b 的值. 2n+3 8

解析:(1)由题意可知 a1+a2+…+a6=36① an+an-1+an-2+…+an-5=180② ①+②得 (a1+an)+(a2+an-1)+…+(a6+an-5)=6(a1+an)=216, ∴a1+an=36. n?a1+an? 又 Sn= =324. 2 ∴18n=324. ∴n=18. ∴a1+a18=36. ∴a9+a10=a1+a18=36.

Sn 3n-1 (2)∵T = , 2n+3 n S15 3×15-1 44 4 ∴T = =33=3. 2×15+3 15 15?a1+a15? ∵S15= =15a8, 2 15?b1+b15? T15= =15b8, 2 a8 15a8 S15 4 ∴b =15b =T =3. 8 8 15

点评:此类问题解法的关键是将性质 m+n=p+q?am+ n?a1+an? an=ap+aq 与前 n 项和 Sn= 结合在一起,采用整体思 2 想,简化解题过程.

变式探究 3 (1)等差数列{an}中, 2+a7+a12=24, S13; a 求 (2)已知等差数列{an}的前 n 项和为 377,项数 n 为奇数, 且前 n 项奇数项和与偶数项和之比为 7∶6,求中间项.

解析:(1)∵a2+a12=a1+a13=2a7, 又 a2+a7+a12=24,∴a7=8. 13?a1+a13? ∴S13= =13×8=104. 2 (2)∵n 为奇数, S奇 n+1 7 ∴ = = ,∴n=13. S偶 n-1 6 ∵13a7=S13=377,∴a7=29. 故所求的中间项为 29.

题型四 等差数列前 n 项和的最值问题. 例 4 已知数列{an}满足 2an+1=an+an+2(n∈N*),它的前 n 1 项和为 Sn,且 a3=10,S6=72.若 bn=2an-30,求数列{bn}的 前 n 项和的最小值.

解析:∵2an+1=an+an+2,∴{an}是等差数列, 设{an}的首项为 a1,公差为 d, ?a +2d=10, ? 1 由 a3=10,S6=72,得? ?6a1+15d=72, ?
?a =2, ? 1 ∴? ?d=4, ?

∴an=4n-2.

1 则 bn= an-30=2n-31. 2 ?2n-31≤0, ? 29 31 ? 解 得 2 ≤n≤ 2 . ?2?n+1?-31≥0, ? ∵n∈N*,∴n=15. ∴{bn}前 15 项为负值,∴S15 最小, 可知 b1=-29,d=2, 15?-29+2×15-31? 15×?-60+30? ∴S15= = =-225. 2 2

点评:若{an}是等差数列,求前 n 项和的最值时,①若 a1 ?a ≥0, ? n >0,d<0,且满足? 前 n 项和 Sn 最大;②若 a1<0, ?an+1≤0, ?
?a ≤0, ? n d>0,且满足? ?an+1≥0, ?

前 n 项和 Sn 最小;③除上面方法外,

还可将{an}的前 n 项和的最值问题看作 Sn 关于 n 的二次函数问 题,利用二次函数的图象或配方法求解.

变式探究 4 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3= 12,S12>0,S13<0. (1)求公差 d 的取值范围; (2)指出 S1、S2、…、S12 中哪一个值最大,说明理由.

?a3=a1+2d=12, ? ?S =12a +12×11d>0, 1 2 解析:(1)由? 12 ? 13×12 ?S13=13a1+ d<0, 2 ? 24 得- 7 <d<-3. (2)∵S12=6(a1+a12)=6(a6+a7)>0, 13?a1+a13? S13= =13a7<0, 2 ∴a6>0 且 a7<0,故 S6 最大.

归纳总结 ?方法与技巧 1.等差数列的判断方法有 (1)定义法:an+1-an=d(d 是常数)?{an}是等差数列. (2)等差中项法: n+1=an+an+2(n∈N*)?{an}是等差数列. 2a (3)通项公式:an=pn+q(p,q 为常数)?{an}是等差数列. (4)前 n 项和公式:Sn=An2+Bn(A、B 为常数)?{an}是等 差数列. 2.方程思想和基本量思想:在解有关等差数列的问题时 可以考虑化归为 a1 和 d 等基本量,通过建立方程(组)获得解.

?失误与防范 1. 如果 p+q=r+s, ap+aq=ar+as, 则 一般地, p+aq≠ap a +q,必须是两项相加,当然可以是 ap-t+ap+t=2ap. 2. 当公差 d≠0 时, 等差数列的通项公式是 n 的一次函数, 当公差 d=0 时,an 为常数. 3.公差不为 0 的等差数列的前 n 项和公式是 n 的二次函 数,且常数项为 0.若某数列的前 n 项和公式是常数项不为 0 的 二次函数, 则该数列不是等差数列, 它从第二项起成等差数列.

新题速递 1.(2012· 福建卷)在等差数列{an}和等比数列{bn}中,a1=b1 =1,b4=8,{an}的前 10 项和 S10=55. (1)求 an 和 bn; (2)现分别从{an}和{bn}的前 3 项中各随机抽取一项,写出 相应的基本事件,并求这两项的值相等的概率.

解析:(1)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,依题意得 10×9 S10=10+ 2 d=55,b4=q3=8, 解得 d=1,q=2, 所以 an=n,bn=2n-1. (2)分别从{an}和{bn}的前 3 项中各随机抽取一项,得到的 基本事件有 9 个; (1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4). 符合题意的基本事件有 2 个:(1,1),(2,2). 2 故所求的概率 P= . 9

2.(2012· 山东卷)已知等差数列{an}的前 5 项和为 105,且 a10=2a5. (1)求数列{an}的通项公式; (2)对任意 m∈N*,将数列{an}中不大于 72m 的项的个数记 bm.求数列{bm}的前 m 项和 Sm.

解析:记数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Tn. 由 T5=105,a10=2a5, 5×?5-1? ? ?5a1+ d=105 2 得到? , ?a +9d=2?a +4d? ? 1 1 解得 a1=7,d=7. 因此 an=a1+(n-1)d=7+7(n-1)=7n(n∈N*).

(2)对 m∈N*,若 an=7n≤72m,则 n≤72m 1. - 因此 bm=72m 1. 所以数列{bm}是首项为 7 公比为 49 的等比数列, b1?1-qm? 7×?1-49m? 7×?72m-1? 故 Sm= = = = 48 1-q 1-49 + 72m 1-7 48 .




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