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专题三:立体几何基本性质


高考中心 模块四:立体几何 第一讲:平面的基本性质
一:考点归纳 1、平面的概念 ①平面是一个不加定义,只需要理解的最基本的原始概念.立体几何里所说的平面就是从生活中常见的平面抽 象出来的,生活中的平面是比较平、且有限的,而立体几何中的平面是理想的、绝对的平且无限延展的. 2、几何中符号的规定:

3、平面的基本性质 公理 1: 如果一条直线上的两点

在一个平面内,那么这条直线上所有点都 在这个平面内. 作用:既可判定直线是否在平面内、点是否在平面内,又可用直线检验平面。 公理 2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是一条直线. 作用:其一,它是判定两个平面是否相交的依据,只要两个平面有一个公共点,就可以判定这两个平 面必相交于过这点的一条直线;其二,它可以判定点在直线上,点是某两个平面的公共点,线是这两个平面的公共 交线,则这点在交线上。 公理 3: 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. 作用:作用一是确定平面,作用二可用其证明点、线共面问题。 公理 3 有三个推论,它们是:

推论 1:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面. 推论 2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论 3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. 公理 4: 平行于同一直线的两条直线平行.
作用:证明两条直线平行 4、异面直线 ①异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线(或既不相交,也不平行的两条直线叫做 异面直线) ②关于异面直线的有关概念 / / (1)两条异面直线所成的角(或夹角)的定义:直线 a、 是异面直线, b 经过空间一点 O, 分别引直线 a ||a,b||b , / / 相交直线 a ,b 所成锐角(或直角),叫做异面直线 a、b 所成的角 (2)两条异面直线垂直的定义:如果两条异面直线所成角是直角,则称这两条异面直线互相垂直. 5、直线和平面平行的判定与性质定理 ①判定定理:如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.若 a||b, a ?α ,b ?α ;则 a||α (即线线平行,则线面平行), ②性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平 行. (即线面平行, 则线线平行) 用符号表示为; a||α , a?β ,α ∩β =b,则 a||b。 “线面平行, (即 则线线平行” ) 6、直线和平面平行的判定与性质定理 ①判定定理: 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. 定理的符号语言表示为:若 a?α ,b?α ,a∩b=A,且 a||β ,b||β ,则 α ||β . ②性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行. 定理的符号语言表示为:若 α ||β .α ∩γ =a,β ∩γ =b,,则 a||b.
1

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③推论:垂直与同一直线的两个平面平行. 推论符号语言表示为:若 a⊥α ,a⊥β , 则 α ||β . 7、 直线和平面垂直 ①定义:如果一条直线和平面内的任何一条直线垂直,则这条直线和这个平面垂直。记作 L⊥α ②二个命题: 命题 1: 过一点有且只有一条直线和已知平面垂直。 命题 2:过一点有且只有一个平面和已知直线垂直。 ③判定定理:直线和平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂那么这条直线就垂直 于这个平面;即
m,n?α ,m?n=A L⊥m,L⊥n

? ⊥

推论: 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面。即 a||b,a ⊥α , ?b⊥α ④性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行. 8、平面与平面垂直 ①二面角 (1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫 做二面角的面; (2)大小:一个平面垂直于二面角的棱,且与两个半平面的交线分别是两条射线,两条射线的夹角叫二面角的平 面角;二面角的大小,就用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度. 0 0 0 (3)范围为[0 ,180 ] 当二面角的两个面重合时,规定二面角的大小为 0 ,当二面角的两个面合成一个平面时, 0 规定二面角的大小为 180 .若—个二面角的平面角是直角,就说这个二面角为直二面角. ②定义:若两个平面相交,如果它们所成的二面角的平面角是直角,就说这两个平面互相垂直。 ③判定定理:若—个平面过另—个平面的垂线,则这两个平面互相垂直。a⊥α ,a?β ;? α ⊥ β ④性质定理:若两个平面垂直,则—个平面内的垂线与交线的直线垂直另—个平面。即α ⊥ β ,α ?β = b,a?β , a⊥ b ? a ⊥ α 二:典例归类 例 1、正方体 ABCD 一 A1B1C1Dl 中,E 为 AB 的中点,F 为 A1A 的中点. 求证: (1)E、C、D1、F 四点共面; (2)CE、D1F、DA 三条直线必过同一点

牛刀小试 1、已知 ABC 在平面 ? 外,AB ?? =P,AC ?? =R,BC ?? =Q,如图 求证:P、Q、R 及三点共线.

2

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2、如图,平面 ABEF⊥平面 ABCD,四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC∥2AD,BE∥2AF,且
1 1

BC=2AD,BE=2AF.
证明:C、D、F、E 四点共面:

1

1

例 2、如图,长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AA1=AB=2,AD=1,点 E、F、G 分别是 DD1、AB、CC1 的中点,则异面直线 A1E 与 GF 所成的角是 ( ) A. arccos

15 5

B.

? 4

C. arccos

10 5

D.

? 2

牛刀小试

E 1、已知正四棱柱 ABCD ? A BC1D1 中, AA1 ? 2 AB, 为 AA1 中点,则异面直线 BE 与 CD1 所成的角的余弦值为 1 1
A.
10 10

B. 1
5

C.

3 10 10

D. 3
5

2、如图,已知三棱锥 O—ABC 的侧棱 OA、OB、OC 两两垂直,且 OA=1,OB=OC=2, E 是 OC 的中点. 求异面直线 BE 与 AC 所成的角;

3、如图,PA⊥平面 ABC,∠ACB=90°且 PA=AC=BC=a.则异面直线 PB 与 AC 所成角的正切值等于__________

3

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例 3、下列命题中正确的命题的个数为( ) ①如果一条直线与一平面平行,那么这条直线与平面内的任意—条直线平行; ②如果一条直线与一平面相交,那么这条直线与平面内的无数条直线垂直; ③过平面外一点有且只有一条直线与平面平行; ④一条直线上有两点到一个平面的距离相等,则这条直线平行于这个平面. A、0 B、1 C、 2 D、 3 例 4、已知:如图,P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,E 是 PD 中点 (Ⅰ)求证:PB∥平面 EAC (Ⅱ)M 是 CD 上异于 C、D 的点,连结 PM 交 CE 于 G,连结 BM,交 AC 于 H 求证:GH∥PB
P

E D C

A 牛刀小试 B 1、对于平面 α 和共面直线 m,n,下列命题正确的是() A、 若 m||α ,n||α ,则 m||n B、若 m?α ,n||m,且 n 不包含于 α ,则 n||α C、 若 m?α ,n||α ,则 m||n D、若 m,n 与 α 所成角相等,则 m||n 2、若直线 m?α ,则条件甲:直线 L||α ,是条件乙:L||m 的() A、 充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、 充分必要条件 D、既不充分不必要条件

3、如图,在底面为平行四边形的四棱锥 P ? ABCD 中,点 E 是 PD 的中点.求证: PB // 平面 AEC ;

4、 如图, 在五面体 ABCDEF 中, O 是矩形 ABCD 的对角线的交点, CDE 是等边三角形, EF ∥ 点 面 棱 明: FO∥平面 CDE ;

1 证 BC . 2

F

E D

A

O
B
5、如图,已知四棱锥 P-ABCD 中,E 是 PC 上的中点,连接 EB,ED,在 ED 上任取一 点 G,A、P、G 确定的平面与平面 DEB 交于 GH 求证:PA||GH
P

C

E G D H C

4

A

B

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例 6、如图,四棱锥 P—ABCD 中,AB⊥AD,CD⊥AD, CD = 2AB,M 为 PC 的中点。 求证:BM∥平面 PAD;
2 0

0

7

0

4

0

牛刀小试 1、如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么这两个平面位置关系一定是( ) A、平行 B、相交 C、平行或相交 D、垂直相交 2、平面 α ||平面 β 的一个充分条件是( ) A、存在一条直线 a,a||α ,a||β B、存在一条直线 a,a?α ,a||β C、存在两条平行直线 a、b,a?α ,b?β ,a||β ,b||α D、存在两条异面直线 a、b,a?α ,b?β ,a||β ,b||α
9

3、如图,在长方体 ABCD ? A B1C1D1 中, E , P 分别是 BC, A D 的中点, M , N 分别是 AE, CD 的中点, 1 1 1 1 求证: MN // 面 ADD1 A ; 1

例 7、 四棱锥 A ? BCDE 中, 底面 BCDE 为矩形, 侧面 ABC ? 底面 BCDE , BC ? 2 ,

A

CD ? 2 , AB ? AC .证明: AD ? CE

B

E

C

D

例 8、如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,∠BCD=60°,E 是 CD 的中点,PA⊥底 面 ABCD,PA=2,证明:平面 PBE⊥平面 PAB;

5

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牛刀小试 1、已知 a,b 是直线,α 是平面,则下列命题中正确的是 A 、 a ? ? , a ? b ? b // ? B、 a ? b, a // ? ? b ? ? C 、 a // b, b // ? ? a // ? D、 a ? ? , a // b ? b ? ? 2、如果直线 l 和平面α 内的两条平行线垂直,那么下列结论正确的是 ( )





A l ?? B l 与α 相交 C l//α D A、B、C 都可能 3、如图,在四棱锥 P—ABCD 中,侧面 PAD⊥底面 ABCD,侧棱 PA=PD, AD 中点,求证:PO⊥平面 ABCD。

4、如图, PCBM是直角梯形, ?PCB ? 90? , PM ∥ BC , PM ? 1 , BC ? 2 ,又 AC ? 1 , ?ACB ? 120? , AB ? PC ,直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60? . M P 求证:平面 PAC⊥平面 ABC;

C
A

B

6、如图,在底面是菱形的四棱锥 P—ABCD 中,∠ABC=60 ,PA=AC=a,PB=PD= 2a,点 E 是 PD 的中点. (1)证明:PA⊥平面 ABCD, (2)PB∥平面 EAC;

PD ? 底面ABCD , E 在棱 PB 上, 7、 如图, 四棱锥 P ? ABCD 的底面是正方形, 点 求证: 平面 AEC ? 平面PDB ;

6


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