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湖南省衡阳县第四中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题


衡阳县第四中学 2016 年高二第二次学考模拟(期中)试卷 数 学

第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) 一、选择题: (本大题共 10 个小题,每小题 2 分,共计 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.设集合 A={–2,–1,3,4},B={–1,0,3},则 A∪B 等于( (A){–1,3} (C){–2,–1,0,4}

(B){–2,–1,0,3,4} (D){–2,–1,3,4} ) D.圆锥 ) .

2.某几何体的三 视图都是全等图形,则该几何体一定是( A.球体 B.长方体 C.三棱锥

?1? 3.函数 f ( x ) = ? ÷ - x + 2 的零点所在的一个区间是() è2?
A. ( -1, 0) 4.已知 f ( x) ? ? A. 1 B. ( 0,1) C. (1, 2) ) D.4 ) .
第(5)题

x

D. ( 2, 3)

? 2x

( x ? 0)
B.2

?log2 x ( x ? 0)

,则 f (4) ? ( C.3

5. 执行如图所示的程序框图,若输出的 S 为 4,则输入的 x 应为( (A)–2 (B)16

(C)–2 或 8 (D)–2 或 16 6.要完成下列两项调查: (1)某社区有 100 户高收入家庭,210 户中等收入家庭,90 户低收 入家庭,从中抽取 100 户调查消费购买力的某项指标; (2)从某中学高二年级的 10 名体育 特长生中抽取 3 人调查学习负担情况,应采取的抽样方法是() A.(1)用系统抽样法, (2)用简单随机抽样法 B.(1)用分层抽样法, (2)用系统抽样法 C.(1)用分层抽样法, (2)用简单随机抽样法 D.(1) (2)都用分层抽样法 7.已知等比数列 {an } 的公比为 2,则

a4 值为() a2
C. 2 D.4

A.

1 4

B.

1 2

8.一个袋中装有 2 个红球和 2 个白球,现从袋中取出 1 球,然后放回袋中再取出一球,则取 出的两个球同色的概率是( (A ) ) . (B)

1 2

1 3
1

(C)

1 4

(D)

2 5

9.函数 f ( x ) =

?p ? 1 - cos2 ? - x ÷的单调增区间是() è4 ? 2

A. ê2 kp -

é ?

p

pù , 2 kp + ú, k ? Z 2 2?
, kp + 3p ù ú, k ? Z 4?

B. ê2 kp +

é ?

p
2

, 2 kp +

3p ù ú, k ? Z 2?

C. êkp +

é ?

p
4

D. êkp -

é ?

p

pù , kp + ú, k ? Z 4 4?

10.设 a > 1, b > 2 且 ab = 2a + b 则 a + b 的最小值为() A. 2

2

B. 2

2 +1

C. 2

2 +2

D. 2

2 +3

二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 4 分,共 20 分.请将答案填在题中横线上。 11.在 如图所示的茎叶图中,甲、乙两组数据的中位数分别是 . 甲 乙 12.已知向量 a=( 3 ,1),b=(m,1).若向量 a, 8 2 9 9 1 3 4 5 2? b 的夹角为 ,则实数 m=_____. 2 5 4 8 2 6 3 7 8 5 5 3 5 13. 过点 A(2, 3)且垂直于直线 2x+y–5=0 的直线 6 6 7 方程为_____________ ______ 14.在△ABC 中,∣AB∣=4,∣AC∣=2,∠A=60°,∣BC∣=________ 15.将正整数排成下表: 2 5 10 1 3 6 4 7 8 9 14 15 16

11 12 13 …… ……

其中第 i 行,第 j 列的那个数记为 aij ,则数表中的 2015 应记为 第 II 卷 (选择题 共 40 分)



三、解答题: (本大题共 4 小题,共 40 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.已知 sin?=–

3 ? ? ,?∈(– , ). (8 分) 2 2 5 3? –?)的值. 4

(Ⅰ)求 sin2?的值; (Ⅱ)求 tan(

2

17、设 Sn 为数列 ?an ?的前 n 项和,且 Sn ? n2 ? n ? 1 ,n ? N * .(10 分) (1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)求数列 ?

?

1 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? an an ?1 ?

18、如













P ? ABC





PA ? PC ? 5,PB ? 4,AB ? BC ? 2 3, ?ACB ? 30? .
(1) 求证: AC ? PB ; (2)求三棱锥 P ? ABC 的体积.(10 分)

19.(12 分)2013 年第三季度,国家电网决定对城镇居民用电计费标准作出调整,并根据用 电情况将居民分为三类:第一类的用电区间在(0,170],第二类在(170,260],第三类在

3

(260,+∞)(单位:千瓦时).某小区共有 1 000 户居民,现对他们的用电情况进行调查, 得到频率分布直方图,如图所示. (1)求该小区居民用电量的中位数与平均数; (2)本月份该小区没有第三类的用电户出现,为鼓励居民节约用电,供电部门决定:对第 一类每户奖励 20 元钱,第二类每户奖励 5 元钱,求每户居民获得奖励的平均值; (3)利用分层抽样的方法从该小区内选出 5 位居民代表,若从该 5 户居民代表中任选两户 居民,求这两户居民用电资费属于不同类型 的概率.

20.(10 分)在直角坐标系 xOy 中 ,圆 C:x +y +4x–2y+m=0 与直线 x– 3 y+ 3 –2=0 相
2 2

切. (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若圆 C 上有两点 M,N 关于直线 x+2y=0 对称,且|MN|=2 3 ,求直线 MN 的方程.

参考答案 一、选择题 题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 A 5 D 6 C 7 D 8 A 9 C 10 D
4

二、填空题: 11. 45,46 三、解答题 16.(Ⅰ)因为?∈(– 12. – 3 13. x–2y+4=0 14. 2 3 15.
79 a45

3 ? ? , ),sin?=– , 2 2 5 4 所以 cos?= 1 ? sin 2 ? = . …………2 分 5 24 由 sin2?=2sin?c os?=– . …………4 分 25 sin ? 3 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 tan?= =– . …………5 分 cos ? 4 3? 3 tan ? tan? ? 1 ? 3? 4 4 =– 1 . …………8 分 所以 tan( –?)= = 3? 3 4 7 1 ? tan tan? 1 ? 4 4

17. 解: (1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 3 ; 当 n ? 2 时, Sn ? n2 ? n ? 1

① ②

Sn?1 ? (n ?1)2 ? (n ?1) ? 1

① ? ② 得: Sn ? Sn?1 ? n2 ? n ? (n ?1)2 ? (n ?1)

an ? (2n ?1) ? 1 ? 2n
但 a1 ? 3 不符合上式,因此: an ? ?

?3, (n ? 1) ?2n,(n ? 2)

(2)当 n ? 1 时, T1 ?

1 1 1 ? ? a1a2 3 ? 4 12

当 n ? 2 时,

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) an an?1 2n ? 2(n ? 1) 4n(n ? 1) 4 n n ? 1

?Tn ? ?

1 1 1 1 ? ? ??? a1a2 a2 a3 a3a4 an an ?1

1 1? 1 1 1 1 1 1 ? ? ?( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 12 4 ? 2 3 3 4 n n ?1 ? ? 1 1 1 1 ? ? ( ? ) 12 4 2 n ? 1 5 1 ? ? 24 4(n ? 1)
5

且 T1 ?

5 1 1 符合上式, 因此: Tn ? ? 12 24 4(n ? 1)

18.解:(1)证明:取 AC 中点 D ,连接 PD 、 BD 在 ? ABC 中: AB ? BC ,

D 为 AC 中点

? BD ? AC
在 ?PAC 中 PA ? PC ,

D 为 AC 中点

? PD ? AC
又? BD ? PD ? D , BD 、 PD ? 面PBD

? AC ? 面PBD ? PB ? 面PBD ? AC ? PB
(2)方法一: VP? ABC ? VP? ABD ? VP?BCD

? VA?PBD ? VC ?PBD
在 ?ABC 中, AB ? BC , ?ACB ? 30 ,
0

D 是 AC 中点

? BD ? 3 , AD ? DC ? 3
在 ?PCD 中, PD ? DC , PC ? 5 , DC ? 3

? PD ? 4

1 3 183 ? S?PBD ? ? 42 ? ( ) 2 ? 3 ? 2 2 4
1 VA? PBD ? ? S?PBD ? AD 3 1 183 ? ? ?3 3 4 ? 183 4

又 VC ? PBD ? VA? PBD ?

183 4 183 2

?VP ? ABC ? VA? PBD ? VC ? PBD ?
(2)方法二:取 BD 中点 M ,连接 PM 由(1)可知 AC ? 面PBD

6

又? PM ? 面PBD

? AC ? PM
在 ?ABC 中,? AB ? BC , ?ACB ? 30 ,
0

D 是 AC 中点

? BD ? 3 , AD ? DC ? 3
在 ?PCD 中 ,? PD ? DC , PC ? 5 , DC ? 3

? PD ? 4 ? PBD 为等腰三角形 ? PM ? BD
又? AC ? BD ? D , AC、BD ? 面ABC

? PM ? 面ABC , 即 PM 为三棱锥 P ? ABC 的高 h
易得 PM ?

61 2
1 S ?ABC h 3

?VP ? ABC ?

1 1 61 ? ? ? 6? 3 ? 3 2 2 183 ? 2
19.解:(1)从左数第一组数据的频率为 0.004×20=0.08, 第二组数据的频率为 0.014×20=0.28, 第三组数据的频率为 0.020×20═0.4, ∴中位数在第三组,设中位数为 150+x,则 0.08+0.28+0.020×x=0.5? x=6, ∴中位数为 156, 平均数为 120×0.1+140×0.3+160×0.4+180×0.1+200×0.06+220×0.04=156.8; (2)第一类每户的频率为 0.1+0.3+0.4=0.8,∴第一类每户共有 800 户; 第二类每户的频率为 0.1+0 .06+0.04=0.2,∴第二类每户共有 200 户, ∴每户居民获得奖励的平均值为 =17(元); = ,

(3)利用分层抽样的方法从该小区内选出 5 位 居民代表,则抽取比例为 ∴第一、二类分别应抽取 4 户,1 户, 从 5 户居民代表中任选两户居民共有 10 种选法;

7

其中居民用电资费属于不同类型有 4 种选法, ∴居民用电资费属于不同类型的概率为 . 20.解: (Ⅰ)圆 C 的标 准方程为(x+2) +(y–1) =5– m,
2 2

…………1 分

圆 C 的半 径 r 等于圆心 C 到直线 x– 3 y+ 3 –2=0 的距离, 即 r=

| ?2 ? 3 ? 3 ? 2 | =2, ∴ 5–m=4, 1? 3
2 2

…………3 分 …………5 分 …………6 分 …………7 分

∴ m=1,圆 C 的方程 x +y +4x–2y+1=0. (Ⅱ)由题意,可设直线 MN 的方程为 2x–y+a=0, 则圆心 C 到直线 MN 的距离 d=

| ?4 ? 1 ? a | , 5

由 d +(

2

| MN | 2 2 (a ? 5) 2 ) =r ,即 +( 3 )2=22, 2 5
…………9 分 …………10 分

解得 a=5± 5 . ∴直线 M N 的方程为 2x–y+5+ 5 =0 或 2x–y+5– 5 =0.

8


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