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必修一:1.1.1《集合的含义与表示》(新人教A版必修1)


1.1.1
集合的含义与表示

(一)集合的含义
问题提出 “集合”是日常生活中的一个常用词,现代汉语解释为: 许多的人或物聚在一起.

在现代数学中,集合是一种简洁、高雅的数学语 言,

我们怎样理解数学中的“集合”?

知识探究(一) 考察下列问题: (1)1~20以内的所

有质数;

(2)绝对值小于3的整数;
(3)师大附中0705班的所有男同学; (4)平面上到定点O的距离等于定长的所有的点.

思考1:上述每个问题都由若干个对象组成,每组对象 的全体分别形成一个集合,集合中的每个对象都称为元素. 上述4个集合中的元素分别是什么?

思考2:一般地,怎样理解“元素”与“集合”?
把研究的对象称为元素,通常用小写拉丁字母a,b, c,?表示;把一些元素组成的总体叫做集合,简称集, 通常用大写拉丁字母A,B,C,?表示. 思考3:组成集合的元素所属对象是否有限制?集合中 的元素个数的多少是否有限制?

思考4:试列举一个集合的例子,并指出集合中的元素.

知识探究(二) 任意一组对象是否都能组成一个集合?集合中的元 素有什么特征?

思考1:我们班所有的男同学构成一个集合,由此说明 什么? 集合中的元素必须是确定的(确定性)
思考2:在一个给定的集合中能否有相同的元素?由此 说明什么? 集合中的元素是不重复出现的(互异性) 思考3:0705班的全体同学组成一个集合,调整座位后 这个集合有没有变化?由此说明什么?

集合中的元素是没有顺序的(无序性)

知识探究(三) 思考1:设集合A表示“1~20以内的所有质数”,那 么3,4,5,6这四个元素哪些在集合A中?哪些不在集合A 中? 思考2:对于一个给定的集合A,那么某元素a与集合A 有哪几种可能关系? 思考3:如果元素a是集合A中的元素,我们如何用数 学化的语言表达? a属于集合A,记作 a ? A 思考4:如果元素a不是集合A中的元素,我们如何用 数学化的语言表达? a不属于集合A,记作 a ? A

知识探究(四) 思考:所有的自然数,正整数,整数,有理数,实 数能否分别构成集合?

自然数集,正整数集,整数集,有理数集,实数 集等一些常用数集,分别用下列符号表示:
自然数集(非负整数集):记作 N 正整数集:记作 N *或 N ? 整数集:记作 Z 有理数集:记作 Q 实数集:记作 R

(二)集合的表示
问题提出
用自然语言描述一个集合往往是不简明的,如“在 平面直角坐标系中以原点为圆心,2 为半径的圆周上的 点”组成的集合,那么,我们可以用什么方式表示集合 呢?

知识探究(五) 考察下列集合: (1)小于5的所有自然数组成的集合; (2)方程 x 3 ? x的所有实数根组成的集合. 思考1:这两个集合分别有哪些元素? (1)0,1,2,3,4; (2)-1,0,1 思考2:由上述两组数组成的集合可分别怎样表示? (1){0,1,2,3,4}; (2){-1,0,1} 思考3:这种表示集合的方法叫什么名称? 列举法 列举法描述 把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{ 括起来,即 {a, b, c,?} }”

知识探究(二) 考察下列集合: (1)不等式 2 x ? 7 ? 3 的解组成的集合; (2)绝对值小于2的实数组成的集合. 思考1:这两个集合能否用列举法表示? 思考2:如何用数学式子描述上述两个集合的元素特征?

(1)x? R,且 x ? 5 ; (2)x? R,且 | x |? 2 思考3:上述两个集合可分别怎样表示? (1){ x? R| x ? 5 }; (2){ x?R| | x |? 2 } 思考4:这种表示集合的方法叫什么名称? 描述法 思考5:描述法表示集合的基本模式是什么?
在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线, 在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

理论迁移 例1 用列举法表示下列集合: (1)小于10的所有自然数组成的集合; (2)方程

x ? x 的所有实数根组成的集合;
2

(3)由1~20以内的所有素数组成的集合;
解:(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,那 么 A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

(2)设方程 x 2 ? x 的所有实数根组成的集合为B, 那么 B={0,1}

(3)设由1~20以内的所有素数组成的集合为C, 那么A={2,3,5,7,11,13,17, 19}

例2试分别用列举法和描述法表示下列集合:

(1)

x2 ? 2 ? 0 方程

的所有根组成的集合 ;

(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合 解:(1)设所求集合为A,用描述法表示为 A={ x ? R x 2 ? 2 ? 0 } 用列举法表示为 A={ } 2, ? 2

(2)设所求集合为B,用描述法表示为

B={ x ? Z 10 ? x ? 20 } 用列举法表示为
B= { 11,12,13,14,15,16,17,18,19}

随堂练习 用适当的方法表示下列集合: (1)绝对值小于3的所有整数组成的集合;

{-2,-1,0,1,2}或 {x ? Z || x |? 3} (2)在平面直角坐标系中以原点为圆心,1为半径的圆 周上的点组成的集合;

{( x, y) | x ? y ? 1}
2 2

(3)所有奇数组成的集合;

{x | x ? 2k ? 1, k ? Z }
(4)由数字1,2,3组成的所有三位数构成的集合.

{123,132,213,231,312,321}.

作业: P5 练习: P11习题1.1A组:

1. 2. 2、3、4.
A ? ?x ? Z | a ? x ? 2 ? a?

a


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