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阶段检测评估六


阶段检测评估(六) (时间:120 分钟,满分:150 分) 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.(2010 北京高考,文 3)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a,从{1,2,3}中随机选取一个数 为 b,则 b>a 的概率是 4 3 A. B. 5 5 2 1 C. 5 D. 5

5 答案:D 3 1 解析:基本事件的个数有 5×3=15 种,其中满足 b>a 的有 3 种,所以 b>a 的概率为 = . 15 5 2.已知如下图所示的矩形,其长为 12,宽为 5.在矩形内随机地撒 1 000 颗黄豆,数得落在 阴影部分的黄豆数为 550 颗,则可以估计出阴影部分的面积约为

A.32 C.34 答案:B 解析:据题意可知黄豆落在阴影部分的概率等于 积与矩形面积的比来度量,即

B.33 D.35
550 11 = ,其概率可用阴影部分的面 1000 20

11 S阴影 S阴影 = = ? S 阴影=33. 20 S 矩形 12 ? 5

3.一堆除颜色外其他特征都相同的红白两种颜色的球若干个,已知红球的个数比白球 多,但比白球的 2 倍少,若把每一个白球都记作数值 2,每一个红球都记作数值 3,则所有球的 数值的总和等于 60.现从中任取一个球,则取到红球的概率等于 1 1 A. B. 3 2 14 16 C. D. 23 23 答案:C 解析:设白球 x 个,红球 y 个,则 2x+3y=60. ∵x<y<2x,∴3x<3y<6x.∴5x<2x+3y<8x,

?5 x ? 60, 60 即? ∴ <x<12.又 x∈N*,∴x=8,9,10,11. 8 ?8 x ? 60.
又 y∈N*,易知,x=9 时,y=14,适合. 14 14 ∴取到红球的概率为 = . 14 ? 9 23 4.现有语文、数学、英语、物理和化学共 5 本书,从中任取 1 本,取出的是理科书的概 率为
1 5 3 C. 5

A.

2 5 4 D. 5

B.

答案:C 解析:记录取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件 A、B、C、D、E,则 A、 B、C、D、E 是彼此互斥的 ,取到理科书的概率为事件 B、 D、E 的概率的并.P(B∪ D∪ 1 1 1 3 E)=P(B)+P(D)+P(E)= + + = .故选 C. 5 5 5 5 1 1 5.甲、乙两人下棋,和棋的概率为 ,乙获胜的概率为 ,则下列说法正确的是 2 3 1 A.甲获胜的概率是 6 1 B.甲不输的概率是 2 2 C.乙输了的概率是 3 1 D.乙不输的概率是 2 答案:A 1 1 1 解析“甲获胜” : 是 “和棋或乙胜” 的对立事件,所以 “甲获胜” 的概率是 P=1- - = ; 2 3 6 设事件 A 为“甲不输” , 则 A 是“甲胜” 、 “和棋”这两个互斥事件的并事件 ,所以 1 1 2 1 2 P(A)= + = 或设事件 A 为“甲不输”看作是“乙胜”的对立事件,所以 P(A)=1- = ; 6 2 3 3 3 1 乙输了的概率即甲获胜的概率是 ; 6 1 1 5 乙不输的概率是 + = .故选 A. 2 3 6 6.某单位共有老、中、青职工 430 人,其中有青年职工 160 人,中年职工人数是老年职 工人数的 2 倍.为了解职工身体状况,现采用分层抽样的方法进行调查,在抽取的样本中有青 年职工 32 人,则该样本中的老年职工人数为 A.9 B.18 C.27 D.36 答案:B 160 解析:设老年职工为 x 人,则 430-3x=160,x=90,设抽取的样本为 m,则 m=32,m=86, 430 90 则抽取样本中老年职工人数为 ×86=18(人). 430 7.某地区为了解中学生的日平均睡眠时间(单位:h),随机选择了 n 位中学生进行调查,根 据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示,且从左到右的第 1 个、第 4 个、第 2 个、 第 3 个小长方形的面积依次构成公差为 0.1 的等差数列,又第一小组的频数是 10,则 n 等于

A.80 C.100 答案:C

B.90 D.110
4?3 ×0.1,由题 2

解析:设第 1 个小长方形的面积为 S,则 4 个小长方形的面积之和为 4S+

意知,4S+

4?3 ×0.1=1, 2 10 ∴S=0.1.又 =0.1,∴n=100. n 8.(2010 山东高考,文 6)在某项体育比赛中,七位裁判为一选手打出的分数如下: 90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为 A.92,2 B.92,2.8 C.93,2 D.93,2.8 答案:B 0?0?3? 4?3 解析:平均数 v =90+ =92. 5 1 方差 s2= [(90-92)2+(90-92)2+(93-92)2+(94-92)2+(93-92)2]=2.8. 5 9.(2010 陕西高考,文 4)如图,样本 A 和 B 分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数

分别为 x A 和 x B,样本标准差分别为 sA 和 sB,则

A. x A> x B,sA>sB C. x A> x B,sA<sB 答案:B 解析: x A=
2.5 ? 10 ? 5 ? 7.5 ? 2.5 ? 10 37 .5 = , 6 6

B. x A< x B,sA>sB D. x A< x B,sA<sB

x B=

15 ? 10 ? 12.5 ? 10 ? 12.5 ? 10

6=

70 , 6

显然 x A< x B,s 是标准差,反映的是数据的波动程度,可以看出 A 图中数据的波动较大,而 B 图则较为有规律,而且改变多为一格,所以 B 的稳定性好,稳定性好的标准差小,选 B. 10.为了考察两个变量 x 和 y 之间的线性相关性,甲、乙两位同学各自独立做了 10 次和 15 次试验,并且利用线性回归方法,求得回归直线分别为 l1、l2,已知两人所得的试验数据中, 变量 x 和 y 的数据的平均值都相等,且分别是 s、t,那么下列说法正确的是 A.直线 l1 和 l2 一定有公共点(s,t) B.直线 l1 和 l2 相交,但交点不一定是(s,t) C.必有 l1∥l2 D.l1 与 l2 必定重合 答案:A 解析:线性回归直线方程为 y = b x+ a ,而 a= y - b x 即 a =t- b s,t= b s+ a .∴(s,t)在回归 直线上.∴直线 l1 和 l2 一定有公共点(s,t). 11.(2010 湖南高考,文 3)某商品销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)负相关,则其回归方程
^
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

可能是 A. y =-10x+200 B. y =10x+200 C. y =-10x-200 D. y =10x-200 答案:A 解析:由 y 与 x 负相关,排除 B、D, 而 C 中 y =-10x-200<0 不符合题意. 12.设集合 A={1,2},B={1,2,3},分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b,确定平面上的 一个点 P(a,b),记“点 P(a,b)落在直线 x+y=n 上”为事件 Cn(2≤n≤5,n∈N),若事件 Cn 的概 率最大,则 n 的所有可能值为 A.3 B.4 C.2 和 5 D.3 和 4 答案:D 解析:分别以 a、b 为横、纵坐标的点共有 6 种结果. 1 当 n=2 时,点 P 只有(1,1)这一种结果,此时 P= ; 6 1 当 n=3 时,点 P 包括(1,2),(2,1)两种结果,此时 P= ; 3 1 当 n=4 时,点 P 包括(1,3),(2,2)两种结果,此时 P= ; 3 1 当 n=5 时,点 P 只有(2,3)这一种结果,此时 P= . 6 显然,若事件 Cn 最大,n 应取 3,4. 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13.(2010 安徽高考,文 14)某地有居民 100 000 户,其中普通家庭 99 000 户,高收入家庭 1 000 户.从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取 990 户,从高收入家庭中以简单随机抽样方 式抽取 100 户进行调查,发现共有 120 户家庭拥有 3 套或 3 套以上住房,其中普通家庭 50 户, 高收入家庭 70 户.依据这些数据并结合所掌握的统计知识,你认为该地拥有 3 套或 3 套以上 住房的家庭所占比例的合理估计是________. 答案:5.7% 解析:所抽取的 990 户普通家庭中有 50 户拥有 3 套或 3 套以上住房,所抽取的 100 户高 收入家庭中有 70 户拥有 3 套或 3 套以上住房,那么 99 000 户普通家庭中就有 5 000 户拥有 3 套或 3 套以上住房,1 000 户高收入家庭中就有 700 户拥有 3 套或 3 套以上住房.那么该地 5000 ? 700 5700 100 000 户居民中拥有 3 套或 3 套以上住房的家庭占的比例为 = =5.7%. 100000 100000 14.对共有 10 人的一个数学小组做一次数学测验,测试题由 10 道单项选择题构成,每答 对 1 题得 5 分,答错或不答得 0 分,批阅后的统计得分情况如下: 得分 50 分 ≥45 分 ≥40 分 ≥35 分 人数 2 4 8 10 则这次测试的平均成绩为_____________. 答案:42 分
^ ^ ^ ^ ^

解析:由题意分析,知得 50 分的有 2 人,得 45 分的有 2 人,得 40 分的有 4 人,得 35 分的 50 ? 2 ? 45 ? 2 ? 40 ? 4 ? 35 ? 2 有 2 人,则平均成绩为 =42 分. 10 15.点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点 B,则劣弧 度小于 1 的概率为________. 2 答案: 3 解析:如图, 的长

点 B 可落在优弧

上,其弧长为 2,

2 . 3 16.(2010 浙江高考,文 17)在平行四边形 ABCD 中,O 是 AC 与 BD 的交点,P,Q,M,N 分别 是线段 OA,OB,OC,OD 的中点.在 A,P,M,C 中任取一点记为 E,在 B,Q,N,D 中任取一点记为

由几何概型知概率为

F.设 G 为满足向量 OG = OE + OF 的点,则在上述的点 G 组成的集合中的点,落在平行四边形 ABCD 外(不含边界)的概率为_____________. 3 答案: 4 解析:根据向量的运算性质知,当 E 为 A 或 C 时,对应的点 G 都在平行四边形 ABCD 外, 当 E 为 P 时,F 为 Q,N 时,G 在平行四边形 ABCD 内,同理 E 为 M 时,且 F 为 Q,N 时,G 在平行 4 3 四边形 ABCD 内,所以落在平行四边形 ABCD 外的概率为 P=1- = . 4? 4 4 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)某班主任对全班 50 名学生学习积极性和对待班级工作的态度进 行了调查,统计数据如下表所示: 积极参加班级工作 不太主动参加班级工 合计 作 学习积极性高 18 7 25 学习积极性一般 6 19 25 合计 24 26 50 (1) 如果随机抽查这个班的一名学生 , 那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多 少?抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少? (2)试运用独立性检验的思想方法分析:学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否 有关系?说明理由. 解:(1)随机抽查这个班的一名学生,有 50 种不同的抽查方法,由于积极参加班级工作的 学生有 18+6=24(人),所以有 24 种不同的抽法.因此由古典概型的计算公式可得抽到积极参 24 12 加班级工作的学生的概率是 P1= = ,又因为不太主动参加班级工作且学习积极性一般 50 25 的学生有 19 人 , 所以抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是 19 P2= . 50

(2)由题意可得 K2 的观测值 k=

50(18 ? 19 ? 6 ? 7) 2 ≈11.54,由于 11.54>6.635,所以在犯 24 ? 26 ? 25 ? 25

错误不超过 0.01 的前提下认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系”. 18.(本小题满分 12 分)(2010 福建高考,文 18)设平面向量 am=(m,1),bn=(2,n),其中 m,n∈ {1,2,3,4}. (1)请列出有序数组(m,n)的所有可能结果; (2)记“使得 am⊥(am-bn)成立的(m,n)”为事件 A,求事件 A 发生的概率. 解:(1)有序数组(m,n)的所有可能结果为: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4), 共 16 个. (2)由 am⊥(am-bn)得 m2-2m+1-n=0, 即 n=(m-1)2. 由于 m,n∈{1,2,3,4},故事件 A 包含的基本事件为(2,1)和(3,4),共 2 个. 2 1 又基本事件的总数为 16,故所求的概率为 P(A)= = . 16 8 19.(本小题满分 12 分)(2010 陕西高考,文 19)为了解学生身高情况,某校以 10%的比例对 全校 700 名学生按性别进行分层抽样调查,测得身高情况的统计图如下:

(1)估计该校男生的人数; (2)估计该校学生身高在 170~185 cm 之间的概率; (3)从样本中身高在 180~190 cm 之间的男生中任选 2 人,求至少有 1 人身高在 185~190 cm 之间的概率. 解:(1)样本中男生人数为 40,由分层抽样比例为 10%估计全校男生人数为 400. (2)由统计图知,样本中身高在 170~185 cm 之间的学生有 14+13+4+3+1=35 人,样本容量 35 为 70,所以样本中学生身高在 170~185 cm 之间的频率 f= =0.5, 70 故由 f 估计该校学生身高在 170~185 cm 之间的概率 p1=0.5. (3)样本中身高在 180~185 cm 之间的男生有 4 人,设其编号为①,②,③,④, 样本中身高在 185~190 cm 之间的男生有 2 人,设其编号为⑤,⑥,从上述 6 人中任取 2 人的树状图为:

故从样本中身高在 180~190 cm 之间的男生中任选 2 人的所有可能结果数为 15,至少有 9 3 1 人身高在 185~190 cm 之间的可能结果数为 9,因此,所求概率 p2= = . 15 5 20.(本小题满分 12 分)随机抽取某中学甲、乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单 位:cm),获得身高数据的茎叶图如图所示.

(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差; (3)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173 cm 的同学,求身高为 176 cm 的同学被抽中的概率. 解:(1)由茎叶图可知:甲班身高集中于 160~179 之间,而乙班身高集中于 170~180 之间. 因此乙班平均身高高于甲班; 158 ? 162 ? 163 ? 168 ? 168 ? 170 ? 171 ? 179 ? 179 ? 182 (2) x = 10 =170. 1 甲班的样本方差为 s 甲 2= [(158-170)2+(162-170)2+(163-170)2+(168-170)2+(168 10 2 2 -170) +(170-170) +(171-170)2+(179-170)2+(179-170)2+(182-170)2]=57.2. (3)设身高为 176 cm 的同学被抽中的事件为 A,从乙班 10 名同学中抽中两名身高不低 于 173 cm 的同学有: (181,173),(181,176),(181,178),(181,179),(179,173),(179,176),(179,178),(178,173),(178,17 6),(176,173) 共 10 个 基 本 事 件 , 而 事 件 A 含 有 4 个 基 本 事 件:(181,176),(179,176),(178,176),(176,173), 4 2 ∴P(A)= = . 10 5 21.(本小题满分 12 分)一盒中装有 12 个球,其中 5 个红球、4 个黑球、2 个白球、1 个 绿球.从中随机取出 1 球,求: (1)取出 1 球是红球或黑球的概率; (2)取出 1 球是红球或黑球或白球的概率. 解:方法一(利用互斥事件求概率 )记事件 A1={任取 1 球为红球},A2={任取 1 球为黑 球},A3={任取 1 球为白球},A4={任取 1 球为绿球}, 5 4 2 1 则 P(A1)= ,P(A2)= ,P(A3)= ,P(A4)= , 12 12 12 12 根据题意知,事件 A1、A2、A3、A4 彼此互斥,由互斥事件的概率公式,得 5 4 3 (1)取出 1 球为红球或黑球的概率为 P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)= + = ; 12 12 4 (2)取出 1 球为红球或黑球或白球的概率为 5 4 2 11 P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= + + = . 12 12 12 12 方法二(利用对立事件求概率) (1)由方法一知,取出 1 球为红球或黑球的对立事件为取出 1 球为白球或绿球,即 A1∪A2 的对立事件为 A3∪A4,所以取出 1 球为红球或黑球的概率为 2 1 3 P(A1∪A2)=1-P(A3∪A4)=1-P(A3)-P(A4)=1- - = . 12 12 4 (2)因为 A1∪A2∪A3 的对立事件为 A4,所以 1 11 P(A1∪A2∪A3)=1-P(A4)=1- = . 12 12 22.(本小题满分 10 分)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少 之间的关系进行了分析研究,他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实 验室每天每 100 颗种子中的发芽数,得到如下资料:

日期 12 月 1 日 12 月 2 日 12 月 3 日 12 月 4 日 12 月 5 日 温差 x(℃) 10 11 13 12 8 发芽数 y(颗) 23 25 30 26 16 该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取 2 组,用剩下的 3 组数据求回归直 线方程,再对被选取的 2 组数据进行检验. (1)求选取的 2 组数据恰好是不相邻 2 天数据的概率; (2)若选取的是 12 月 1 日至 12 月 5 日的两组数据,请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数 据,求出 y 关于 x 的回归直线方程 y =bx+a; (3)若由回归直线方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗,则认 为得到的回归直线方程是可靠的,试问(2)中所得的回归直线方程是否可靠? 解:(1)设选取的 2 组数据恰好是不相邻 2 天数据为事件 A,因为从 5 组数据中选取 2 组 数据共有 10 种情况,每种情况都是等可能出现的,其中选取相邻 2 天数据的情况有 4 种,所 4 3 以 P(A)=1- = . 10 5 3 所以选取的 2 组数据恰好是不相邻 2 天数据的概率是 . 5 ^ ^ 5 ^ (2)由所给数据,可求得 x =12, y =27,由系数公式,求得 b = , a = y - b x =-3. 2 ^ 5 所以 y 关于 x 的回归直线方程为 y = x-3. 2 ^ 5 (3)当 x=10 时, y = ×10-3=22,|22-23|<2; 2 ^ 5 同样,当 x=8 时, y = ×8-3=17,|17-16|<2. 2 所以该农科所得到的回归直线方程是可靠的.
^


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