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2015创新设计二轮专题复习配套-专题训练-选修4-5


选修 4-5

不等式选讲

A 组(供高考题型为填空题的省份使用) 1.不等式 x+|2x-1|<3 的解集为________. 解析 原不等式可化为

?2x-1≥0, ?2x-1<0, ? 或? ?x+?2x-1?<3 ?x-?2x-1?<3. 1 4 1 解得2≤x<3或-2<x<2.
? ? 4? 所以原不等式的解集是?x?-2<x<3? . ? ? ?

答案

? ? 4? ?x?-2<x< ? 3? ? ?

2.不等式|x-1|+|x+2|<5 的解集为________. 解析 法一 当 x<-2 时原不等式即 1-x-2-x<5,

解得-3<x<-2; 当-2≤x≤1 时,原不等式即 1-x+2+x<5, 因为 3<5 恒成立,则-2≤x≤1; 当 x>1 时,原不等式即 x-1+2+x<5, 解得 1<x<2. 综上,原不等式的解集为{x|-3<x<2}. 法二 不等式|x-1|+|x+2|<5 的几何意义为数轴上到-2,1 两个点的距离之

和小于 5 的点组成的集合,而-2,1 两个端点之间的距离为 3,由于分布在 -2,1 以外的点到-2,1 的距离在-2,1 外部的距离要计算两次,而在-2,1 5-3 内部的距离则只计算一次,因此只要找出-2 左边到-2 的距离等于 2 =1 5-3 的点-3,以及 1 右边到 1 的距离等于 2 =1 的点 2,这样就得到原不等式 的解集为{x|-3<x<2}. 答案 {x|-3<x<2}

1 1 1 3.已知 a,b,c 是正实数,且 a+b+c=1,则a+b+c的最小值为________. 解析 1 1 1 a+b+c a+b+c a+b+c a+b+ c= a + b + c

?b a? ?c a? ? c b? =3+?a+b?+?a+c ?+?b+ c?≥3+2+2+2 ? ? ? ? ? ? 1 =9.当且仅当 a=b=c=3时等号成立. 答案 9

4.(2014· 广州模拟)不等式|x+1|+|x-2|≥a 对任意实数 x 恒成立,则 a 的取值范 围是________. 解析 答案 ∵|x+1|+|x-2|=|x+1|+|2-x|≥|x+1+2-x|=3,∴a≤3. (-∞,3]

5.使关于 x 的不等式|x+1|+k<x 有解的实数 k 的取值范围是________. 解析 |x+1|+k<x?k<x-|x+1|,

?2x+1,x<-1, 又 x-|x+1|=? ?-1,x≥-1, ∴x-|x+1|的最大值为-1. ∴k<-1. 答案 (-∞,-1)

6. (2014· 湖南六校联考)如果关于 x 的不等式|x-3|+|x-4|≥a 的解集是全体实数, 则 a 的取值范围是______. 解析 令 f(x)=|x-3|+|x-4|,

则|x-3|+|x-4|≥|x-3+4-x|=1, 则 f(x)min=1,故 a≤1. 答案 (-∞,1]

7.若关于 x 的不等式|a|≥|x+1|+ |x-2|存在实数解,则实数 a 的取值范围是 ________. 解析 -3. 答案 (-∞,-3]∪[3,+∞) 令 t=|x+1|+|x-2|,得 t 的最小值为 3,即有|a|≥3,解得 a≥3 或 a≤

8.在实数范围内,不等式|2x-1|+|2x+1|≤6 的解集为________. 1 ? ?x<- , 2 原不等式可化为? ? ?1-2x-2x-1≤6 1 ? ?x> , 或? 2 ? ?2x-1+2x+1≤6,

解析

1 1 ? ?- ≤x≤ , 2 2 或? ? ?1-2x+2x+1≤6 3 3 解得-2≤x≤2,

? ? 3 3? 即原不等式的解集为?x?-2≤x≤2? . ? ? ?

答案

? ? ? 3 3 ?x?- ≤x≤ 2 2 ? ? ?

? ? ? ? ?

9.(2014· 江西重点盟校二次联考 )若不等式|x+1|+ |x-3|≥|m-1|恒成立,则 m 的取值范围为________. 解析 ∵|x+1|+|x-3|≥|(x+1)-(x-3)|=4,

∴不等式|x+1|+|x-3|≥|m-1|恒成立, 只需|m-1|≤4, 即-3≤m≤5. 答案 [-3,5]

10.(2014· 临沂模拟)对任意 x∈R,|2-x|+ |3+x|≥a2-4a 恒成立,则 a 满足 ______. 解析 ∵|2-x|+|3+x|≥5,

∴要使|2-x|+|3+x|≥a2-4a 恒成立, 即 5≥a2-4a, 解得-1≤a≤5. 答案 [-1,5]

11. 若不等式|3x-b|<4 的解集中的整数有且仅有 1,2,3, 则 b 的取值范围是______. b-4 ? 0 ≤ 3 <1, b-4 b+4 ? |3x-b|<4? 3 <x< 3 ?? b+4 3< ? ? 3 ≤4

解析

?5<b<7,即 b 的取值范围为(5,7). 答案 (5,7)

12. (2014· 西安八校联考)已知关于 x 的不等式|x-1|+|x-a|≤8 的解集不是空集, 则 a 的最小值是________. 解析 |x-1|+|x-a|=|x-1|+|a-x|≥|a-1|,要使关于 x 的不等式不是空集,

则|a-1|≤8,∴-7≤a≤9,即 a 的最小值为-7. 答案 -7

1? ? 13.已知 a∈R,若关于 x 的方程 x2+x+?a-4?+|a|=0 有实根,则 a 的取值范 ? ? 围是________. 解析 1? 1? ? ?? ? ∵二次方程 x2+x+?a-4?+|a|=0 有实根, 则由 Δ=1-4??a-4?+|a|? ? ? ?? ? ?

1? 1 1 ? ≥0 得?a-4?+|a|≤4,由绝对值的几何意义知 0≤a≤4. ? ? 答案 1? ? ?0,4? ? ?

? 1? 14.不等式?x+x?>|a-5|+1 对于任一非零实数 x 均成立,则实数 a 的取值范围 ? ? 是________. 解析 1 ? 1? ?x+x?=|x|+ ≥2, |x| ? ?

所以|a-5|+1<2, 即|a-5|<1,∴4<a<6. 答案 (4,6)

15. (2013· 陕西卷)已知 a, b, m, n 均为正数, 且 a+b=1, mn=2, 则(am+bn)(bm +an)的最小值为________. 解析 由柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当 ad=bc 时“=”

成立,得(am+bn)(bm+an)≥( am· an+ bm· bn)2=mn(a+b)2=2. 答案 2

B 组(供高考题型为解答题的省份使用) 1.设函数 f(x)=|2x+1|-|x-4|. (1)解不等式 f(x)>2;

(2)求函数 y=f(x)的最小值.



? ? 1 (1)f(x)=|2x+1|-|x-4|=? 3x-3,-2≤x<4, ? ?x+5,x≥4.

1 -x-5,x<-2,

1 当 x<-2时, 由 f(x)=-x-5>2 得 x<-7, ∴x<-7; 1 当-2≤x<4 时, 5 由 f(x)=3x-3>2 得 x>3, 5 ∴3<x<4; 当 x≥4 时,由 f(x)=x+5>2, 得 x>-3,∴x≥4. 故原不等式的解集为
? ? ? 5 ?x?x<-7或x> 3 ? ? ? ? ? ?. ? ?

(2)画出 f(x)的图象如图:

9 ∴f(x)min=-2. 1 1 1 2.设 a,b,c 为正实数,求证:a3+b3+c3+abc≥2 3. 证明 3 1 1 1 1 1 1 因为 a,b,c 为正实数,由均值不等式可得a3+b3+c3≥3 a3· b3· c3,

1 1 1 3 即a3+b3+c3≥abc. 1 1 1 3 所以a3+b3+c3+abc≥abc+abc. 3 而abc+abc≥2 3 abc=2 3, abc·

1 1 1 所以a3+b3+c3+abc≥2 3. ?1 1 1? 3.已知 a,b,c 均为正数,证明:a2+b2+c2+?a+b+ c?2≥6 3,并确定 a,b, ? ? c 为何值时,等号成立. 证明 法一 因为 a、b、c 均为正数,由平均值不等式得 ① ② . . ③

a2+b2+c2≥3(abc) , 1 1 1 a+b+ c≥3(abc) ,

?1 1 1? 所以?a+b+ c?2≥9(abc) ? ?

?1 1 1? 故 a2+b2+c2+?a+b+ c?2≥3(abc) +9(abc) ? ? 又 3(abc) +9(abc) 所以原不等式成立. 当且仅当 a=b=c 时,①式和②式等号成立. 当且仅当 3(abc) =9(abc) ≥2 27=6 3,

时,③式等号成立.

即当且仅当 a=b=c=3 时,原式等号成立. 法二 因为 a,b,c 均为正数,由基本不等式得

a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac, 所以 a2+b2+c2≥ab+bc+ac. 1 1 1 1 1 1 同理a2+b2+c2≥ab+bc+ac, 1 1 1 ?1 1 1? 故 a2+b2+c2+?a+b+ c?2≥ab+bc+ac+3ab+3bc+3ac≥6 3. ? ? 所以原不等式成立, 当且仅当 a=b=c 时,①式和②式等号成立,当且仅当 a=b=c,(ab)2=(bc)2 ① ② ③

=(ac)2=3 时,③式等号成立. 即当且仅当 a=b=c=3 时,原式等号成立. 4.若对任意 x>0, 解 ∵a≥
2

x ≤a 恒成立,求 a 的取值范围. x2+3x+1 1 1 对任意 x >0 恒成立,设 u = x + 1 x +3,∴只需 x+ x +3

x = x +3x+1

1 a≥u恒成立即可. ∵x>0,∴u≥5(当且仅当 x=1 时取等号). 1 1 1 由 u≥5,知 0<u≤5,∴a≥5. 1 5.(2014· 新课标全国卷Ⅱ)设函数 f(x)=|x+a|+|x-a|(a>0). (1)证明:f(x)≥2; (2)若 f(3)<5,求 a 的取值范围. (1) 证明 f(x)≥2. (2)解 1 f(3)=|3+a|+|3-a|. 1 1 1 由 a > 0 ,有 f(x) = |x + a |+ |x - a|≥|x + a - (x - a)|= a + a≥2. 所以

5+ 21 1 当 a>3 时,f(3)=a+a,由 f(3)<5 得 3<a< 2 . 1+ 5 1 当 0<a≤3 时,f(3)=6-a+a,由 f(3)<5 得 2 <a≤3. ?1+ 5 5+ 21? 综上,a 的取值范围是? , 2 ?. ? 2 ? 6.(2014· 沈阳模拟)已知关于 x 的不等式|ax-2|+|ax-a|≥2(a>0). (1)当 a=1 时,求此不等式的解集; (2)若此不等式的解集为 R,求实数 a 的取值范围. 解 (1)当 a=1 时,不等式为|x-2|+|x-1|≥2,

由绝对值的几何意义知,不等式的意义可解释为数轴上的点 x 到点 1、2 的距 离之和大于等于 2.

5 1 ∴x≥2或 x≤2.
? 1 5? ∴不等式的解集为?x|x≤2或x≥2?. ? ?

注:也可用零点分段法求解. (2)∵|ax-2|+|ax-a|≥|a-2|, ∴原不等式的解集为 R 等价于|a-2|≥2, ∴a≥4 或 a≤0.又 a>0,∴a≥4. ∴实数 a 的取值范围是[4,+∞).



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