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2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第45讲空间图形的位置关系题目


第5讲
公垂线与距离等.

空间图形的位置关系

本节主要内容有空间的平面与直线的位置关系;共面直线;异面直线的定义、所成角、

A 类例题
过三棱柱任意两个顶点的直线共 15 条,其中异面直线有( )(2005 年高考· 全国卷· 理科)
(A)18 对 分析 漏. 解法一 (加法) (1

)与 A1B1 成异面直线的有 5 对,同理与 A1C1、B1C1 成异面直线 的各有 5 对;这样与上底面的三条直线成异面直线的有 15 对; (2)与 AB,AC,BC 成异面直线的有 9 对(除去与(1)重复的) ; (3)与侧棱 AA1、BB1、CC1 成异面直线的有 6 对(除去与(1) (2) 重复的) ; (4)侧面对角线之间成异面直线的有 6 对; 所以异面直线总共有 36 对,选 D. 解法二 (减法) (1)共一顶点的共面直线有 6C5=60 对; (2)侧面互相平行的直线有 6 对; (3)侧面的对角线有 3 对共面; 所以异面直线总共有C15-60-6-3=36 对,选 D.
2 2

(B)24 对

(C)30 对

(D)36 对

先考虑什么样的直线是异面直线,然后对这些异面直线适当分类,计数要不重不

C1 B1 A1

C B A

右图是正方体的平面展开图,在这个正方体 中,
① BM 与 ED 平行; ③ CN 与 BM 成 60° 角; ② CN 与 BE 是异面直线; ④ DM 与 BN 垂直.
E

N D C M

A

B F

以上四个命题中,正确命题的序号是(



A.① ② ③

B.② ④

C.③ ④

D.② ③ ④
N E F M

(2002 年高考· 上海卷· 春季) 分析 把正方体复原,然后考察命题正确与否. 解 从还原后的图可知 BM 与 ED 是异面直线,故① 不成立,而 CN∥ BE,

故② 不成立.由排除法知 C 为正确答案. 说明 △CAN 为正三角形,而 BM∥ AN,所以③ 成立.BM 在平面 ABFE 上 的射影为 BE,AF⊥ BE,所以 AF⊥ BN,又 DM∥ AF,所以④ 成立.
A

D B

C

对于四面体 ABCD,给出下列四个命题:
① 若 AB=AC,BD=CD,则 BC⊥ AD; BC⊥ AD; ③ 若 AB⊥ AC,BD⊥ CD,则 BC⊥ AD; BC⊥ AD. 其中真命题的序号是__________(写出所有真命题的序号) (2003 年高考· 河南卷) 解 如右图,则△ABC 和△DBC 是以 BC 为底边的两个等腰三角形,作 BC 中点 E,则 BC⊥ AE,BC⊥ DE,∴ BC⊥ 平面 AED,∴ BC⊥ AD,故① 真. 若② 成立, 由 AH1⊥ BC 于 H1, DH2⊥ BC 于 H2. 由△ABC≌ △ DCB 知 BH1 =CH2, 若 AB≠AC, 则 H1 与 H2 不重合. 但由 BC⊥ AD 知 BC⊥ 平面 AED, ∴ BC⊥ DE, 即 DE 为△DBC 中 BC 边上的高, ∴ 点 E 即为点 H2. 即点 H1 与点 H2 重合, 矛盾. 故 ② 不成立. 同上,若③ 成立,则由 A 作 BC 的垂线和由 D 作 BC 的垂线,垂足应该 相同, 但是由“AB⊥ AC, BD⊥ CD”, 设 AB<AC, CD<BD, 则垂足不重合. 矛盾. 故 ③ 不成立. 作 AH⊥ 平面 BCD 于 H,连接 BH 并延长交 CD 于 M.由 AB⊥ CD 知 CD⊥ 平面 AMB,故 CD⊥ BM.同理连接 CH 并延长交 BD 于 N,BD⊥ CN.故
N
B H1 H2 C D A

②若 AB = CD , AC = BD , 则

④ 若 AB⊥ CD , BD⊥ AC , 则
A

B E C

D

A

H 为△BCD 的垂心,∴ DH⊥ BC,∴ AD⊥ BC.故④ 成立. 说明 本题考察四面体中线段的基本关系, 要熟练利用线面垂直的性质 与判定.

B H M C

D

情景再现

已知直线 l⊥ 平面 α,直线 m? ? 平面 β,有下面四个命题: ① α∥ β ? l⊥ m, ② α⊥ β ? l∥ m, ③ l∥ m ?α⊥ β, ④ l⊥ m ?α∥ β. 其 中正确的两个命题是 A.① 与② D.① 与③ (1995 年高考· 全国卷· 理) 如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱的 12 条边 所在的直线中异面直线共有(
A.12 对 D.48 对

B.③ 与④

C.② 与④

)
C.36 对

B.24 对

如图,E,F 分别为正方体面 ADD1A1 和面 BCC1B1 的中心, 则 四 边 形 BFF1E 在 该 正 方 形 的 面 上 的 射 影 可 能 是 __________. (要求:把可能的图的序号都填上)


(2000 年高考· 全国卷· 理)







B 类例题

如果空间三条直线 a,b,c 两两成异面直线,那么与 a,b,c 都相交的直线有 A. 0 条 D.无穷多条
(1997 年全国高中数学联赛) 解:在 c 上任取点 A,过 a,A 和 b,A 分别作平面 α 和 β,则 α 与 β 有公共点 A 则 必有过 A 的公共直线 d.若 d 不平行于 a,b,则 d 必与 a,b 相交,则 d 为所求直线.由 于 A 可在直线 c 上任意取,故选 D. 说明 这些与 a,b,c 都相交的直线彼此异面,你能证明吗?

B.1 条

C.多于 1 的有限条

如图,正四面体 ABCD 中,E 在棱 AB 上,F 在棱 CD 上,使得 AE CF EB=FD=λ,
记 f(λ)=αλ+βλ,其中 αλ 表示 EF 与 AC 所成的角,βλ 表示 EF 与 BD 所成的角, 则 A.f(λ)在(0,+∞)单调增加 B.f(λ)在(0,+∞)单调减小 C.f(λ)在(0,1)单调增加,而在(1,+∞)单调减小 D.f(λ)在(0,+∞)为常数 (1997 年全国高中数学联赛) AE CG CF 解 过 E 作 EG∥ AC,连接 FG.故EB=GB =FD, ∴ GF∥ BD. ∠ GEF 即是 EF 与 AC 所成的角,∠ GFE 即是 EF 与 BD 所成的角, (易知∠ GEF 和 ∠ GFE 都不是钝角) ,∴ αλ+βλ=180° -∠ EGF,而∠ EGF 是直角.故选 D. 说明 本题如果单独考虑 EF 与 AC 所成的角或 EF 与 BD 所成的角都非常麻烦,用 平移的方法把这两个角表达出来并放到同一个三角形中,问题得以解决.

A E B G C F D

如图,A1B1C1-ABC 是直三棱柱,过点 A1、B、C1 的平面和平 面 ABC 的交线记作 l.判定直线 A1C1 和 l 的位置关 系,并加以证明.
(1993 年高考· 全国· 理) 解:A1C1∥ l,证明如下: ∵ 平面 A1C1B∩平面 ABC=l,且 A1C1∥ 平面 ABC, ∴ A1C1 与 l 在同一个平面 A1C1B 内,但无公共点,∴ A1C1∥ l.
C B B1 C1 A1

A

情景再现

空间有两个有一条公共边的正方形 ABCD 和 ADEF.在 BD 上取一点 M ,在 AE 上取一点 N ,并使 BM = AN ,那么 ① AD⊥ MN;② MN∥ 平面 CDE;③ MN∥ CE;④ MN,CE 异面
以上 4 个结论中不正确的结论的个数为( A.1 B.2 C.3 ) D.4

(2001 年高考· 山东卷)

已知 4 个不共面的点,在空间能作多少个平面,使各点到该 平面的距离相等? 三个平面可将空间分成几部分?
C 类例题
空间三个圆彼此相切(指两圆有一个公共点,并在这点有公共 切线),且所有三个切点是不同的.证明:这三个圆在一个球面上, 或者在一个平面内.
分析:若把过圆心并和圆所在的平面垂直的直线叫做这圆的轴,则轴上任意一点到这个 圆所有的点的距离都相等.两个相切的圆的两条轴都在通过圆的切点且和公切线垂直的平面 内.这两条轴是平行还是相交决定这两个圆在一个平面内或在一个球面上.由两个圆的情况 进而可讨论三个圆的情况.

证明:首先证明两个彼此相切的圆,或者在一个平面内,或者在一个球面上. 过两圆的圆心分别作两圆的轴 O1A1 和 O2A2,再过切点 M 作两圆的公切线 ST. ∵ST⊥O1M 或 O2M,ST⊥O1A1 或 O2A2. ∴ST 垂直于 O1A1 和 O2A2 确定的平面 P. 即 O1A1 和 O2A2 在过圆的切点 M 且和公切线垂直的平面 P 内. 当 O1A1∥O2A2 时,⊙O1 所在平面和⊙O1 所在平面重合,即两圆在一个平面内. 当 O1A1 和 O2A2 相交,设交点为 V,连接 VM,则点 V 与⊙O1 和⊙O1 圆周上任意一点的 连线长都等于 VM.因此两圆在以 V 为圆心,VM 为半径的球面上. 根据上面证明,三个圆中,每两个圆确定一个平面或确定一个球面,下面证明三对圆确 定同一个平面或确定同一个球面. 假设⊙O1 和⊙O2 所确定的球面(或平面)G1 和⊙O2 和⊙O3 所确定的球面(或平面)G2 不重合,如果两个球面(或一个球面一个平面)不重合,但它们有公共的圆,那么除了这个 圆上的点以外,它们没有其他任何公共点.因此对与 G1,G2 来说,除了⊙O3 上的点外不能 再有其他公共点\.但这是不正确的,因为 G1 和 G2 都包含了⊙O1 和⊙O2 的切点,根据条件, 这三个点不相同.所以这个点不在 O2 上.上述矛盾说明 G1 和 G2 重合.

从空间一点最多可作几条两两夹角大于 90°的射线?
分析:注意到三面角的三个面角两两之和小于四个直角,故可用三个钝角为面角做成一 个三面角进行考察. 解:做一个三个面角均为钝角的三面角 V-ABC,取 VA=VB=VC.过 A,B,C 作平面 ABC,作 VO⊥平面 ABC,垂足为 O.显然后∠AVO=∠BVO=∠CVO<90°. 取 VO 的反向延长线 VD,则四射线 VA,VB,VC,VD 两两夹角均大于 90°. 如果这样的直线至少有 5 条,设为 OA,OB,OC,OD,OE,过 O 作平面α ⊥OE,则 其余四条射线必与 OE 不在平面α 的同侧(否则该射线与 OE 所成角将小于 90°) ,而 O- ABCD 成四面角. 同理过 O 作其余四条射线中任意一条的垂面β , 则其余三条射线也必在垂面β 的另一侧. 由此可断定 O-ABCD 为凸四面角, 从而四个面角之和小于 360°, 因而这四个角中至少 有一个面角小于 90°,与题设四个面角均大于 90°矛盾. 故这样的射线最多只能引 4 条.

情景再现

直二面角 α-l-β, AB∩α=A, AB∩β=B, AB 与 α 所成角为 θ, AB 与 β 所成角为 φ. 求 π 证:θ+φ≤ . 2 空间三条直线,两两在同一平面内,求证: 这三条直线或交于同一点,或互相平行. ,AD⊥ DC,AC⊥ BD,垂足为 E.
(I)求证:BD⊥ A1C; (II)求异面直线 AD 与 BC1 所成角的大小. (2005 年高考· 北京)

习题五

已知直线 m、n 与平面 α、β,给出下列三个命题:
①若 m∥α,n∥α,则 m∥n;②若 m∥α,n⊥α,则 n⊥m;③若 m⊥α,m∥β,则?⊥ β. 其中真命题的个数是( A .0 (2005 年高考· 福建卷) 答案:C ) B.1 C.2 D.3

给出下列关于互不相同的直线 m,n,l 和平面 α,β 的四个 命题:
① m?α,l∩α=A,点 A?m,则 l 与 m 不共面; ② l、m 是异面直线,l∥ α,m∥ α,且 n⊥ l,n⊥ m,则 n⊥ α; ③ 若 l∥ α,m∥ β,α∥ β,则 l∥ m; ④ 若 l?α,m?α,l∩m=A,l∥ β,m∥ β,则 α∥ β. 其中为假命题的是( A.① B.② ) C.③ D.④

已知平面 α,β,直线 a,b,点 P,有以下四个命题
① a?α,p∈ α ? a 与 P 可以确定一个平面; ② a∥ b,b?β ? a∥ β; ③ a?α,b?α,a∥ β,b∥ β ? α∥ β; ④ a,b 是异面直线,a?α ? b⊥ α. 则正确命题的个数是( A.0 个 ) C.2 个 D.3 个

B.1 个

在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,当底面四边形 ABCD 满 足条件__________时,有 A1C⊥ B1D1(注:填上你认为正确 的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)
(1998 年· 全国· 理)

已知平面 α,β 所成的二面角为 80° ,P 为 α、β 外一定点, 过点 P 的一条直线与 α、β 所成的角都是 30° ,则这样的直线 有且仅有(
A.1 条

) (2004 年高考· 湖北卷· 理)
B.2 条 C.3 条 D.4 条

已知平面 α 与平面 β 相交,直线 a?α,则(
A.一定存在直线 b?β,使 b∥ a C.β 内一定不存在与 a 平行的直线



B.一定存在直线 b?β,使 b⊥ a D.β 内一定不存在与 a 垂直的直线.

a、b 异面,P?a 且 P?b.下列结论
① 过 P 存在平面与 a、b 均平行 ③ 过 P 存在平面与 a、b 成等角 中一定正确的有( A.0 个 ) B.1 个 C.2 个 D.3 个 ② 过 P 存在平面与 a、b 均垂直 ④ 过 P 存在直线与 a、b 均垂直

正四棱台 ABCD-A1B1C1D1 中,A1D1 所在的直线与 BB1 所 在的直线是
A.相交直线 B.平行直线

C.不互相垂直的异面直线 (1988 年高考)

D.互相垂直的异面直线

如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的 12 条直线中异面直线共有(
A.12 对 (1991 年高考) B.24 对


C.36 对 D.48 对

已知 a、b 为不垂直的异面直线,α 是一个平面,则 a、b 在 α 上的射影有可能是
在一面结论中,正确结论的编号是


(写出所有正确结论的编号)

① 两条平行直线;② 两条互相垂直的直线;③ 同一条直线.④ 一条直线及其外一点

(2004 年高考· 山东山西河南河北江西安徽卷) 如果三棱锥 S—ABC 的底面是不等边三角形,侧面与底面所成 的二面角都相等,且顶点 S 在底面的射影 O 在△ ABC 内,那 么 O 是△ABC 的(
A.垂心 (1991 年高考) B.重心


C.外心 D.内心

正方体 AC1 的棱长为 1,O 是上底面 ABCD 的中心,求异面 直线 OB1 与 BC 的距离.

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第5讲
情景再现

空间图形的位置关系答案

1. 2.

D B ②③ B 解:要使各点到该平面的距离相等,又这四点不共面,显然这四点不能在所求平面 的同侧,因此只能有下面两种情况:

3.
4. 5.

(1)三个点在所求平面同一侧,第四个点在另一侧. 设 A,B,C 三点在一侧,D 点在另一侧.作 DP⊥平面 ABC,P 为垂足.再过 DP 中点作平 面α ∥平面 ABC,则平面α 即为所求平面之一.同理可知,这样的平面还有三个.故满足条件 的平面有 4 个. (2)两点在所求平面的一侧,另两点在所求平面的另一侧. 设 A,B 在所求平面同一侧,C,D 在另一侧.因为 A,B,C,D 不共面,故线段 AB 和 CD 是异面直线. 过 AB 和 CD 公垂线段的中点作与公垂线段垂直的垂面β , 则此平面为所求平面. 同 理可知,这样的平面还有两个,故满足条件的平面有 3 个. 综上所述,所求平面共有 7 个. 6. 解:设三个平面分别为 P,Q,R.先考虑 P,Q 的位置关系.
? A

(1) 平面 P 与 Q 相交, 此时 P, Q 将空间分成 4 部分. 考虑 R 与 P, Q 的位置关系. a) 平面 R 与平面 P 和 Q 及 P,Q 交线都相交,此时 R 将 P,Q 所分四部分空间各分为两部分,因此 P,Q,R 将空间分为 8 部分; b)
D

C B

?

当平面 R 与平面 P,Q 相交,且过平面 P,Q 的交线.则 P,Q,R 将空间分为 6 部分;

c)

当平面 R 与平面 P,Q 相交,且与平面 P,Q 的交线平行.则 P,Q,R 将空间 分为 7 部分.

d)

当平面 R 与平面 P,Q 之一平行,则 P,Q,R 将空间分为 6 部分.

(2) 平面 P 与 Q 平行,此时 P,Q 将空间分为 3 部分. a) b) 平面 R 与平面 P,Q 都相交,此时 P,Q,R 将空间分为 6 部分; 平面 R 与平面 P,Q 都平行,此时 P,Q,R 将空间分为 3 部分.

7.

证明:过 A 作 AC⊥l 于 C,过 B 作 BD⊥l 于 D.

π (1)若 CD 重合,则 θ+φ= . 2 BD AC (2)若 C、D 不重合,则 sinθ=sin∠ BAD=AB,sinφ=sin∠ ABC=AB, AD AC sin∠ABD=AB>AB,故∠ABD>φ. π θ+φ<∠ABD+∠BAD= 2 8. 证明:设三条直线为 AB,CD 和 EF.根据题意,AB,CD 在同一平面内,它们或相 交或平行. 如果 AB∥CD,则分别过 AB,EF 和 CD,EF 的两个平面的交线 EF 平行于 AB 和 CD, 即 AB∥CD∥EF.如果 AB∩CD=O,则 O 在 AB 与 EF 确定的平面内,又在 CD 与

习题五
9. C

10. 答案:C 11. A 12. 答案:AC⊥BD 或任何能推导出这个条件的其他条件. 13. D 14. B 15. D 16. C 17. B 18. ①②④ 19. 答案:D 20. 分析一:利用线面距离转化为求 Rt△B1BE 斜边上的高. 解法一:过 O 作 OE∥BC,连接 B1E,B1O,则平面 OB1E∥BC. 故 BC 上任意点到平面 OB1E 的距离等于异面直线 OB1 与 BC 的距 离. 作 BF⊥B1E 于 F. ∵平面 OB1E⊥平面 ABB1,∴BF 就是 B 到平面 OB1E 的距离. BE·BB1 5 5 BF= B E = 5 .故异面直线 OB1 与 BC 的距离为 5 . 1
A1 D1 B1 C1 D A E F O B C

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