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2015圆锥曲线高考数学真题


2015 圆锥曲线高考数学真题
1. (15 年新课标 2 文科) 已知椭圆 C : C 上. (I)求 C 的方程; (II)直线 l 不经过原点 O,且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 中点为 M,证明: 直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率乘积为定值. 【答案】(I)

x2 y 2 2 ? 2 ? 1? a ? b

? 0 ? 的离心率为 ,点 2, 2 在 2 a b 2

?

?

x2 y 2 ? ? 1 (II)见试题解析 82 42

考点:直线与椭圆

x2 y 2 5 2. (15 年天津文科) 已知椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的上顶点为 B,左焦点为 F ,离心率为 , a b 5
(I)求直线 BF 的斜率;
1

(II)设直线 BF 与椭圆交于点 P(P 异于点 B),故点 B 且垂直于 BF 的直线与椭圆交于点 Q (Q 异于点 B)直线 PQ 与 x 轴交于点 M, |PM |=l |MQ| . (i)求 l 的值; (ii)若 |PM |sin?BQP =

7 5 ,求椭圆的方程. 9

【答案】 (I)2; (II) (i) 【解析】 试题分析: (I)先由

x2 y2 7 ? ? 1. ; (ii) 8 5 4

c 5 ? a 5

及 a 2 ? b2 ? c 2 , 得 a ? 5c, b ? 2c , 直 线 BF 的 斜 率

k?

b?0 b ? ?2; (II)先把直线 BF,BQ 的方程与椭圆方程联立,求出点 P,Q 横坐标,可得 0 ? ? ?c ? c
PM MQ
? xM ? xP xQ ? xM ? 7 ? . xQ 8 xP
( ii ) 先 由

??

|PM |sin?BQP =

7 5 9



15 BP =|PQ|sin?BQP = |PM |sin? BQP 7
试题解析: (I) F ? ?c,0 ? ,由已知

x2 y2 5 5 ? ? 1. ,由此求出 c=1,故椭圆方程为 5 4 3

c 5 及 a 2 ? b2 ? c 2 , 可得 a ? 5c, b ? 2c ,又因为 ? a 5

B ? 0, b ? ,故直线 BF 的斜率 k ?

b?0 b ? ?2 . 0 ? ? ?c ? c

(II)设点 P ? xP , yP ? , Q xQ , yQ , M ? xM , yM ?

?

?

x2 y2 ,(i)由(I)可得椭圆方程为 2 ? 2 ? 1, 5c 4c
5c .因为 3

2 直线 BF 的方程为 y ? 2 x ? 2c ,两方程联立消去 y 得 3x ? 5cx ? 0, 解得 xP ? ?

1 BQ ? BP ,所以直线 BQ 方程为 y ? ? x ? 2c ,与椭圆方程联立消去 y 得 21x 2 ? 40cx ? 0 , 2
解得 xQ ?

xM ? x P x PM 7 40c ? P ? . .又因为 ? ? ,及 xM ? 0 得 ? ? 21 xQ ? xM xQ 8 MQ

( ii ) 由 ( i ) 得

PM MQ

?

PM 15 7 7 7 PM ,所以 ? ? , 即 PQ ? 7 8 PM ? MQ 7 ? 8 15
5 5 . 3

,又因为

|PM |sin?BQP =

7 5 15 ,所以 BP =|PQ|sin?BQP = |PM |sin? BQP 9 7

2

5c ? ? 4c ? 5 5 4 ? c ,因此 又 因 为 yP ? 2 xP ? 2c ? ? c , 所 以 BP ? ? 0 ? ? ? ? 2c ? ? ? 3 3? ? 3 ? 3 ?

2

2

x2 y2 5 5 5 5 ? 1. c? , c ? 1 , 所以椭圆方程为 ? 5 4 3 3
考点:直线与椭圆. 3.(15 北京理科)已知椭圆 C :
2 x2 y 2 1? 和点 ,点 P ? 0 , ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 的离心率为 2 2 a b

A? m , n ? ? m ≠ 0 ? 都在椭圆 C 上,直线 PA 交 x 轴于点 M .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程,并求点 M 的坐标(用 m , n 表示) ; (Ⅱ)设 O 为原点,点 B 与点 A 关于 x 轴对称,直线 PB 交 x 轴于点 N .问: y 轴上是 否存在点 Q ,使得 ?OQM ? ?ONQ ?若存在,求点 Q 的坐标;若不存在,说明理由. 【答案】 【解析】 试题分析:椭圆 C :
2 x2 y 2 1? 在椭圆上,利用 ,点 P ? 0 , ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 的离心率为 2 2 a b
2

条件列方程组,解出待定系数 a

1? 和点 ? 2,b 2 ? 1 ,写出椭圆方程;由点 P ? 0 ,

A? m , n ? ? m ≠ 0 ? ,写出 PA 直线方程,令 y ? 0 求出 x 值,写出直线与 x 轴交点坐标;
由点 P(0,1),B(m ,?n ),写出直线 PB 的方程,令 y ? 0 求出 x 值,写出点 N 的坐标, 设 Q(0,y 0 ),? ?OQM ? ?ONQ ,? tan ?OQM ? tan ?ONQ 求出 tan ?OQM 和

tan ?ONQ ,利用二者相等,求出 y 0 ? ? 2 ,则存在点 Q( 0, ?
?OQM ? ?ONQ .

使得 2)

试题解析: (Ⅰ)由于椭圆 C :

2 x2 y 2 1? 且离心率为 , ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 过点 P ? 0 , 2 2 a b

1

b2

? 1,b 2 ? 1, e 2 ?

c2 a2 ? b 2 1 1 ? ? 1 ? 2 ? , a 2 ? 2 ,椭圆 C 的方程为 2 2 2 a a a

x2
2

? y 2 ? 1.

? P(0,1),A(m ,n ),直线 PA 的方程为: y ?

n ?1 m x ? 1 ,令 y ? 0,x ? , m 1?n

3

? M( ,0); 1?n

m

考点:1.求椭圆方程;2.求直线方程及与坐标轴的交点;3.存在性问题. 4. (15 北京文科) 已知椭圆 C : x ? 3 y ? 3 , 过点 D ?1, 0 ? 且不过点 ? ? 2,1? 的直线与椭圆 C
2 2

交于 ? , ? 两点,直线 ?? 与直线 x ? 3 交于点 ? . (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)若 ?? 垂直于 x 轴,求直线 ?? 的斜率; (Ⅲ)试判断直线 ?? 与直线 D? 的位置关系,并说明理由. 【答案】 (1) 【解析】 试题分析:本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系等 基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,先将椭圆 方程化为标准方程,得到 a,b,c 的值,再利用 e ?

6 ; (2)1; (3)直线 BM 与直线 DE 平行. 3

c 计算离心率;第二问,由直线 AB 的 a

特殊位置,设出 A,B 点坐标,设出直线 AE 的方程,由于直线 AE 与 x=3 相交于 M 点,所以

4

得到 M 点坐标,利用点 B、点 M 的坐标,求直线 BM 的斜率;第三问,分直线 AB 的斜率存 在和不存在两种情况进行讨论,第一种情况,直接分析即可得出结论,第二种情况,先设出 直线 AB 和直线 AE 的方程,将椭圆方程与直线 AB 的方程联立,消参,得到 x1 ? x2 和 x1 x2 , 代入到 k BM ? 1 中,只需计算出等于 0 即可证明 k BM ? k DE ,即两直线平行.

试题解析: (Ⅰ)椭圆 C 的标准方程为 所以 a ? 3 , b ? 1 , c ? 所以椭圆 C 的离心率 e ?

x2 ? y2 ? 1. 3

2.

c 6 . ? a 3

(Ⅱ)因为 AB 过点 D (1, 0) 且垂直于 x 轴,所以可设 A(1, y1 ) , B (1, ? y1 ) . 直线 AE 的方程为 y ? 1 ? (1 ? y1 )( x ? 2) . 令 x ? 3 ,得 M (3, 2 ? y1 ) . 所以直线 BM 的斜率 k BM ?

2 ? y1 ? y1 ? 1. 3 ?1

(Ⅲ)直线 BM 与直线 DE 平行.证明如下: 当直线 AB 的斜率不存在时,由(Ⅱ)可知 k BM ? 1 . 又因为直线 DE 的斜率 k DE ?

1? 0 ? 1 ,所以 BM / / DE . 2 ?1

当直线 AB 的斜率存在时,设其方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 1) . 设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,则直线 AE 的方程为 y ? 1 ?

y1 ? 1 ( x ? 2) . x1 ? 2

令 x ? 3 ,得点 M (3,

y1 ? x1 ? 3 ). x1 ? 2

? x2 ? 3 y 2 ? 3 2 2 2 2 由? ,得 (1 ? 3k ) x ? 6k x ? 3k ? 3 ? 0 . ? y ? k ( x ? 1)
6k 2 3k 2 ? 3 所以 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? . 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

5

考点:椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系. 5.(15 年广东理科)已知过原点的动直线 l 与圆 C1 : x2 + y 2 - 6x + 5 = 0 相交于不同的两 点 A,B. (1)求圆 C1 的圆心坐标; (2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程; (3 ) 是否存在实数 k , 使得直线 L : y = k ( x - 4) 与曲线 C 只有一个交点: 若存在, 求出 k 的取值范围;若不存在,说明理由.
2 3? 9?5 ? 3 3? ? 2 5 2 5 ? ? ? 【答案】 (1)? 3,0 ? ; (2)? x ? ? ? y 2 ? ? ? x ? 3 ? ; (3)k ? ?? , ? ? ?? , ?. 2? 4? 3 7 ? ? ? ? 4 4? ? 7

【解析】 (1)由 x2 ? y 2 ? 6x ? 5 ? 0 得 ? x ? 3? ? y 2 ? 4 ,
2

∴ 圆 C1 的圆心坐标为 ? 3,0 ? ; (2)设 M ? x, y ? ,则 ∵ 点 M 为弦 AB 中点即 C1M ? AB , ∴ kC1M ? k AB ? ?1 即

y y ? ? ?1 , x ?3 x
6

∴ 线段 AB 的中点 M 的轨迹的方程为 ? x ? ? ? y 2 ?

? ?

3? 2?

2

9?5 ? ? ? x ? 3? ; 4? 3 ?

(3) 由 (2) 知点 M 的轨迹是以 C ? ,0 ? 为圆心 r ?

?3 ?2

? ?

3 为半径的部分圆弧 EF(如下图所示, 2

不包括两端点) ,且 E ? ,

?5 2 5 ? ?5 2 5 ? ,F ? , ? ? ? ,又直线 L : y ? k ? x ? 4? 过定点 D ? 4,0 ? , ?3 3 ? ?3 3 ? ? ? ? ?
L

当 直 线 L 与 圆 C

相 切 时 , 由

?3 ? k ? ? 4? ? 0 ?2 ? k ?1
2 2

y

?

3 3 得 k?? , 又 2 4
E

k DE ? ?k DF

? 2 5? 0??? ? D 3 ? 2 5 ? 3 3? ? 2 5 2 5 ? ? ?? ? , 结合上图可知当 k ? ?? , ? ? ?? , ? 时,直 5 O? 4 4 C? ? 7 7 7 ? x 4? 3
F

线 L : y ? k ? x ? 4? 与曲线 C 只有一个交点. 【考点定位】本题考查圆的标准方程、轨迹方程、直线斜率等知识与数形结合思想等应用, 属于中高档题. 6.(15 年安徽理科)设椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,点 O 为坐标原点,点 A 的 a 2 b2

坐标为 ? a, 0? ,点 B 的坐标为 ? 0, b? ,点 M 在线段 AB 上,满足 BM ? 2 MA ,直线 OM

的斜率为

5 . 10

(I)求 E 的离心率 e; (II)设点 C 的坐标为 ? 0, ? b? ,N 为线段 AC 的中点,点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标 为

7 ,求 E 的方程. 2

x2 y2 7.(15 年安徽文科)设椭圆 E 的方程为 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0), 点 O 为坐标原点,点 A 的坐 a b
标为 ( a , 0) ,点 B 的坐标为(0,b),点 M 在线段 AB 上,满足 BM ? 2 MA , 直线 OM 的斜

7

率为

5 。 10

[学优高考网]

(1)求 E 的离心率 e; (2)设点 C 的坐标为(0,-b),N 为线段 AC 的中点,证明:MN ? AB。 【答案】 (1)

2 5 (2)详见解析. 5

1 b 5 b2 1 a2 ? c2 1 c2 4 2 5 3 ∴ = ? 2 ? ? ? ? 2 ? ?e? 2 2 a 5 a 5 a 5 5 a 10 3 a b (Ⅱ)由题意可知 N 点的坐标为( ,? ) 2 2 1 1 5b b? b 3 2 ? 6 ? 5b ∴ K MN ? 2 a a a a? 3 2 6 b K AB ? ?a
∴ K MN ? K AB ? ? ∴MN⊥AB 考点:1 椭圆的离心率;2.直线与椭圆的位置关系.

5b 2 ? ?1 a2

8

x2 y 2 2 8.(15 年福建理科)已知椭圆 E: 2 + 2 = 1(a > b > 0) 过点 (0, 2) ,且离心率为 . a b 2
(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设直线 x = my - 1 ,(m ? R)交椭圆 E 于 A,B 两点,判断点 G (- ,0)与以线段 AB 为 直径的圆的位置关系,并说明理由.

9 4

9 x2 y 2 + = 1 ;(Ⅱ) G (- ,0)在以 AB 为直径的圆外. 【答案】(Ⅰ) 4 4 2

G 在圆上.
试题解析:解法一:(Ⅰ)由已知得

ì b = 2, ? ì a =2 ? ? 2 ? ? c 解得 = , íb= 2 í 2 ? ? a ? ? a 2 = b2 + c 2 , ?c= 2 ? ?
所以椭圆 E 的方程为

x2 y 2 + =1 . 4 2

9



|AB|2 5 25 5m2 3(m2 +1) 25 17m2 + 2 2 |GH| = my0 + (m +1) y1 y2 + = + = >0 4 2 16 2(m2 + 2) m2 + 2 16 16(m2 + 2)
2

所以 |GH|>

|AB| 9 ,故 G (- ,0)在以 AB 为直径的圆外. 4 2 ???? 9 4 ??? ? 9 4

解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)设点 A( x1 y1 ), B( x2 , y2 ), ,则 GA = ( x1 + , y1 ), GB = ( x2 + , y2 ).

ì x = my - 1 ? 2m 3 由 í x2 y 2 得(m2 + 2) y 2 - 2my - 3 = 0, 所以 y1 + y 2 = 2 , y1 y 2 = 2 , m +2 m +2 ? + =1 ? ? 4 2 ???? ??? ? 9 9 5 5 GB = ( x1 + )( x2 + ) + y1 y2 = (my1 + )(my 2 + ) + y1 y2 从而 GA ? 4 4 4 4

17m2 + 2 5 25 5m2 3(m2 +1) 25 = (m2 +1) y1 y2 + m( y1 + y2 ) + = + = >0 16(m2 + 2) 4 16 2(m2 + 2) m2 + 2 16
所以 cos狁 GA,GB > 0, 又GA, GB 不共线,所以 ?AGB 为锐角. 故点 G (- ,0)在以 AB 为直径的圆外. 考点:1、椭圆的标准方程;2、直线和椭圆的位置关系;3、点和圆的位置关系. 9. (15 年福建文科) 已知点 F 为抛物线 E : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点, 点 A(2, m) 在抛物线 E
2

???? ??? ?
9 4

???? ??? ?

上,且 AF ? 3 .

10

(Ⅰ)求抛物线 E 的方程; (Ⅱ) 已知点 G(?1, 0) , 延长 AF 交抛物线 E 于点 B , 证明: 以点 F 为圆心且与直线 GA 相 切的圆,必与直线 GB 相切.

【答案】 (Ⅰ) y 2 ? 4 x ; (Ⅱ)详见解析. 【解析】 试题分析: (Ⅰ)利用抛物线定义,将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离相互转化.本 题由 AF ? 3 可得 2 ?

p ? 3 ,可求 p 的值,进而确定抛物线方程; (Ⅱ)欲证明以点 F 为 2

圆心且与直线 GA 相切的圆,必与直线 GB 相切.可证明点 F 到直线 GA 和直线 GB 的距离 相等(此时需确定两条直线方程) ;也可以证明 ??GF ? ??GF ,可转化为证明两条直线 的斜率互为相反数. 试题解析:解法一: (I)由抛物线的定义得 ?F ? 2 ? 因为 ?F ? 3 ,即 2 ?

p . 2

p ? 3 ,解得 p ? 2 ,所以抛物线 ? 的方程为 y 2 ? 4x . 2

(II)因为点 ? ? 2, m? 在抛物线 ? : y 2 ? 4 x 上, 所以 m ? ?2 2 ,由抛物线的对称性,不妨设 ? 2, 2 2 . 由 ? 2, 2 2 , F ?1,0? 可得直线 ?F 的方程为 y ? 2 2 ? x ?1? . 由?

?

?

?

?

? y ? 2 2 ? x ? 1? ? ? ? y ? 4x
2

,得 2 x ? 5 x ? 2 ? 0 ,
2

11

解得 x ? 2 或 x ? 又 G ? ?1,0? , 所以 kG? ?

1 ?1 ? ,从而 ? ? , ? 2 ? . 2 ?2 ?

? 2 ?0 2 2 2 2 ?0 2 2 ?? , kG? ? , ? 1 3 2 ? ? ?1? 3 ? ? ?1? 2

所以 kG? ? kG? ? 0 ,从而 ??GF ? ??GF ,这表明点 F 到直线 G ? , G ? 的距离相等, 故以 F 为圆心且与直线 G ? 相切的圆必与直线 G ? 相切. 解法二: (I)同解法一. (II)设以点 F 为圆心且与直线 G ? 相切的圆的半径为 r . 因为点 ? ? 2, m? 在抛物线 ? : y 2 ? 4 x 上, 所以 m ? ?2 2 ,由抛物线的对称性,不妨设 ? 2, 2 2 .

?

?

由 ? 2, 2 2 , F ?1,0? 可得直线 ?F 的方程为 y ? 2 2 ? x ?1? . 由?

?

?

? ? y ? 2 2 ? x ? 1? ? ? y ? 4x
2

,得 2 x ? 5 x ? 2 ? 0 ,
2

解得 x ? 2 或 x ?

1 ?1 ? ,从而 ? ? , ? 2 ? . 2 ?2 ?

又 G ? ?1,0? ,故直线 G ? 的方程为 2 2x ? 3 y ? 2 2 ? 0 , 从而 r ?

2 2 ?2 2 8?9

?

4 2 . 17

又直线 G ? 的方程为 2 2x ? 3 y ? 2 2 ? 0 , 所以点 F 到直线 G ? 的距离 d ?

2 2?2 2 8?9

?

4 2 ?r. 17
12

这表明以点 F 为圆心且与直线 G ? 相切的圆必与直线 G ? 相切. 考点:1、抛物线标准方程;2、直线和圆的位置关系. 10.(15 年新课标 2 理科)已知椭圆 C:9 x2 ? y 2 ? m2 (m ? 0) ,直线 l 不过原点 O 且不平 行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M。 (1)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值;

m (2)若 l 过点 ( , m) ,延长线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否为平行四边形? 3 若能,求此时 l 的斜率;若不能,说明理由。
11.(15 年陕西理科)已知椭圆 ? : 两点

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的半焦距为 c ,原点 ? 到经过 a 2 b2

(I)求椭圆 ? 的离心率;

? c,0? , ? 0, b ? 的直线的距离为 2 c .
2 2

1

(II)如图, ?? 是圆 ? : ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 求椭圆 ? 的方 程.

5 的一条直径,若椭圆 ? 经过 ? , ? 两点, 2

x2 y 2 3 ? ? 1. 【答案】 (I) ; (II) 12 3 2
【解析】 试题分析: (I)先写过点 ? c,0 ? , ? 0, b ? 的直线方程,再计算原点 ? 到该直线的距离,进而 可得椭圆 ? 的离心率; (II) 先由 (I) 知椭圆 ? 的方程, 设 ?? 的方程, 联立 ?

? ? y ? k ? x ? 2? ? 1 , 2 2 2 ? ? x ? 4 y ? 4b
2

消去 y ,可得 x1 ? x2 和 x1 x2 的值,进而可得 k ,再利用 ?? ? 10 可得 b 的值,进而可得 椭圆 ? 的方程. 试题解析: (I)过点(c,0),(0,b)的直线方程为 bx + cy - bc = 0 , 则原点 O 到直线的距离 d ?

bc b ?c
2 2

?

bc , a

13

由d =

1 c 3 c ,得 a = 2b = 2 a2 - c2 ,解得离心率 = . 2 a 2
(1)

(II)解法一:由(I)知,椭圆 E 的方程为 x2 + 4 y 2 = 4b2 . 依题意,圆心 M(-2,1)是线段 AB 的中点,且 | AB|= 10 . 易知,AB 不与 x 轴垂直,设其直线方程为 y = k ( x + 2) +1 ,代入(1)得

(1 + 4k 2 ) x2 +8k (2k +1) x + 4(2k +1)2 - 4b2 = 0
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 x1 + x2 = 由 x1 + x2 = - 4 ,得 从而 x1 x2 = 8 - 2b2 .

8k (2k +1) 4(2k +1) 2 - 4b 2 , x x = . 1 2 1 + 4k 2 1 + 4k 2

8k (2k +1) 1 = - 4, 解得 k = . 2 2 1 + 4k

5 ?1? 于是 | AB |? 1 ? ? ? | x1 ? x2 |? 2 ?2?

2

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ? 10(b 2 ? 2) .

2 2 由 | AB|= 10 ,得 10(b - 2) = 10 ,解得 b = 3 .

故椭圆 E 的方程为

x2 y 2 + =1 . 12 3
2 2 2

解法二:由(I)知,椭圆 E 的方程为 x + 4 y = 4b . 依题意,点 A,B 关于圆心 M(-2,1)对称,且 | AB|= 10 . 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 x12 + 4 y12 = 4b2 , x22 + 4 y22 = 4b2 ,

(2)

两式相减并结合 x1 + x2 = - 4, y1 + y2 = 2, 得 -4( x1 - x2 ) +8 y1 - y2 = 0 . 易知,AB 不与 x 轴垂直,则 x1 ? x2 ,所以 AB 的斜率 k AB = 因此 AB 直线方程为 y =

(

)

y1 - y2 1 = . x1 - x2 2

1 ( x + 2) +1 ,代入(2)得 x2 + 4 x +8 - 2b2 = 0. 2
2

所以 x1 + x2 = - 4 , x1 x2 = 8 - 2b .

5 ?1? 于是 | AB |? 1 ? ? ? | x1 ? x2 |? 2 ?2?

2

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ? 10(b 2 ? 2) .

14

2 2 由 | AB|= 10 ,得 10(b - 2) = 10 ,解得 b = 3 .

故椭圆 E 的方程为

x2 y 2 + =1 . 12 3

考点:1、直线方程;2、点到直线的距离公式;3、椭圆的简单几何性质;4、椭圆的方程; 5、圆的方程;6、直线与圆的位置关系;7、直线与圆锥曲线的位置.

x2 y2 12.(15 年陕西文科)如图,椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 A(0, ?1) ,且离心率 a b


2 . 2
(I)求椭圆 E 的方程; (II)经过点 (1,1) ,且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同两点 P, Q (均异于点 A ) ,证明:

直线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2.

【答案】(I) 【解析】

x2 ? y 2 ? 1 ; (II)证明略,详见解析. 2

试题分析:(I)由题意知

c 2 ? , b ? 1 ,由 a 2 ? b2 ? c2 ,解得 a ? 2 ,继而得椭圆的方程 a 2



x2 ? y2 ? 1 ; 2

(II) 设 P ? x1 y1 ? , Q ? x2 y2 ? , x1 x2 ? 0 由题设知,直线 PQ 的方程为 y ? k ( x ? 1) ? 1(k ? 2) , 代入

x2 ? y2 ? 1 2
x1 ? x2 ?









(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k (k ? 1) x ? 2k (k ? 2) ? 0





4k (k ? 1) 2k ( k ? 2) , x1 x2 ? , 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2
15







??0









线

AP



AQ











k AP ? k AQ ?

y1 ? 1 y2 ? 1 kx1 ? 2 ? k kx2 ? 2 ? k ? ? ? x1 x2 x1 x1 x1 ? x2 4k (k ? 1) ? 2k ? ? 2 ? k ? ? 2k ? (2k ? 1) ? 2 . 2k (k ? 2) x1 x2

化简得 k AP ? k AQ ? 2k ? (2 ? k )

试题解析:(I)由题意知
2 2 2

c 2 ? ,b ? 1, a 2

综合 a ? b ? c ,解得 a ? 所以,椭圆的方程为

2,

x2 ? y2 ? 1 . 2 x2 ? y 2 ? 1 ,得 2

(II)由题设知,直线 PQ 的方程为 y ? k ( x ? 1) ? 1(k ? 2) ,代入

(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k (k ? 1) x ? 2k (k ? 2) ? 0 ,
由已知 ? ? 0 ,设 P ? x1 y1 ? , Q ? x2 y2 ? , x1 x2 ? 0 则 x1 ? x2 ?

4k (k ? 1) 2k ( k ? 2) , x1 x2 ? , 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

从而直线 AP 与 AQ 的斜率之和

k AP ? k AQ ?

y1 ? 1 y2 ? 1 kx1 ? 2 ? k kx2 ? 2 ? k ? ? ? x1 x2 x1 x1

?1 1? x ? x2 ? 2k ? (2 ? k ) ? ? ? ? 2k ? (2 ? k ) 1 x1 x2 ? x1 x2 ?

? 2k ? ? 2 ? k ?

4k (k ? 1) ? 2k ? (2k ? 1) ? 2 . 2k (k ? 2)

考点:1.椭圆的标准方程;2.圆锥曲线的定值问题. 13.(15 年天津理科)已知椭圆

x2 y 2 3 + 2 =1(a > b > 0) 的左焦点为 F(-c,0) ,离心率为 , 2 a b 3
2 2

b4 4 3 |FM|= 点 M 在椭圆上且位于第一象限, 直线 FM 被圆 x +y = 截得的线段的长为 c, . 4 3
(I)求直线 FM 的斜率;
16

(II)求椭圆的方程; (III)设动点 P 在椭圆上,若直线 FP 的斜率大于 2 ,求直线 OP(O 为原点)的斜率的取 值范围. 【答案】(I) 【解析】 试题分析:(I) 由椭圆知识先求出 a , b, c 的关系,设直线直线 FM 的方程为 y ? k ( x ? c) ,

? 2 3? ? 2 2 3? x2 y2 3 , ? ? 1 ;(III) ? ??, ? ; (II) ??? ?. 3 ? ? 3 3 ? 3 2 3 ?

求出圆心到直线的距离, 由勾股定理可求斜率 k 的值; (II)由(I)设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1, 3c 2 2c 2

直线与椭圆方程联立, 求出点 M 的坐标, 由 FM ?

4 3 可求出 c , 从而可求椭圆方程.(III) 3

设出直线 FP : y ? t ( x ? 1) ,与椭圆方程联立,求得 t ? 即可求直线 OP 的斜率的取值范围. 试题解析:(I) 由已知有

6 ? 2 x2 ? 2 ,求出 x 的范围, 3( x ? 1)2

c2 1 ? ,又由 a 2 ? b2 ? c2 ,可得 a 2 ? 3c 2 , b2 ? 2c 2 , 2 a 3

设直线 FM 的斜率为 k (k ? 0) ,则直线 FM 的方程为 y ? k ( x ? c) ,由已知有

? kc ? ? c ? ? b ? 3 . ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ,解得 k ? 3 ? k ?1 ? ? 2 ? ? 2 ?

2

2

2

x2 y2 (II)由(I)得椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ,直线 FM 的方程为 y ? k ( x ? c) ,两个方程联立,消 3c 2c
去 y ,整理得

5 3x 2 ? 2cx ? 5c 2 ? 0 ,解得 x ? ? c 或 x ? c ,因为点 M 在第一象限,可得 M 的坐标为 3

? 2 3 ? ?2 3 ? 4 3 c ? ,由 FM ? (c ? c)2 ? ? ,解得 c ? 1 ,所以椭圆方程为 c ? 0? ? ? c, 3 ? 3 ? ? 3 ?

2

x2 y2 ? ?1 3 2
(III)设点 P 的坐标为 ( x, y ) ,直线 FP 的斜率为 t ,得 t ?

y x ?1 ) ( x ? ?1 ) , ,即 y ? t ( x ?1

17

? y ? t ( x ? 1) ? 与椭圆方程联立 ? x 2 y 2 ,消去 y ,整理得 2 x2 ? 3t 2 ( x ? 1)2 ? 6 ,又由已知,得 ? ?1 ? 2 ?3

t?
?

6 ? 2 x2 ? 2 ,解得 3( x ? 1)2

3 ? x ? ? 1 或 ?1 ? x ? 0 , 2
设直线 OP 的斜率为 m ,得 m ?

y ,即 y ? mx( x ? 0) ,与椭圆方程联立,整理可得 x

m2 ?

2 2 ? . x2 3

①当 x ? ? ? , ?1? 时,有 y ? t ( x ? 1) ? 0 ,因此 m ? 0 ,于是 m ?

? 3 ? 2

? ?

2 2 ? ,得 x2 3

? 2 2 3? m?? , ? 3 3 ? ?
②当 x ? ? ?1,0? 时,有 y ? t ( x ? 1) ? 0 ,因此 m ? 0 ,于是 m ? ?

2 2 ? ,得 x2 3

? 2 3? m ? ? ??, ? ? 3 ? ?
综上,直线 OP 的斜率的取值范围是 ? ??, ?

? ?

2 3? ? 2 2 3? , ??? ? 3 ? ? 3 3 ?

考点:1.椭圆的标准方程和几何性质;2.直线和圆的位置关系;3.一元二次不等式. 14.(15 年山东理科)平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心 a 2 b2

率为

3 ,左、右焦点分别是 F1 , F2 ,以 F1 为圆心,以 3 为半径的圆与以 F2 为圆心,以 1 为 2

半径的圆相交,交点在椭圆 C 上. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

x2 y2 (Ⅱ)设椭圆 E : 2 ? 2 ? 1 ,P 为椭圆 C 上的任意一点,过点 P 的直线 y ? kx ? m 交椭 4a 4b
圆 E 于 A,B 两点,射线 PO 交椭圆 E 于点 Q. (ⅰ)求

| OQ | 的值; (ⅱ)求 ?ABQ 面积最大值. | OP |
18

3 c 3 x2 y 2 解析: ( Ⅰ ) 由 椭 圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 离 心 率 为 可知 e ? ? ,而 2 a b a 2
a 2 ? b2 ? c 2则 a ? 2b, c ? 3b ,左、右焦点分别是 F1 (? 3b,0), F2 ( 3b,0) ,
圆 F1 : ( x ? 3b)2 ? y 2 ? 9, 圆 F2 : ( x ? 3b)2 ? y 2 ? 1, 由两圆相交可得 2 ? 2 3b ? 4 ,即

交点 ( 1 ? 3b ? 2 ,
4 2

4 2 2 2 ? 在椭圆 C 上, 则 2 , ? 1? ( ) ), 3b ? 4b 2 3b 3b

1? (

2 ? 3b) 2 3b ?1, b2

2 整理得 4b ? 5b ? 1 ? 0 ,解得 b ? 1, b2 ?

1 (舍去) 4

故 b ? 1, a ? 4, 椭圆 C 的方程为
2 2

x2 ? y 2 ? 1. 4

(Ⅱ) (ⅰ)椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ?1, 16 4

设点 P( x0 , y0 ) ,满足

x0 2 y ? y0 2 ? 1 ,射线 PO : y ? 0 x( xx0 ? 0) , 4 x0

(?2 x0 ) 2 ? (?2 y0 ) 2 x2 y 2 | OQ | ? ? 1 可得点 Q(?2 x0 , ?2 y0 ) ,于是 ? ? 2. 代入 16 4 | OP | x0 2 ? y0 2
(ⅱ)点 Q(?2 x0 , ?2 y0 ) 到直线 AB 距离等于原点 O 到直线 AB 距离的 3 倍:

d?

| ?2kx0 ? 2 y0 ? m | 1? k 2

?3

|m| 1? k 2

? y ? kx ? m ? 2 2 2 2 2 2 ,得 x ? 4(kx ? m) ? 16 ,整理得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ?16 ? 0 ?x y2 ?1 ? ? ?16 4

? ? 64k 2m2 ?16(4k 2 ? 1)(m2 ? 4) ? 16(16k 2 ? 4 ? m2 ) ? 0
| AB |? 1? k 2 16(16k 2 ? 4 ? m2 ) 2 1 ? 4k

S? ? ? 6?

1 1 | m| | m | 16k 2 ? 4 ? m2 2 2 | AB | d ? ? 3 ? ? 4 16 k ? 4 ? m ? 6 2 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

m2 ? 16k 2 ? 4 ? m2 ? 12 ,当且仅当 | m |? 16k 2 ? 4 ? m2 , m2 ? 8k 2 ? 2 等号成立. 2(4k 2 ? 1)
19

而直线 y ? kx ? m 与椭圆 C:

x2 ? y 2 ? 1 有交点 P,则 4

? y ? kx ? m 有解,即 x2 ? 4(kx ? m)2 ? 4,(1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 有解, ? 2 2 ?x ? 4 y ? 4
其判别式 ?1 ? 64k 2m2 ?16(1 ? 4k 2 )(m2 ?1) ? 16(1 ? 4k 2 ? m2 ) ? 0 ,即 1 ? 4k ? m ,则
2 2

上述 m ? 8k ? 2 不成立,等号不成立,
2 2

设t ?

|m| 1 ? 4k 2
2

? (0,1] ,则 S? ? 6
2

| m | 16k 2 ? 4 ? m2 ? 6 (4 ? t )t 在 (0,1] 为增函数, 1 ? 4k 2

于是当 1 ? 4k ? m 时 S? max ? 6 (4 ?1) ?1 ? 6 3 ,故 ?ABQ 面积最大值为 12. 15.(15 年江苏)如图,在平面直角坐标 系 xOy 中,已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的离 a 2 b2

心率为

2 ,且右焦点 F 到左 2

准线 l 的距离为 3. (1)求椭圆的标准方程; (2) 过 F 的直线与椭圆交于 A, B 两点, 线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P, C,若 PC=2AB,求直线 AB 的方程.

【答案】 (1)

x2 ? y 2 ? 1(2) y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1 . 2

20

(2)当 ?? ? x 轴时, ?? ? 2 ,又 C? ? 3 ,不合题意. 当 ?? 与 x 轴不垂直时,设直线 ?? 的方程为 y ? k ? x ?1? , ? ? x1, y1 ? , ? ? x2 , y2 ? , 将 ?? 的方程代入椭圆方程,得 1 ? 2k

?

2

?x

2

? 4k 2 x ? 2 ? k 2 ? 1? ? 0 ,

则x

1,2

?

2k 2 ? 2 ?1 ? k 2 ? 1 ? 2k 2
2

? 2k 2 ?k ? , , C 的坐标为 ? 2 2 ? ,且 ? 1 ? 2k 1 ? 2 k ?
2

?? ?

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ?

?

?1 ? k ? ? x
2

2

? x1 ? ?
2

2 2 ?1 ? k 2 ? 1 ? 2k 2



若 k ? 0 ,则线段 ?? 的垂直平分线为 y 轴,与左准线平行,不合题意. 从而 k ? 0 ,故直线 ? C 的方程为 y ?

k 1? 2k 2 ? ? ? x ? ? ?, 1 ? 2k 2 k ? 1 ? 2k 2 ?

? 2 ? 3k 2 ? 1? 1 ? k 2 5k 2 ? 2 ? ? ? 则 ? 点的坐标为 ?2, ,从而 ?C ? . ? k ?1 ? 2k 2 ? ? k ?1 ? 2k 2 ? ? ?
因为 ?C ? 2 ?? ,所以

2 ? 3k 2 ? 1? 1 ? k 2 k ?1 ? 2k 2 ?

?

4 2 ?1 ? k 2 ? 1 ? 2k 2

,解得 k ? ?1 .

此时直线 ?? 方程为 y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1 . 考点:椭圆方程,直线与椭圆位置关系
21

22


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