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连续函数的运算与初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质


1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性.闭区间上连续函数的性质 一、连续函数的和、积及商的连续性 定理 1 设函数 f(x)和 g(x)在点 x0 连续? 则函数 f(x)?g(x)? f(x)?g(x)?
f ( x) g ( x)

(当 g ( x 0 ) ? 0 时)

在点 x0 也连续? f(x)?g(x)连续性的证

明? 因为 f(x)和 g(x)在点 x0 连续? 所以它们在点 x0 有定义? 从而 f(x)?g(x) 在点 x0 也有定义? 再由连续性和极限运算法则? 有
x ? x0

lim [ f ( x ) ? g ( x )] ? lim f ( x ) ? lim g ( x ) ? f ( x 0 ) ? g ( x 0 )
x ? x0 x ? x0

?

根据连续性的定义?

f(x)?g(x)在点 x0 连续?

例 1? sin x 和 cos x 都在区间(??? ??)内连续?故由定理 3 知 tan x 和 cot x 在它们的定义域内是连续的? 三角函数 sin x? cos x? sec x? csc x? tan x? cot x 在其有定义的区间内都 是连续的? 二、反函数与复合函数的连续性 定理 2 如果函数 f(x)在区间 Ix 上单调增加(或单调减少)且连续? 那么 它的反函数 x?f ?1(y)也在对应的区间 Iy ?{y|y?f(x)?x?Ix}上单调增加(或 单调减少)且连续? 证明(略)?
1

例 2? 由于 y?sin x 在区间 [ ? ?

2

, ? ] 上单调增加且连续? 2

所以它的反函

数 y?arcsin x 在区间[?1? 1]上也是单调增加且连续的? 同样?y?arccos x 在区间[?1? 1]上也是单调减少且连续? y?arctan x 在 区间(??? ??)内单调增加且连续?y?arccot x 在区间(??? ??)内单调减 少且连续? 总之? 反三角函数 arcsin x、arccos x、arctan x、arccot x 在它们的定 义域内都是连续的? 定理 3
?

设函数 y?f[g(x)]由函数 y?f(u)与函数 u?g(x)复合而成? ? 若 ? 而函数 y?f(u)在 u 0 连续? 则 ?

U ( x0 ) ? D f ? g

x ? x0

lim g ? x ) ? u 0

x ? x0

lim f [ g ? x )] ? lim f (u ) ? f (u 0 )
u ? u0

简要证明 要证?? ?0? ???0? 当 0?|x?x0|?? 时? 有|f[g(x)]?f(u0)|?? ? 因为 f(u)在 u 0 连续? 所以?? ?0? ???0? 当|u?u0|?? 时? 有|f(u)?f(u0)|?? ? 又 g(x)?u0(x?x0)? 所以对上述??0? ???0? 当 0?|x?x0|?? 时? 有 |g(x)?u0|??? 从而|f[g(x)]?f(u0)|?? ? (2)定理的结论也可写成
x ? x0

lim f [ g ( x )] ? f [ lim g ( x )] ?
x ? x0

求复合函数 f[g(x)]的

极限时? 函数符号 f 与极限号可以交换次序?
x ? x0

lim f [u ( x )] ? lim f (u )
u ? u0

表明?在定理 3 的条件下? 如果作代换 u?g(x)?那么
u ? u0



x ? x0

lim f [ g ( x )] 就转化为求 lim f (u )

? 这里 u 0 ?
2

x ? x0

lim g ( x )

?

把定理 5 中的 x?x0 换成 x??? 可得类似的定理? 例 3? 求 lim 解?
lim
x? 3 x? 3

x?3 x2 ? 9

?
x?3 ? x2 ? 9 1 6

x?3 ? x2 ? 9

lim

x? 3

?

提示?
x?3 x2 ? 9

y?

是由 y ?

u

与u ?

x?3 x2 ? 9

复合而成的?

lim

x? 3

1 x?3 ? x2 ? 9 6

? 函数 y ?

u

在点 u ? 1 连续? ?g(x0)
6

定理 4

设函数 y?f[g(x)]由函数 y?f(u)与函数 u?g(x)复合而成?

U(x0)?Df og? 若函数 u?g(x)在点 x0 连续? 函数 y?f(u)在点 u0?g(x0)连续? 则复合函数 y?f[?(x)]在点 x0 也连续? 证明? 因为?(x)在点 x0 连续? 所以 lim ?(x)??(x0)?u0?
x ? x0

又 y?f(u)在点 u?u0 连续?所以

x ? x0

l i m f[?(x)]?f(u0)?f[?(x0)]?

这就证明了复合函数 f[?(x)]在点 x0 连续? 例 4? 讨论函数 y ? sin 解? 函数 y ? sin
1 x

1 x

的连续性?
x

是由 y?sin u 及 u ? 1 复合而成的?

sin u 当??<u<??时是连续的?
1 x

当??<x<0 和 0<x<??时是连续的?
1 x

根据定理 4? 函数 sin

在无限区间(??? 0)和(0? ??)内是连续的?

三、初等函数的连续性 在基本初等函数中? 我们已经证明了三角函数及反三角函数的它们
3

的定义域内是连续的? 我们指出? 指数函数 ax (a>0? a ?1)对于一切实数 x 都有定义?且在区间 (??? ??)内是单调的和连续的? 它的值域为(0? ??)? 由定理 4? 对数函数 log ax (a>0? a ?1)作为指数函数 ax 的反函数在区 间(0? ??)内单调且连续? 幂函数 y?x? 的定义域随?的值而异? 但无论?为何值? 在区间(0? ??) 内幂函数总是有定义的?可以证明? 在区间(0? ??)内幂函数是连续的? 事实上? 设 x>0? 则 y?x?? a ? log
a

x

? 因此? 幂函数 x?可看作是由 y?au? u??logax 复合而成

的? 由此? 根据定理 6? 它在(0? ??)内是连续的?如果对于?取各种不 同值加以分别讨论? 可以证明幂函数在它的定义域内是连续的? 结论? 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的? 最后? 根据初等函数的定义? 由基本初等函数的连续性以及本节有 关定理可得下列重要结论?一切初等函数在其定义区间内都是连续 的? 所谓定义区间? 就是包含在定义域内的区间? 初等函数的连续性在求函数极限中的应用? 如果 f(x)是初等函数? 且 x0 是 f(x)的定义区间内的点? 则 lim f(x)?f(x0)?
x ? x0

例 5? 求 lim

x? 0

1? x 2

?
1? x 2

解? 初等函数 f(x)? 所以 lim
x? 0

在点 x0 ? 0 是有定义的?

1? x 2 ? 1 ? 1 ?

4

例 6? 求 lim? ln sin x ?
x? 2

解? 初等函数 f(x)?ln sin x 在点 x 0 ? 所以 lim? ln sin
x? 2

?
2

是有定义的?

x ? ln sin

?
2

?0

?

例 7? 求 lim 解?

x? 0

1? x 2 ?1 x

?

lim

x? 0

( 1 ? x 2 ? 1)( 1 ? x 2 ? 1) 1? x 2 ?1 ? lim x? 0 x x ( 1 ? x 2 ? 1)

? lim

x 1? x 2 ?1
x? 0

x? 0

?

0 ?0 2

? ?
1

例 8? 求 lim 解?
lim
x? 0

log a (1 ? x ) x

log a (1 ? x ) x

? lim log a (1 ? x ) x ? log a e ?
x? 0

1 ln a

?

例 9? 求 lim

a x ?1 x? 0 x

?

解? 令 a x ?1?t? 则 x?log a (1?t)? x ?0 时 t ?0? 于是
lim a x ?1 x? 0 x

? lim

t? 0

t ? ln a log a (1 ? t )

?

§ 10 闭区间上连续函数的性质 1? 一、最大值与最小值 最大值与最小值? 对于在区间 I 上有定义的函数 f(x)? 如果有 x0?I? 使得对于任一 x?I 都有 f(x)?f(x0 ) (f(x)?f(x0 ))? 则称 f(x0 )是函数 f(x)在区间 I 上的最大值(最小值)?
5

例如? 函数 f(x)?1?sin x 在区间[0? 2?]上有最大值 2 和最小值 0? 又如? 函数 f(x)?sgn x 在区间(??? ??)内有最大值 1 和最小值?1? 在开区间 (0? ??)内? sgn x 的最大值和最小值都是 1? 但函数 f(x)?x 在开区间(a? b)内既无最大值又无最小值? 定理 1 (最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数在该区间上一 定能取得它的最大值和最小值? 定理 1 说明? 如果函数 f(x)在闭区间[a? b]上连续? 那么至少有一点

?1?[a? b]? 使 f(?1)是 f(x)在[a? b]上的最大值? 又至少有一点? 2?[a? b]?
使 f(? 2)是 f(x)在[a? b]上的最小值? 注意? 如果函数在开区间内连续? 或函数在闭区间上有间断点? 那么 函数在该区间上就不一定有最大值或最小值? 例? 在开区间(a? b) 考察函数 y?x? 又如? 如图所示的函数在闭区间[0? 2]上无最大值和最小值?
? ? x ?1 ? y ? f ( x) ? ? 1 ?? x ? 3 ? 0 ? x ?1 x ?1 1? x ? 2

?

定理 2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界? 证明? 二、介值定理 零点? 如果 x0 使 f(x0 )?0? 则 x0 称为函数 f(x)的零点? 定理 3(零点定理)设函数 f(x)在闭区间[a? b]上连续? 且 f(a)与 f(b)
6

异号? 那么在开区间(a? b)内至少有一点??使 f(?)?0? 定理 4(介值定理)设函数 f(x)在闭区间[a? b]上连续? 且在这区间的 端点取不同的函数值 f(a)?A 及 f(b)?B? 那么? 对于 A 与 B 之间的任意一个数 C? 在开区间(a? b)内至少有一点

? ? 使得
f(?)?C ? 定理 4? (介值定理) 设函数 f(x)在闭区间[a? b]上连续? 且 f(a)?f(b)? 那 么? 对于 f(a)与 f(b)之间的任意一个数 C? 在开区间(a? b)内至少有一 点? ? 使得 f(?)?C ?

证? 设 ?(x)?f(x)?C? 则 ?(x)在闭区间[a? b]上连续? 且 ?(a)?A?C 与

?(b)?B?C 异号? 根据零点定理? 在开区间(a? b)内至少有一点? 使得 ?(?)?0 (a<?<b)?
但?(?)?f(?)?C? 因此由上式即得 f(?)?C (a<?<b)? 定理 4 的几何意义? 连续曲线弧 y?f(x)与水平直线 y?C 至少交于一 点? 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值 m 之间

的任何值?
7

例 1? 证明方程 x 3?4x 2?1?0 在区间(0? 1)内至少有一个根? 证? 函数 f(x)? x 3?4x 2?1 在闭区间[0? 1]上连续? 又 f(0)?1>0?

f(1)??2<0? 根据零点定理? 在(0? 1)内至少有一点 ? ? 使得 f(?)?0? 即
2

? 3?4?

?1?0 (0<?<1)?

这等式说明方程 x 3?4x 2?1?0 在区间(0? 1)内至少有一个根是? ?

8


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