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2014年高考集合与函数试题 第一章 集合与函数概念


第一章
一、选择题

集合与函数概念

1.已知全集 U={0,1,2}且 UA={2},则集合 A 的真子集共有( A.3 个 B.4 个 C.5 个

). D.6 个 ).

2.设集合 A={x|1<x≤2},B={ x|x<a},若 A ? B,则 a 的取值范围是( A.{a|a

≥1} B.{a|a≤1} C.{a|a≥2}

D.{a|a>2} ).

A , 3. A={x|x2+x-6=0}, B={x|mx+1=0}, 且A B ? 则 m 的取值集合是(
1? ?1 A. ? , - ? 2? ?3 1 1? ? B. ?0,- ,- ? 3 2? ?

1 1? C. ? ?0, ,- ? 3 2? ?

?1 1 ? D. ? , ? ?3 2 ?

4.设 I 为全集,集合 M,N,P 都是其子集,则图中的阴影部分表示的集合为( A.M ∩(N∪P) B.M ∩(P ∩ IN) C.P ∩( IN ∩ IM )
(第 4 题)

).

D.(M ∩N)∪(M ∩P)
y-3 ? 5.设全集 U={(x,y)| x∈R,y∈R},集合 M= ? =1? , ?( x, y )| ? x-2 ?

P={(x,y)|y≠x+1},那么 U(M∪ P)等于( A. ? C.(2,3)

). B.{(2,3)} D.{(x,y)| y=x+1} ).
x2 -1 x

6.下列四组中的 f(x),g(x),表示同一个函数的是( A.f(x)=1,g(x)=x0 C.f(x)=x2,g(x)=( x )4 7.函数 f(x)= A.y 轴对称 C.坐标原点对称 1 8.函数 f(x)= (x∈R)的值域是( 1+x2 A.(0,1) B.(0,1]

B.f(x)=x-1,g(x)=
3

D.f(x)=x3,g(x)= x9 ). B.直线 y=-x 对称 D.直线 y=x 对称 ). C.[0,1) D.[0,1]

1 -x 的图象关于( x

9.已知 f(x)在 R 上是奇函数,f(x+4)=f(x),当 x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则 f(7)=
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(

). A.-2 B.2 C.-98 D.98

10.定义在区间(-∞,+∞)的奇函数 f(x)为增函数;偶函数 g(x)在区间[0,+∞) 的图象与 f(x)的图象重合.设 a>b>0,给出下列不等式: ① f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b);② f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b); ③ f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a);④ f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a). 其中成立的是( A.① 与④ 二、填空题 11.函数 y ? x ? 1 ? x 的定义域是 . . ). B.② 与③ C.① 与③ D.② 与④

12.若 f(x)=ax+b(a>0),且 f(f(x))=4x+1,则 f(3)=

13 .已知函数 f(x) = ax + 2a - 1 在区间 [0 , 1] 上的值恒正,则实数 a 的取值范围 是 . 14.已知 I={不大于 15 的正奇数},集合 M∩N={5,15},( IM)∩( IN)={3,13}, M ∩( IN)={1,7},则 M= ,N= .

15.已知集合 A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1}且 B≠ ? ,若 A∪B=A, 则 m 的取值范围是_________. 16.设 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x∈[0,+∞)时, f(x)=x(1+x3), 那么当 x∈(-∞, 0]时,f(x)= 三、解答题 17.已知 A={x|x2-ax+a2-19=0},B={ x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0}, 且 ? (A∩B),A∩C= ? ,求 a 的值.



18.设 A 是实数集,满足若 a∈A,则

1 ∈A,a≠1 且 1 ∈ A. 1-a

(1)若 2∈A,则 A 中至少还有几个元素?求出这几个元素.

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(2)A 能否为单元素集合?请说明理由. (3)若 a∈A,证明:1-

1 ∈A. a

19.求函数 f(x)=2x2-2ax+3 在区间[-1,1]上的最小值.

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20.已知定义域为 R 的函数 f(x)= (1)求 a,b 的值;

- 2 x +b
2 x+1+a

是奇函数.

(2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围.

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参考答案
一、选择题 1.A 解析:条件 UA={2}决定了集合 A={0,1},所以 A 的真子集有 ? ,{0},{1},故正 确选项为 A. 2.D 解析:在数轴上画出集合 A,B 的示意图,极易否定 A,B.当 a=2 时,2 ∈ B,故不 满足条件 A ? B,所以,正确选项为 D. 3.C 解析:据条件 A∪B=A,得 B ? A,而 A={-3,2},所以 B 只可能是集合 ? ,{-3}, {2},所以, m 的取值集合是 C. 4.B 解析:阴影部分在集合 N 外,可否 A,D,阴影部分在集合 M 内,可否 C,所以,正 确选项为 B. 5.B 解析:集合 M 是由直线 y=x+1 上除去点(2,3)之后,其余点组成的集合.集合 P 是 坐标平面上不在直线 y=x+1 上的点组成的集合,那么 M ? P 就是坐标平面上除去点(2, 3)外的所有点组成的集合. 由此 U(M ? P)就是点(2, 3)的集合, 即 U(M ? P)={(2, 3)}. 故 正确选项为 B. 6.D 解析:判断同一函数的标准是两函数的定义域与对应关系相同,选项 A,B,C 中,两 函数的定义域不同,正确选项为 D. 7.C 解析:函数 f(x)显然是奇函数,所以不难确定正确选项为 C.取特殊值不难否定其它选 项.如取 x=1,-1,函数值不等,故否 A;点(1,0)在函数图象上,而点(0,1)不在图象 上,否选项 D,点(0,-1)也不在图象上,否选项 B. 8.B 解析:当 x=0 时,分母最小,函数值最大为 1,所以否定选项 A,C;当 x 的绝对值取 值越大时,函数值越小,但永远大于 0,所以否定选项 D.故正确选项为 B.
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9.A 解析:利用条件 f(x+4)=f(x)可得,f(7)=f(3+4)=f(3)=f(-1+4)=f(-1),再 根据 f(x)在 R 上是奇函数得,f(7)=-f(1)=-2×12=-2,故正确选项为 A. 10.C 解析:由为奇函数图像关于原点对称,偶函数图象关于 y 轴对称,函数 f(x),g(x)在区 间[0,+∞)上图象重合且均为增函数,据此我们可以勾画两函数的草图,进而显见①与③ 正确.故正确选项为 C. 二、填空题 11.参考答案:{x| x≥1}. 解析:由 x-1≥0 且 x≥0,得函数定义域是{x|x≥1}. 12.参考答案:

19 . 3

解析:由 f(f(x))=af(x)+b=a2x+ab+b=4x+1,所以 a2=4,ab+b=1(a>0),解得

19 1 1 a=2,b= ,所以 f(x)=2x+ ,于是 f(3)= . 3 3 3 ?1 ? 13.参考答案: ? , +∞ ? . ?2 ?
解析:a=0 时不满足条件,所以 a≠0. (1)当 a>0 时,只需 f(0)=2a-1>0; (2)当 a<0 时,只需 f(1)=3a-1>0.
?1 ? 综上得实数 a 的取值范围是 ? ,+∞ ? . ?2 ?

14.参考答案:{1,5,7,15},{5,9,11,15}. 解析:根据条件 I={1,3,5,7,9,11,13,15},M∩N={5,15},M∩( IN)={1, 7},得集合 M={1,5,7,15},再根据条件( IM)∩( IN)={3,13},得 N={5,9,11, 15}. 15.参考答案:(2,4].

?m+1 ≥ -2 ? 解析:据题意得-2≤m+1<2m-1≤7,转化为不等式组 ?m+1<2m-1 ,解得 m 的取 ?2m-1 ≤7 ?
值范围是(2,4]. 16.参考答案:x(1-x3).

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解析:∵任取 x∈(-∞,0],有-x∈[0,+∞), ∴ f(-x)=-x[1+(-x)3]=-x(1-x3), ∵ f(x)是奇函数,∴ f(-x)=-f(x). ∴ f(x)=-f(-x)=x(1-x3), 即当 x∈(-∞,0]时,f(x)的表达式为 f(x)=x(1-x3). 三、解答题 17.参考答案:∵B={x|x2-5x+6=0}={2,3}, C={x|x2+2x-8=0}={-4,2}, ∴由 A∩C= ? 知,-4∈A,2 ∈A; 由 ? (A∩B)知,3∈A. ∴32-3a+a2-19=0,解得 a=5 或 a=-2. 当 a=5 时,A={x|x2-5x+6=0}=B,与 A∩C= ? 矛盾. 当 a=-2 时,经检验,符合题意. 18.参考答案:(1)∵ 2∈A,

1 1 = =-1∈A; 1-a 1-2 1 1 1 ∴ = = ∈A; 1-a 1+1 2
∴ ∴
1 1 = =2∈A. 1-a 1- 1 2

因此,A 中至少还有两个元素:-1 和 (2)如果 A 为单元素集合,则 a= 实数范围内,A 不可能是单元素集. (3)证明: a∈A?

1 . 2

1 ,整理得 a2-a+1=0,该方程无实数解,故在 1-a

1-a 1 1 1 ∈A? ∈A? ∈A,即 1- ∈A. 1 1-a a 1-a+1 1- 1-a
2

a? a2 ? 19.参考答案: f(x)=2 ? x- ? +3- . 2? 2 ?

(1)当

a <-1,即 a<-2 时,f(x)的最小值为 f(-1)=5+2a; 2 a a2 ?a? ≤1,即-2≤a≤2 时,f(x)的最小值为 f ? ? =3- ; 2 2 ?2?
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(2)当-1≤

(3)当

a >1,即 a>2 时,f(x)的最小值为 f(1)=5-2a. 2

?5+2a, a<-2, ? ? a2 ? 综上可知,f(x)的最小值为 ?3- , -2 ≤ a ≤ 2, 2 ? ?5-2a, a>2. ? ?

20.参考答案:(1)∵函数 f(x)为 R 上的奇函数, ∴ f(0)=0,即

-1+b =0,解得 b=1,a≠-2, 2+a


从而有 f(x)=

-2 x+1 2 x+1+a

1 - +1 -2+1 又由 f(1)=-f(-1)知 =- 2 ,解得 a=2. 1+ a 4+a

(2)先讨论函数 f(x)=

-2 x+1 2
x+1

+2

=-

1 1 + x 的增减性.任取 x1,x2∈R,且 x1<x2, 2 2 +1


f(x2)-f(x1)=

1 2 x2 + 1



1 2 x1 + 1



2 x1 -2 x2 (2 x2 +1)(2 x1 +1)

∵指数函数 2x 为增函数,∴ 2 x1 -2 x2 <0,∴ f(x2)<f(x1), ∴函数 f(x)=
-2 x+1 2 x+1+2

是定义域 R 上的减函数.

由 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 得 f(t2-2t)<-f(2t2-k), ∴ f(t2-2t)<f(-2t2+k),∴ t2-2t>-2t2+k ( ? ). 由( ? )式得 k<3t2-2t.
1? 1 1 1 1 ? 又 3t2-2t=3(t- )2- ≥- ,∴只需 k<- ,即得 k 的取值范围是 ?-∞,- ? . 3? 3 3 3 3 ?

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