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数学:第三章《不等式》测试(1)(新人教A版必修5)有答案


不等式
说明: 本试卷分第一卷和第二卷两部分,第一卷 50 分,第二卷 100 分,共 150 分;答题时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题共 50 分) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正 确答案的代号填在题后的括号内(每小题 5 分,共 50 分) . 1. 若 a<b,d<c,且(c-a)(c-b)<0,(d-a)(d-b)>0,则 a、 b、 c、 d 的大小关系是 ( A.d<a<c<b B.a<c<b<d C.a<d<b<c D.a<d<c<b ( ) )

2.若实数 a、b 满足 a+b=2,是 3a+3b 的最小值是 A.18 B.6 C.2 3

D.2 4 3 ( )

3. f ( x) ? ax 2 ? ax ? 1在 R 上满足 f ( x ) ? 0 ,则 a 的取值范围是 A. a ? 0 B. a ? ?4 C. ?4 ? a ? 0

D. ?4 ? a ? 0 )

4.若关于 x 的方程 9 x ? (4 ? a) ? 3x ? 4 ? 0 有解,则实数 a 的取值范围是( A. ( ??, ? 8] ?[0, ? ?) B. (??, ? 4) C. [ ?8,4) D. (??, ? 8]

5.如果方程 x 2 ? (m ? 1) x ? m 2 ? 2 ? 0 的两个实根一个小于?1,另一个大于 1,那 么实数 m 的取值范围是 A. (? 2,2 ) ( ) C. (-2,1) D. (0,1)

B. (-2,0)

6.在 a ? 0,b ? 0的条件下, 三个结论:① ③ b ? a ? a ? b ,其中正确的个数是
a b
2 2

2 2 2ab a?b ,② a ? b ? a ? b , ? a?b 2 2 2

( C.2 D.3



A.0

B.1
2 2

7.若角 α ,β 满足-π <α <β <π ,则 2α -β 的取值范围是 A. (-π ,0)
2 2 2





π) π ,π ) D. B. (-π ,π ) C. (- 3 (- 3 ? , 3 2

8.设 x、y ? R ? 且 xy ? ( x ? y ) ? 1,则 A. x ? y ? 2( 2 ? 1) B. xy ? 2 ? 1





C. x ? y ? ( 2 ? 1) 2 D. xy ? 2( 2 ? 1)

-1-

?x ? 4 y ? 3 ? 0 ? 9.目标函数 z ? 2 x ? y ,变量 x, y 满足 ?3 x ? 5 y ? 25 ,则有 ?x ? 1 ?





A. z max ? 12, z min ? 3 C. z min ? 3, z 无最大值

B. z max ? 12, z 无最小值 D. z 既无最大值,也无最小值 )

1 1 1 10. 设 M= ( ? 1)( ? 1)( ? 1) ,且 a+b+c=1, (a、 b、 c∈R+), 则 M 的取值范围是 ( a b c 1 1 A.[0, ] B.[ ,1] C.[1,8] D.[8,+∞) 8 8

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 5 分,共 25 分) . 11.设 0<|x|≤3,1<|y|≤2005,是|x-y|的最大值与最小值的和是 12.设 x ? 0, y ? 0且x ? 2 y ? 1,求 ? 的最小值. 13.若方程 x 2 ? 2 x ? lg(2a 2 ? a) ? 0 有一个正根和一个负根, 则实数 a 的取值范围是__________________. 14.f(x)的图象是如图两条线段,它的定义域是 [?1,0) ? (0,1] ,
-1 O -1 1 x y 1



1 x

1 y



则不等式 f ( x) ? f (? x) ? ?1 的解集是 15. 函数 y ? x 1 ? x2 (0<x<1)的最大值为 .



三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 75 分). 16. (13 分) (1)设 a,b,x,y∈R,且 a2+b2=1,x2+y2=1,求证:|ax+by|≤1; (2 已知 a、b 是不等正数,且 a3-b3= a2-b2 求证:1< a +b<
4 . 3

17. (13 分)解关于 x 的不等式 ax2-(a+1)x+1<0.

-2-

18. (13 分) (1)求 y ?

x2 ? 5 x2 ? 4

的最小值;
b2 ? 1 ,求 a 1 ? b 2 的最大值. 2

(2)若 a ? 0,b ? 0 ,且 a 2 ?

19. (12 分)若 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切 x>0 满足
x f ( ) ? f ( x) ? f ( y ). y
1 (1)求 f (1) 的值; (2)若 f (6) ? 1 ,解不等式 f ( x ? 3) ? f ( ) ? 2. x

20. (12 分) (1)设不等式 2x-1>m(x2-1)对满足|m|≤2 的一切实数 m 的取值都 成立,求 x 的取值范围; (2) 是否存在 m 使得不等式 2x-1>m(x2-1)对满足|x|≤2 的一切实数 x 的取 值都成立.

-3-

21.(12 分)要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格,每张钢板可同时截 得三种规格小钢板的块数如下表所示: 类 型

A 规格
1 1

B 规格
2 1

C 规格
1 3

第一种钢板 第二种钢板

每张钢板的面积,第一种为 1m 2 ,第二种为 2m 2 ,今需要 A、B、C 三种规格的成品各 12、15、27 块,问各截这两种钢板多少张,可得所需三种规格成品,且使所用钢板面 积最小?

-4-

参考答案(一)
一、ABDDD DCACD 二、11.2008;12. 3 ? 2
2

2 ;13. (? 1 ,0) ? ( 1 ,1) ;14. [?1,? 1 ) ? (0,1] 。
2
2

2

2

三、15.(1)证明:∵a +x ≥2ax,b +y ≥2by, ∴a +x +b +y ≥2(ax+by),∴ax+by≤ 又∵a +x ≥-2ax,b +y ≥-2by,
2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

1 ? 1 =1。 2

∴a2+x2+b2+y2≥-2(ax+by),∴ax+by≥- 1 ? 1 =-1。 2 ∴|ax+by|≤1。
(2)证明: a
3

? b 3 ? a 2 ? b 2 ? a 2 ? ab ? b 2 ? a ? b ? (a ? b) 2

? a 2 ? ab ? b 2 ? a ? b ? a ? b ? 1
4 ? 3(a ? b) 2 ? 4(a ? b) ? 3(a 2 ? 2ab ? b 2 ) ? 4(a 2 ? ab ? b 2 ) 3 2 ? a ? 2ab ? b 2 ? 0 ? a ? b ? 0 a?b ?
16.解:当 a=0 时,不等式的解为 x>1;当 a≠0 时,分解因式 a(x- 当 a<0 时,原不等式等价于(x- 当 0<a<1 时,1< 当 a>1 时,

1 )(x-1)<0 a

1 )(x-1)>0,不等式的解为 x>1 或 x< 1 ; a a

1 ,不等式的解为 1<x< 1 ; a a

1 <1,不等式的解为 1 <x<1; a a


当 a=1 时,不等式的解为 17.解: (1)解法一:? y

?

x2 ? 5 x2 ? 4

?

x2 ? 4 x2 ? 4

?

1 (? t ? ) t x2 ? 4

1

y(t)

令t 令

? x 2 ? 4 (t ? 2) ,则 t 2 ? yt ? 1 ? 0(t ? 2)
1 O 2 t

f (t ) ? t 2 ? yt ? 1(t ? 2) ,? f (0) ? 1
2

显然 t

? yt ? 1 ? 0 只有一个大于或等于 2 的根,

? f (2) ? 0


f ( 2) ? 4 ? 2 y ? 1 ? 0 ? y ?

5 5 x2 ? 5 ,即 y ? 的最小值是 2 2 x2 ? 4
-5-



解法二:? y

?

x2 ? 5 x2 ? 4

?

x2 ? 4 x2 ? 4

?

1 (? t ? ) t x2 ? 4

1

令t

? x 2 ? 4 (t ? 2)

利用图象迭加,可得其图象(如下图)

?t ? 2
当t

? 2 时, y ? t ?

1 1 5 ? 。 递增,? y min ? 2 ? t 2 2

(2)? a

? 0,b ? 0,a 2 ?

b2 ?1 2
2

y 2 1

y? x?

1 x
y=x

1? b2 ? a 1 ? b ? a (1 ? b ) ? 2a ? 2
2 2 2

y?
O 1

? 2 1 b2 2 ?a ? ? 1? b 2 2 ? 2 a2 ? ? 2 ? 2 2 ? ? ? 1 3 2 ? 2 ( 2 )2 ? 2 4 1?

? ? ? ? ? ?

2

1 x
x

? 2 1? b2 ?a ? 2 ? 2 3 2 ? 2 b 当 ?a ? 时, a 1 ? b 2 ,b ? ?1 ? a ? 2 2 2 ? ?a ? 0,b ? 0 ? ?
18.解:

的最大值为

3 2 4

x 则 f ( ) ? f ( x) ? f ( x) ? 0, f (1) ? 0 (1).令x ? y ? 0, y

1 (2). ? f (6) ? 1,? 2 ? 2 f (6), f ( x ? 3) ? f ( ) ? 2 f (6) x
即 f ( x ? 3 ) ? 2 f (6), f ( x( x ? 3)) ? f (6) ? f (6)

1 x

x ? x ? 3? ? ∴f? ? ? ? f (6), ? 6 ?

-6-



f ( x) 在 ? 0, ?? 是增函数,则 ? ?

?

1 ?0 x ?3 ? 3 17 . ? x?3? 0 ? 0? x ? 2 ? x( x ? 3) ? ?6 ? 6
2

19.解:设需截第一种钢板 x 张,第二种钢板 y 张,所用钢板面积为 zm ,

? x ? y ? 12, ?2 x ? y ? 15, ? ? 则有 ? x ? 3 y ? 27, ? x ? 0, ? ? ?y ? 0
作出可行域(如图) 目标函数为 z ? x ? 2 y 作出一组平行直线 x ? 2 y ? t (t 为参数).由 ?

? x ? 3 y ? 27, 9 15 9 15 得 A( , ), 由于点 A( , ) 不是可行域内 x ? y ? 12 2 2 2 2 ?

的整数点,而在可行域内的整数点中,点(4,8)和点(6,7)使 z 最小,且 z min ? 4 ? 2 ? 8 ? 6 ? 2 ? 7 ? 20 . 答:应截第一种钢板 4 张,第二种钢板 8 张,或第一种钢板 6 张,第二种钢板 7 张,得所需三种规格的钢板,且使所 用的钢板的面积最小.

20.(1)解:令 f(m)=2x-1-m(x2-1)=(1-x2)m+2x-1,可看成是一条直线,且使|m|≤2 的一切 2 实数都有 2x-1>m(x -1)成立。
f (2)>0 所以, ? ? ?f(-2)>0
? 1- 3 1+ 3 2 <x< ? ? 2x - 2x - 1 > 0 ? ,即 ? ,即 2 2 ? 2 - 1 - 7 -1+ 7 ?2x +2x-3<0 ?x< 或x> ? 2 2 ?

所以,

7-1 3+1 。 <x< 2 2

(2) 令 f(x)= 2x-1-m(x2-1)= -mx2+2x+(m-1),使|x|≤2 的一切实数都有 2x-1>m(x2 -1)成立。
当m 当m

? 0 时,f(x)= 2x-1 在

1 ? x ? 2 时,f(x) ? 0 。 (不满足题意) 2

? 0 时,f(x)只需满足下式:

?? m ? 0, (m ? 0) ?? m ? 0, (m ? 0) ?? m ? 0, ( m ? 0) ?1 ? 1 ? ? ? 或 ?? 2 ? 或 ? f ( 2) ? 0 ?0 ? ? ?2 m ? f ( ?2 ) ? 0 ?m ? ? f ( ? 2 ) ? 0 ? ? 0 ? ? ? ?
解之得结果为空集。 故没有 m 满足题意。

-7-



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