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高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 . 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题练习 理-课件


第六章 不等式、推理与证明 6.3 二元一次不等式(组)与简单的线性 规划问题练习 理
[A 组·基础达标练] 1.[2015·重庆模拟]在坐标平面内,不等式组? 所表示的平面区域的面积为( A.2 2 C. 2 2 3 ) B. 8 3
?y≥2|x-1|, ? ?y≤x+1 ?

D.2

答案 B 解析 不等式组?


? ?y≥2|x-1| ? ?y≤x+1

?不等式组?

? ?y≥2x-2 ? ?y≤x+1

或?

? ?y≤-2x+2 ? ?y≤x+1

画出两不等

?1 4? 式组的平面区域.如图,M(3,4),N? , ?,P(1,0),Q(1,1),不等式组所表示的平面区域的 ?3 3?
1 1 2 8 面积为 ×2×2+ ×2× = .故选 B. 2 2 3 3

x≥1, ? ? 2. [2016·长春调研]实数 x, y 满足?y≤a?a>1?, ? ?x-y≤0,
则实数 a 的值为( A.2 C.4 ) B.3 D. 3 2

若实数 z=x+y 的最大值为 4,

1

答案 A

x≥1, ? ? 解析 由约束条件?y≤a?a>1?, ? ?x-y≤0,
作出可行域为如图所示的阴影部分,当 z=x+y 过 y=x 和 y=a 的交点 A(a,a)时,z 取得最大值,即 zmax=a+a=4,所以 a=2.故选 A. 3.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千克;生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克、B 原料 1 千克.每桶甲产品的利润是 300 元,每 桶乙产品的利润是 400 元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗 A、B 原料都不超 过 12 千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大 利润是( ) A.1800 元 B.2400 元 C.2800 元 D.3100 元 答案 C 解析 设每天生产甲种产品 x 桶,乙种产品 y 桶,

x≥0,x∈N, ? ?y≥0,y∈N, 则根据题意得 x、y 的约束条件为? x+2y≤12, ? ?2x+y≤12.

2

设获利 z 元,则 z=300x+400y. 画出可行域如图. 画直线 l:300x+400y=0, 即 3x+4y=0. 平移直线 l,从图中可知,当直线过点 M 时,目标函数取得最大值.
?x+2y=12, ? 由? ? ?2x+y=12, ?x=4, ? ? ?y=4,

解得?

即 M 的坐标为(4,4),

∴zmax=300×4+400×4=2800(元).故选 C.

x+2y-4≤0, ? ? 4.若实数 x、y 满足?x≥0, ? ?y≥0,

则 z=

y+2 的取值范围为( x-1

)

?2 ? A.(-∞,-4]∪? ,+∞? 3 ? ? ?2 ? B.(-∞,-2]∪? ,+∞? ?3 ?
2? ? C.?-2, ? 3 ? ? 2? ? D.?-4, ? 3? ? 答案 B

3

解析 作出不等式组对应的平面区域,如图. 因为 z= 率. 由题意知 C(4,0), -2-0 2 所以 kPO=-2,kPC= = , 1-4 3 所以 z=

y+2 ,所以 z 的几何意义是区域内过任意一点(x,y)与点 P(1,-2)的直线的斜 x-1

y+2 2 的取值范围为 z≥ 或 z≤-2, x-1 3

?2 ? 即(-∞,-2]∪? ,+∞?.故选 B. ?3 ?
x-2y+1≥0 ? ? 5.[2015·贵阳期末]已知实数 x,y 满足:?x<2 ? ?x+y-1≥0
值范围是( ) B.[0,5] ,则 z=2x-2y-1 的取

?5 ? A.? ,5? ?3 ? ?5 ? C.? ,5? ?3 ?
答案 D

? 5 ? D.?- ,5? ? 3 ?

解析 画出不等式组所表示的区域如图阴影部分所示,作直线 l:2x-2y-1=0,平移 l 1 2 ?1 2? 可知当 l 过 C 点? , ?和 B(2, -1)时, z 取最小值和最大值.2× -2× -1≤z<2×2-2×(- 3 3 3 3 ? ?

? 5 ? 1)-1,即 z 的取值范围是?- ,5?. ? 3 ?

4

x≥1 ? ? 6.[2015·郑州一检]已知点 P(x,y)的坐标满足条件?y≥x-1 ? ?x+3y-5≤0
直线 3x-4y-13=0 的距离的最小值为( A. C. 11 5 9 5 ) B.2 D.1

,那么点 P 到

答案 B

解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线 3x-4y-13=0,由图 可知,在该平面区域内所有的点中,到直线 3x-4y-13=0 的距离最近的点是 A(1,0).又点 |3×1-4×0-13| =2,即点 P 到直线 3x-4y-13 5

A(1,0)到直线 3x-4y-13=0 的距离等于
=0 的距离的最小值为 2,选 B.

5

x-y+1≥0, ? ? 7 . 若 实 数 x , y 满 足 ?x+y≥0, ? ?x≤0,
. 答案 [1,9] 1 t 解析 令 t=x+2y,则 y=- x+ ,作出可行域, 2 2



z = 3x

+ 2y

的 值 域 是

________________________________________________________________________________

1 平移直线 y=- x, 2 由图象知当直线经过 O 点时,t 最小,当经过点 D(0,1)时,t 最大,所以 0≤t≤2, 所以 1≤z≤9,即 z=3
x+2y

的值域是[1,9].

3x-5y+6≥0, ? ? 8.若 x,y 满足条件?2x+3y-15≤0, ? ?y≥0, 值,则实数 a 的取值范围是________.

当且仅当 x=y=3 时,z=ax+y 取得最大

? 3 2? 答案 ?- , ? ? 5 3?

解析
6

3 2 直线 3x-5y+6=0 和直线 2x+3y-15=0 的斜率分别为 k1= ,k2=- .作出可行域如 5 3 图所示,当且仅当直线 z=ax+y 经过点(3,3)时,z 取得最大值,则直线 z=ax+y 的斜率- 2 3 3 5 3 5 2 3

a 满足- <-a< ,解得- <a< . x+y≤a, ? ? 9.设变量 x,y 满足约束条件?x+y≥8, ? ?x≥6,
的取值范围是________. 答案 [8,10]

且不等式 x+2y≤14 恒成立,则实数 a

解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示,显然 a≥8,否则可行域无意义.由图可知

x+2y 在点(6,a-6)处取得最大值 2a-6,由 2a-6≤14 得,a≤10.∴8≤a≤10.
10.[2015·云南一检]某校今年计划招聘女教师 a 名,男教师 b 名,若 a、b 满足不等式 2a-b≥5 ? ? 组?a-b≤2 ? ?a<7 答案 13 解析 由题知目标函数为 x=a+b,画出不等式组所表示的区域,如图阴影部分所示, 作直线 l:b+a=0,平移直线 l,再由 a,b∈N,可知当 a=6,b=7 时,x 取最大值 13.

,设这所学校今年计划招聘教师最多 x 名,则 x=________.

7

[B 组·能力提升练]

x≥0 ? ? 1.[2016·忻州联考]不等式组?x+y≤3 ? ?y≥x+1
区域 Ω 有公共点,则实数 k 的取值范围为( A.(0,3] C.(-∞,3] 答案 D )

表示的平面区域为 Ω ,直线 y=kx-1 与

B.[-1,1] D.[3,+∞)

解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.直线 y=kx-1 显然经过定点 M(0, -1), 由图形直接观察知, 当直线 y=kx-1 经过直线 y=x+1 和直线 x+y=3 的交点 C(1,2) 2-?-1? 时,k 最小,此时 kCM= =3,因此 k≥3,即 k∈[3,+∞). 1-0 3x-y-2≤0 ? ? 2.[2016·云南师大附中月考]设 x,y 满足约束条件?x-y≥0 ? ?x≥0,y≥0

,若目标函数 z

8

=ax+by(a>0,b>0)的最大值为 4,则 ab 的取值范围是( A.(0,4) C.[4,+∞) 答案 B 解析 B.(0,4]

)

D.(4,+∞)

作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示,由图可知, z=ax+by(a>0,b>0)

过点 A(1,1)时取最大值,∴a+b=4,ab≤?

?a+b?2=4,当且仅当 a=b 时取“=”.∵a>0, ? ? 2 ?

b>0,∴ab∈(0,4],故选 B.

3.[2015·衡水中学期中]定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(3)=1,f(-2)=3,f′(x)为

f(x)的导函数,已知 y=f′(x)的图象如图所示,且 f′(x)有且只有一个零点,若非负实数 b+2 a,b 满足 f(2a+b)≤1,f(-a-2b)≤3,则 的取值范围为( a+1
)

4? ? A.?-∞, ?∪[3,+∞) 5? ? C.(-∞,3] 答案 D

?4 ? B.? ,+∞? ?5 ? ?4 ? D.? ,3? ?5 ?

解析 由 y=f′(x)的图象可知,当 x∈(-∞,0)时,y=f(x)为减函数,

9

当 x∈(0,+∞)时,y=f(x)为增函数,因为 a,b 为非负实数,所以 f(2a+b)≤1 可转 化为 f(2a+b)≤f(3), 即 0≤2a+b≤3, 同理 f(-a-2b)≤3 可转化为 f(-a-2b)≤f(-2),

a≥0, ? ?b≥0, 即-a-2b≥-2,0≤a+2b≤2,因此实数 a,b 满足? 2a+b≤3, ? ?a+2b≤2,
区域,如图阴影部分所示,而 的斜率,由图可知?

画出所表示的平面

b+2 表示阴影区域内的任意一点(a,b)与点 M(-1,-2)连线 a+1

?b+2? =k =1-?-2?=3,?b+2? =k =-2-0=4,故b+2的取值 ?max MA 0-?-1? ?a+1?min MB 3 5 a+1 ?a+1? ? ?
-1- 2

?4 ? 范围为? ,3?.故选 D. ?5 ?
4.[2014·课标全国卷Ⅰ]设 x,y 满足约束条件? 且 z=x+ay 的最小值为 7,则 a 等于( A.-5 C.-5 或 3 答案 B 解析 当 a=-5 时,作出不等式组表示的可行域,如图(1)(阴影部分). ) B.3 D.5 或-3
?x+y≥a, ? ?x-y≤-1, ?

10

由?

?x-y=-1, ? ?x+y=-5 ?

得交点 A(-3, -2), 则目标函数 z=x-5y 过 A 点时取得最大值. zmax

=-3-5×(-2)=7,不满足题意,排除 A,C 选项. 当 a=3 时,作出不等式组表示的可行域,如图(2)(阴影部分).

由?

?x-y=-1, ? ? ?x+y=3

得交点 B(1,2),

则目标函数 z=x+3y 过 B 点时取得最小值.

zmin=1+3×2=7,满足题意.

?0≤x≤ 2 5.[2016·皖南八校联考]已知实数 x,y 满足:?y≤2 ?x≤ 2y
值范围是________. 答案 (-∞,1]∪[2 2+4,+∞)

2x+y-1 ,则 z= 的取 x-1

11

解析 2x+y-1 y+1 由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示, 目标函数 z= =2+ 的取值范 x-1 x-1 围可转化为点(x,y)与(1,-1)所在直线的斜率加上 2 的取值范围,由图形知,A 点坐标为 ( 2,1),则点(1,-1)与( 2,1)所在直线的斜率为 2 2+2,点(0,0)与(1,-1)所在直 线的斜率为-1,所以 z 的取值范围为(-∞,1]∪[2 2+4,+∞).

12


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